Топология Саллена – Ки

Топология Саллена -Ки представляет собой топологию электронного фильтра, используемую для реализации второго порядка активных фильтров , которая особенно ценится за свою простоту. Это вырожденная форма источника напряжения, управляемого напряжением ( VCVS ) топологии фильтра . Его представили Р. П. Саллен и Э. Л. Кей из Массачусетского технологического института лаборатории Линкольна в 1955 году.

Объяснение работы

Фильтр VCVS использует усилитель напряжения с практически бесконечным входным сопротивлением и нулевым выходным сопротивлением для реализации 2-полюсного низкочастотного , высокочастотного , полосового , полосового или всепроходного отклика . Фильтр VCVS обеспечивает высокую добротность и усиление полосы пропускания без использования индукторов . Фильтр VCVS также обладает преимуществом независимости: фильтры VCVS можно подключать каскадно, при этом этапы не влияют на настройку друг друга. Фильтр Саллена-Ки представляет собой разновидность фильтра VCVS, в котором используется усилитель с единичным коэффициентом усиления (т. е. буферный усилитель ).

История и реализация

В 1955 году Саллен и Ки использовали на электронных лампах с катодным повторителем усилители ; Катодный повторитель является разумным приближением усилителя с единичным коэффициентом усиления по напряжению. Современные реализации аналоговых фильтров могут использовать операционные усилители (также называемые операционными усилителями ). операционный усилитель в традиционной неинвертирующей конфигурации . Из-за высокого входного сопротивления и легко выбираемого коэффициента усиления в реализациях VCVS часто используется В реализациях фильтров Саллена-Ки часто используется операционный усилитель, сконфигурированный как повторитель напряжения ; однако повторители эмиттера или истока также являются распространенным выбором для буферного усилителя.

Чувствительность к допускам компонентов

Фильтры VCVS относительно устойчивы к допуску компонентов , но для получения высокой добротности может потребоваться слишком большой разброс значений компонентов или высокий коэффициент усиления усилителя. Фильтры высшего порядка можно получить каскадным соединением двух и более каскадов.

Общая топология Саллена – Ключа

Рисунок 1. Общая топология фильтра Саллена – Ки.

Типовая топология фильтра Саллена-Ки с единичным коэффициентом усиления, реализованная с помощью операционного усилителя с единичным коэффициентом усиления, показана на рисунке 1. Следующий анализ основан на предположении, что операционный усилитель идеален.

Поскольку операционный усилитель имеет конфигурацию с отрицательной обратной связью , его $v_{+}$ и $v_{-}$ входные данные должны совпадать (т. е. $v_{+}=v_{-}$). Однако инвертирующий вход $v_{-}$ подключается напрямую к выходу $v_{\text{out}}$, и так

$v_{+}=v_{-}=v_{\text{out}}.$ (1)

По действующему закону Кирхгофа (KCL), применяемому в $v_{x}$ узел,

${\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{-}}{Z_{2}}}.$ (2)

Объединив уравнения (1) и (2),

${\frac {v_{\text{in}}-v_{x}}{Z_{1}}}={\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.$

Применение уравнения (1) и KCL на неинвертирующем входе операционного усилителя $v_{+}$ дает

${\frac {v_{x}-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}={\frac {v_{\text{out}}}{Z_{4}}},$

это означает, что

$v_{x}=v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right).$ (3)

Объединение уравнений (2) и (3) дает

${\frac {v_{\text{in}}-v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)}{Z_{1}}}={\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{3}}}+{\frac {v_{\text{out}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{4}}}+1\right)-v_{\text{out}}}{Z_{2}}}.$ (4)

Перестановка уравнения (4) дает передаточную функцию

${\frac {v_{\text{out}}}{v_{\text{in}}}}={\frac {Z_{3}Z_{4}}{Z_{1}Z_{2}+Z_{3}(Z_{1}+Z_{2})+Z_{3}Z_{4}}},$ (5)

второго порядка который обычно описывает линейную нестационарную (LTI) систему .

