Частота превышения

Частота превышения , иногда называемая годовой нормой превышения , — это частота, с которой случайный процесс превышает некоторое критическое значение. Обычно критическое значение далеко от среднего. Обычно его определяют через количество пиков случайного процесса, находящихся за пределами границы. У него есть приложения, связанные с прогнозированием экстремальных явлений, таких как сильные землетрясения и наводнения .

Определение

Частота превышения — это количество раз, когда случайный процесс превышает некоторое критическое значение, обычно критическое значение, далекое от среднего значения процесса, в единицу времени. ^[1] Подсчет превышения критического значения может осуществляться либо путем подсчета пиков процесса, превышающих критическое значение. ^[1] или путем подсчета пересечений критического значения вверх, где переход вверх - это событие, когда мгновенное значение процесса пересекает критическое значение с положительным наклоном. ^[1]^[2] В этой статье предполагается, что два метода подсчета превышений эквивалентны и что процесс имеет одно пересечение вверх и один пик на каждое превышение. Однако процессы, особенно непрерывные процессы с высокочастотными компонентами и их спектральной плотностью мощности, могут иметь несколько восходящих переходов или несколько пиков в быстрой последовательности, прежде чем процесс вернется к своему среднему значению. ^[3]

Частота превышения гауссова процесса

Рассмотрим скалярный гауссов процесс $с нулевым средним y (t)$ с дисперсией $σ y 2$ и спектральная плотность мощности $Φ y (f)$ , где $f$ - частота. Со временем этот гауссов процесс имеет пики, превышающие некоторое критическое значение $y max > 0$ . количество пересечений $y max$ , частота превышения y $Подсчитав max$ определяется выражением ^[1]^[2]

N(y_{\max })=N_{0}e^{-{\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {y_{\max }}{\sigma _{y}}}\right)^{2}}.

$N 0$ представляет собой частоту восходящих пересечений 0 и связана со спектральной плотностью мощности следующим образом:

N_{0}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{\infty }{f^{2}\Phi _{y}(f)\,df}}{\int _{0}^{\infty }{\Phi _{y}(f)\,df}}}}.

Для гауссовского процесса приближение, согласно которому количество пиков выше критического значения и количество переходов критического значения вверх одинаково, хорошо для $y max /σ y > 2$ и для узкополосного шума . ^[1]

Для спектральных плотностей мощности, которые спадают менее круто, чем $f -3$ при $f \to\infty$ интеграл в числителе $N 0$ не сходится. Хоблит дает методы аппроксимации $N 0$ в таких случаях с приложениями, направленными на непрерывные порывы ветра . ^[4]

Время и вероятность превышения

По мере того как случайный процесс развивается с течением времени, число пиков, превысивших критическое значение $y max,$ растет и само по себе является процессом подсчета . Для многих типов распределений основного случайного процесса, включая гауссовские процессы, количество пиков выше критического значения $y max$ сходится к пуассоновскому процессу, поскольку критическое значение становится сколь угодно большим. Времена между приходами этого пуассоновского процесса распределены экспоненциально со скоростью затухания, равной частоте превышения $N (y max)$ . ^[5] Таким образом, среднее время между пиками, включая время пребывания или среднее время до самого первого пика, является обратной величиной частоты превышения $N -1 (у макс)$ .

Если число пиков, превышающих $y max,$ растет как пуассоновский процесс, то вероятность того, что в момент времени $t$ еще не было ни одного пика, превышающего $y max,$ равна $e - N (y макс) т$ . ^[6] Его дополнение,

p_{ex}(t)=1-e^{-N(y_{\max })t},

— вероятность превышения , вероятность того, что $y max$ было превышено хотя бы один раз к моменту времени $t$ . ^[7]^[8] Эта вероятность может быть полезна для оценки того, произойдет ли экстремальное событие в течение определенного периода времени, например, в течение срока службы конструкции или продолжительности операции.

Если $N (y max) t$ мало, например для частоты редкого события, происходящего за короткий период времени, то

p_{ex}(t)\approx N(y_{\max })t.

этом предположении частота превышения равна вероятности превышения в единицу времени pex $/ t При,$ а вероятность превышения может быть вычислена путем простого умножения частоты превышения на указанный промежуток времени.

