Матрица нового поколения

В эпидемиологии матрица следующего поколения используется для получения базового коэффициента воспроизводства для компартментальной модели распространения инфекционных заболеваний . В динамике населения он используется для расчета базового коэффициента воспроизводства для структурированных моделей населения. ^[1] Он также используется в моделях ветвления нескольких типов для аналогичных вычислений. ^[2]

Метод расчета базового коэффициента воспроизводства с использованием матрицы следующего поколения предложен Дикманном и др. (1990) ^[3] и ван ден Дриссе и Уотмо (2002). ^[4] Для расчета базового воспроизводственного числа с помощью матрицы следующего поколения вся популяция делится на $n$ отсеки, в которых находятся $m<n$ зараженные отсеки. Позволять $x_{i},i=1,2,3,\ldots ,m$ количество инфицированных в $i^{th}$ зараженный отсек в момент времени t . Теперь эпидемии модель ^{[ нужна ссылка ]}

{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}=F_{i}(x)-V_{i}(x)

, где

V_{i}(x)=[V_{i}^{-}(x)-V_{i}^{+}(x)]

В приведенных выше уравнениях $F_{i}(x)$ представляет собой скорость появления новых инфекций в компартменте $i$ . $V_{i}^{+}$ представляет собой скорость перевода особей в компартмент $i$ всеми другими способами и $V_{i}^{-}(x)$ представляет собой скорость перевода особей из компартмента $i$ .Вышеупомянутую модель также можно записать как

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=F(x)-V(x)

где

F(x)={\begin{pmatrix}F_{1}(x),&F_{2}(x),&\ldots ,&F_{m}(x)\end{pmatrix}}^{T}

и

V(x)={\begin{pmatrix}V_{1}(x),&V_{2}(x),&\ldots ,&V_{m}(x)\end{pmatrix}}^{T}.

Позволять $x_{0}$ быть равновесие без болезней. Значения частей матрицы Якобиана $F(x)$ и $V(x)$ являются:

DF(x_{0})={\begin{pmatrix}F&0\\0&0\end{pmatrix}}

и

DV(x_{0})={\begin{pmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{pmatrix}}

соответственно.

Здесь, $F$ и $V$ являются матрицами размера m × m , определяемыми как $F={\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})$ и $V={\frac {\partial V_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})$ .

Теперь матрица $FV^{-1}$ известна как матрица следующего поколения. Тогда базовое число воспроизводства модели определяется собственным значением $FV^{-1}$ с наибольшим абсолютным значением ( радиус спектральный $FV^{-1}$ . Матрицы следующего поколения можно оценить вычислительно на основе данных наблюдений, что часто является наиболее продуктивным подходом при наличии большого количества отсеков. ^[5]

См. также

Математическое моделирование инфекционных заболеваний

Ссылки

^ Чжао, Сяо-Цян (2017), «Теория основных коэффициентов воспроизводства», Динамические системы в популяционной биологии , Книги CMS по математике, Springer International Publishing, стр. 285–315, doi : 10.1007/978-3-319-56433 -3_11 , ISBN 978-3-319-56432-6
^ Мод, Чарльз Дж., 1927- (1971). Многотипные ветвящиеся процессы; теория и приложения . Нью-Йорк: Американский паб Elsevier. компании ISBN 0-444-00086-0 . ОСЛК 120182 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Дикманн, О.; Хестербек, Япония; Мец, JAJ (1990). «Об определении и расчете основного коэффициента воспроизводства R ₀ в моделях инфекционных заболеваний в гетерогенных популяциях». Журнал математической биологии . 28 (4): 365–382. дои : 10.1007/BF00178324 . hdl : 1874/8051 . ПМИД 2117040 . S2CID 22275430 .
^ ван ден Дриссе, П .; Уотмо, Дж. (2002). «Количество воспроизводства и подпороговое эндемическое равновесие для компартментальных моделей передачи болезней». Математические биологические науки . 180 (1–2): 29–48. дои : 10.1016/S0025-5564(02)00108-6 . ПМИД 12387915 . S2CID 17313221 .
^ фон Чефальвей, Крис (2023), «Простые компартментальные модели» , Вычислительное моделирование инфекционных заболеваний , Elsevier, стр. 19–91, doi : 10.1016/b978-0-32-395389-4.00011-6 , ISBN 978-0-323-95389-4 , получено 28 февраля 2023 г.

Источники

Ма, Чжиен; Ли, Цзя (2009). Динамическое моделирование и анализ эпидемий . Всемирная научная. ISBN 978-981-279-749-0 . ОСЛК 225820441 .
Дикманн, О.; Хестербек, Япония (2000). Математическая эпидемиология инфекционных болезней . Джон Уайли и сын.
Хеффернан, Дж. М.; Смит, Р.Дж.; Валь, Л.М. (2005). «Перспективы базового репродуктивного коэффициента» . JR Soc. Интерфейс . 2 (4): 281–93. дои : 10.1098/rsif.2005.0042 . ПМЦ 1578275 . ПМИД 16849186 .

[1] Чжао, Сяо-Цян (2017), «Теория основных коэффициентов воспроизводства», Динамические системы в популяционной биологии , Книги CMS по математике, Springer International Publishing, стр. 285–315, doi : 10.1007/978-3-319-56433 -3_11 , ISBN 978-3-319-56432-6

[2] Мод, Чарльз Дж., 1927- (1971). Многотипные ветвящиеся процессы; теория и приложения . Нью-Йорк: Американский паб Elsevier. компании ISBN 0-444-00086-0 . ОСЛК 120182 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[3] Дикманн, О.; Хестербек, Япония; Мец, JAJ (1990). «Об определении и расчете основного коэффициента воспроизводства R ₀ в моделях инфекционных заболеваний в гетерогенных популяциях». Журнал математической биологии . 28 (4): 365–382. дои : 10.1007/BF00178324 . hdl : 1874/8051 . ПМИД 2117040 . S2CID 22275430 .

[4] ван ден Дриссе, П .; Уотмо, Дж. (2002). «Количество воспроизводства и подпороговое эндемическое равновесие для компартментальных моделей передачи болезней». Математические биологические науки . 180 (1–2): 29–48. дои : 10.1016/S0025-5564(02)00108-6 . ПМИД 12387915 . S2CID 17313221 .

[5] фон Чефальвей, Крис (2023), «Простые компартментальные модели» , Вычислительное моделирование инфекционных заболеваний , Elsevier, стр. 19–91, doi : 10.1016/b978-0-32-395389-4.00011-6 , ISBN 978-0-323-95389-4 , получено 28 февраля 2023 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]