Если $Z_{3}$ компонент был подключен к земле, а не к $v_{\text{out}}$, фильтр будет представлять собой делитель напряжения, состоящий из $Z_{1}$ и $Z_{3}$ компоненты каскадно соединены с другим делителем напряжения, состоящим из $Z_{2}$ и $Z_{4}$ компоненты. Буферный усилитель загружает «низ» $Z_{3}$ компонент на выходе фильтра, что улучшает простой случай с двумя делителями. Эта интерпретация является причиной того, что фильтры Саллена-Ки часто рисуются с неинвертирующим входом операционного усилителя ниже инвертирующего входа, тем самым подчеркивая сходство между выходом и землей.

Импедансы ветвей

Выбирая различные пассивные компоненты (например, резисторы и конденсаторы ) для $Z_{1}$, $Z_{2}$, $Z_{4}$, и $Z_{3}$Фильтр может быть выполнен с нижних , полосовых и верхних частот характеристиками . В приведенных ниже примерах напомним, что резистор с сопротивлением $R$ имеет сопротивление $Z_{R}$ из

$Z_{R}=R,$

и конденсатор емкостью $C$ имеет сопротивление $Z_{C}$ из

$Z_{C}={\frac {1}{sC}},$

где $s=j\omega =2\pi jf$ (здесь $j$ обозначает мнимую единицу ) — комплексная угловая частота , а $f$ — частота чистого синусоидального входного сигнала. То есть импеданс конденсатора зависит от частоты, а импеданс резистора — нет.

Применение: фильтр нижних частот

Рисунок 2. Фильтр нижних частот с единичным коэффициентом усиления, реализованный с использованием топологии Саллена – Ки.

Пример конфигурации нижних частот с единичным коэффициентом усиления показан на рисунке 2.В качестве буфера здесь используется операционный усилитель, хотя эмиттерный повторитель также эффективен. Эта схема эквивалентна приведенному выше общему случаю с

$Z_{1}=R_{1},\quad Z_{2}=R_{2},\quad Z_{3}={\frac {1}{sC_{1}}},\quad Z_{4}={\frac {1}{sC_{2}}}.$

Передаточная функция для этого фильтра нижних частот второго порядка с единичным коэффициентом усиления равна

$H(s)={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}}},$

где незатухающая собственная частота $f_{0}$, затухание $\alpha$, добротность $Q$, и коэффициент демпфирования $\zeta$, даны

$\omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}$

и

$2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)={\frac {1}{C_{1}}}\left({\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}}}\right).$

Так,

$Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}\left(R_{1}+R_{2}\right)}}.$

The $Q$ Коэффициент определяет высоту и ширину пика частотной характеристики фильтра. По мере увеличения этого параметра фильтр будет иметь тенденцию «звенеть» на одной резонансной частоте, близкой к $f_{0}$ (см. « LC-фильтр » для более подробной информации).

Полюсы и нули

Эта передаточная функция не имеет (конечных) нулей и имеет два полюса, расположенные в комплексной s -плоскости :

$s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.$

На бесконечности два нуля (передаточная функция стремится к нулю для каждого из $s$ члены в знаменателе).

Выбор дизайна

Дизайнер должен выбрать $Q$ и $f_{0}$ соответствующие их применению. $Q$ Значение имеет решающее значение для определения окончательной формы. второго порядка Например, фильтр Баттерворта , имеющий максимально плоскую частотную характеристику полосы пропускания, имеет $Q$ из $1/{\sqrt {2}}$.Для сравнения, значение $Q=1/2$ соответствует последовательному каскаду из двух одинаковых простых фильтров нижних частот.

Поскольку имеется 2 параметра и 4 неизвестных, процедура расчета обычно фиксирует соотношение между обоими резисторами, а также между конденсаторами. Одна из возможностей – установить соотношение между $C_{1}$ и $C_{2}$ как $n$ против $1/n$ и соотношение между $R_{1}$ и $R_{2}$ как $m$ против $1/m$. Так,

${\begin{aligned}R_{1}&=mR,\\R_{2}&=R/m,\\C_{1}&=nC,\\C_{2}&=C/n.\end{aligned}}$

В результате $f_{0}$ и $Q$ выражения сводятся к

$\omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{RC}}$

и

$Q={\frac {mn}{m^{2}+1}}.$

Рисунок 3. Фильтр нижних частот, реализованный по топологии Саллена – Ки, с f ₀ = 15,9 кГц и Q = 0,5.