Приложения

Вероятность сильных землетрясений ^[9]
Прогноз погоды ^[10]
Гидрология и нагрузки на гидротехнические сооружения ^[11]
Порывистые нагрузки на самолеты ^[12]

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Хоблит 1988 , стр. 51–54.
^ Jump up to: ^а ^б Райс, 1945 , стр. 54–55.
^ Ричардсон и др. 2014 , стр. 2029–2030.
^ Хоблит 1988 , стр. 229–235.
^ Ледбеттер, Линдгрен и Руцен 1983 , стр. 176, 238, 260.
^ Феллер 1968 , стр. 446–448.
^ Хоблит 1988 , стр. 65–66.
^ Ричардсон и др. 2014 , с. 2027.
^ Программа по опасности землетрясений (2016 г.). «Опасность землетрясения 101 – Основы» . Геологическая служба США . Проверено 26 апреля 2016 г.
^ Центр прогнозирования климата (2002). «Понимание графиков прогноза «вероятности превышения» температуры и осадков» . Национальная метеорологическая служба . Проверено 26 апреля 2016 г.
^ Гарсия, Рене (2015). «Раздел 2: Вероятность превышения» . Руководство по гидравлическому проектированию . Департамент транспорта Техаса . Проверено 26 апреля 2016 г.
^ Хоблит 1988 , Глава. 4.

Ссылки

Хоблит, Фредерик М. (1988). Порывистые нагрузки на самолеты: концепции и приложения . Вашингтон, округ Колумбия: Американский институт аэронавтики и астронавтики, Inc. ISBN 0930403452 .
Феллер, Уильям (1968). Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Том. 1 (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780471257080 .
Ледбеттер, MR; Линдгрен, Георг; Руцен, Хольгер (1983). Экстремумы и связанные с ними свойства случайных последовательностей и процессов . Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN 9781461254515 .
Райс, Т.О. (1945). «Математический анализ случайного шума: часть III. Статистические свойства случайных шумовых токов». Технический журнал Bell System . 24 (1): 46–156. дои : 10.1002/(ISSN)1538-7305c .
Ричардсон, Джонхенри Р.; Аткинс, Элла М .; Кабамба, Пьер Т.; Жирар, Анук Р. (2014). «Запасы безопасности при полете при стохастических порывах ветра». Журнал управления, контроля и динамики . 37 (6). АИАА: 2026–2030 гг. дои : 10.2514/1.G000299 . hdl : 2027.42/140648 .

[FOOTNOTEHoblit198851–54-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Хоблит 1988 , стр. 51–54.

[FOOTNOTERice194554–55-2] Jump up to: ^а ^б Райс, 1945 , стр. 54–55.

[FOOTNOTERichardsonAtkinsKabambaGirard20142029–2030-3] Ричардсон и др. 2014 , стр. 2029–2030.

[FOOTNOTEHoblit1988229–235-4] Хоблит 1988 , стр. 229–235.

[FOOTNOTELeadbetterLindgrenRootzén1983176,_238,_260-5] Ледбеттер, Линдгрен и Руцен 1983 , стр. 176, 238, 260.

[FOOTNOTEFeller1968446–448-6] Феллер 1968 , стр. 446–448.

[FOOTNOTEHoblit198865–66-7] Хоблит 1988 , стр. 65–66.

[FOOTNOTERichardsonAtkinsKabambaGirard20142027-8] Ричардсон и др. 2014 , с. 2027.

[9] Программа по опасности землетрясений (2016 г.). «Опасность землетрясения 101 – Основы» . Геологическая служба США . Проверено 26 апреля 2016 г.

[10] Центр прогнозирования климата (2002). «Понимание графиков прогноза «вероятности превышения» температуры и осадков» . Национальная метеорологическая служба . Проверено 26 апреля 2016 г.

[11] Гарсия, Рене (2015). «Раздел 2: Вероятность превышения» . Руководство по гидравлическому проектированию . Департамент транспорта Техаса . Проверено 26 апреля 2016 г.

[FOOTNOTEHoblit1988Chap._4-12] Хоблит 1988 , Глава. 4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]