Начиная с более или менее произвольного выбора, например $C$ и $n$, соответствующие значения для $R$ и $m$ можно рассчитать в пользу желаемого $f_{0}$ и $Q$. На практике некоторые значения компонентов будут работать лучше, чем другие, из-за неидеальности реальных операционных усилителей. Например, резисторы высокого номинала увеличивают уровень шума в схеме, в то же время способствуя увеличению напряжения смещения постоянного тока на выходе операционных усилителей, оснащенных биполярными входными транзисторами.

Пример

Например, схема на рисунке 3 имеет $f_{0}=15.9~{\text{kHz}}$ и $Q=0.5$. Передаточная функция определяется выражением

$H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {C_{2}(R_{1}+R_{2})} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}} _{\frac {1}{\omega _{0}^{2}}}s^{2}}},$

и после замены это выражение равно

$H(s)={\frac {1}{1+\underbrace {\frac {RC(m+1/m)}{n}} _{{\frac {2\zeta }{\omega _{0}}}={\frac {1}{\omega _{0}Q}}}s+\underbrace {R^{2}C^{2}} _{\frac {1}{{\omega _{0}}^{2}}}s^{2}}},$

который показывает, как каждый $(R,C)$ комбинация включает в себя некоторые $(m,n)$ сочетание, обеспечивающее то же самое $f_{0}$ и $Q$ для фильтра нижних частот. Аналогичный подход к проектированию используется для других фильтров ниже.

Входное сопротивление

Входное сопротивление фильтра нижних частот Саллена – Ки второго порядка с единичным коэффициентом усиления также представляет интерес для разработчиков. Это дается уравнением. (3) в Картрайте и Камински как

$Z(s)=R_{1}{\frac {s'^{2}+s'/Q+1}{s'^{2}+s'k/Q}},$

где $s'={\frac {s}{\omega _{0}}}$ и $k={\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}={\frac {m}{m+1/m}}$.

Кроме того, для $Q>{\sqrt {\frac {1-k^{2}}{2}}}$, существует минимальное значение величины импеданса, определяемое уравнением. (16) Картрайта и Каминского, в котором говорится, что

$|Z(s)|_{\text{min}}=R_{1}{\sqrt {1-{\frac {(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}}{2Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)^{2}+2Q^{2}{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}}}}.$

К счастью, это уравнение хорошо аппроксимируется уравнением

$|Z(s)|_{\text{min}}\approx R_{1}{\sqrt {\frac {1}{Q^{2}+k^{2}+0.34}}}$

для $0.25\leq k\leq 0.75$. Для $k$ Если значения выходят за пределы этого диапазона, константу 0,34 необходимо изменить для минимальной ошибки.

Кроме того, частота, на которой возникает минимальная величина импеданса, определяется уравнением. (15) Картрайта и Каминского, то есть,

$\omega _{\text{min}}=\omega _{0}{\sqrt {\frac {Q^{2}+{\sqrt {Q^{4}+k^{2}(2Q^{2}+k^{2}-1)}}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.$

Это уравнение также можно хорошо аппроксимировать с помощью уравнения. (20) Картрайта и Каминского, в котором говорится, что

$\omega _{\text{min}}\approx \omega _{0}{\sqrt {\frac {2Q^{2}}{2Q^{2}+k^{2}-1}}}.$

Применение: фильтр верхних частот

Рисунок 4. Специальный фильтр верхних частот Саллена – Ки с f ₀ = 72 Гц и Q = 0,5.

Фильтр верхних частот второго порядка с единичным усилением $f_{0}=72~{\text{Hz}}$ и $Q=0.5$ показано на рисунке 4.

Фильтр верхних частот второго порядка с единичным коэффициентом усиления имеет передаточную функцию

$H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+\underbrace {2\pi \left({\frac {f_{0}}{Q}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {(2\pi f_{0})^{2}} _{\omega _{0}^{2}}}},$

где незатухающая собственная частота $f_{0}$ и $Q$ коэффициент обсуждается выше при обсуждении фильтра нижних частот . Приведенная выше схема реализует эту передаточную функцию с помощью уравнений

$\omega _{0}=2\pi f_{0}={\frac {1}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}$

(как и раньше) и

${\frac {1}{2\zeta }}=Q={\frac {\omega _{0}}{2\alpha }}={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}}.$

Так

$2\alpha =2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}={\frac {C_{1}+C_{2}}{R_{2}C_{1}C_{2}}}.$

Следуйте подходу, аналогичному тому, который использовался для проектирования фильтра нижних частот выше.

Применение: полосовой фильтр.

Рисунок 5. Полосовой фильтр, реализованный с использованием топологии VCVS.

Пример полосового фильтра с коэффициентом усиления, отличным от единичного, реализованного с помощью фильтра VCVS, показан на рисунке 5. Хотя он использует другую топологию и операционный усилитель, сконфигурированный для обеспечения коэффициента усиления, отличного от единичного, его можно анализировать с использованием тех же методов, что и для общая топология Саллена -Ки . Его передаточная функция определяется выражением

$H(s)={\frac {\overbrace {\left(1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}\right)} ^{G}{\frac {s}{R_{1}C_{1}}}}{s^{2}+\underbrace {\left({\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}\right)} _{2\zeta \omega _{0}={\frac {\omega _{0}}{Q}}}s+\underbrace {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}} _{{\omega _{0}}^{2}=(2\pi f_{0})^{2}}}}.$

Центральная частота $f_{0}$ (т. е. частота, на которой амплитудная характеристика имеет пик ) определяется выражением

$f_{0}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{\text{f}}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{\text{f}}}}}.$

Q-фактор $Q$ дается

${\begin{aligned}Q&={\frac {\omega _{0}}{2\zeta \omega _{0}}}={\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}/Q}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {\frac {R_{1}+R_{\text{f}}}{R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}}{{\frac {1}{R_{1}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}C_{2}}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}R_{\text{f}}C_{1}}}}}\\[10pt]&={\frac {\sqrt {(R_{1}+R_{\text{f}})R_{1}R_{\text{f}}R_{2}C_{1}C_{2}}}{R_{1}R_{\text{f}}(C_{1}+C_{2})+R_{2}C_{2}\left(R_{\text{f}}-{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}R_{1}\right)}}.\end{aligned}}$

Делитель напряжения в цепи отрицательной обратной связи управляет «внутренним усилением». $G$ операционного усилителя:

$G=1+{\frac {R_{\text{b}}}{R_{\text{a}}}}.$

Если внутренний выигрыш $G$ слишком велико, фильтр будет колебаться.

См. также

• Конструкция фильтра
• Топология электронного фильтра
• Гармонический осциллятор
• Резонанс

Внешние ссылки

• Отчет о применении Texas Instruments: анализ архитектуры Саллена – Ки
• Инструмент проектирования фильтров Analog Devices — простой онлайн-инструмент для проектирования активных фильтров с использованием операционных усилителей с обратной связью по напряжению.
• Часто задаваемые вопросы по проектированию активных фильтров TI
• Операционные усилители для всех – Глава 16
• Высокочастотная модификация фильтра Саллена-Ки - улучшение минимального затухания в полосе задерживания
• Онлайн-инструмент для расчета фильтров нижних и верхних частот Саллена-Ки
• Инструмент онлайн-расчета для проектирования и анализа фильтров
• ECE 327: Процедуры для лаборатории выходной фильтрации - Раздел 3 («Сглаживающий фильтр нижних частот») обсуждает активную фильтрацию с помощью фильтра нижних частот Саллена-Ки Баттерворта.
• Фильтрация 101: многополюсные фильтры с ключом Саллена , Мэтт Дафф из Analog Devices объясняет, как работает схема с ключом Саллена