Число Аббе

В оптике и конструкции линз число Аббе , также известное как число V или сужение материала прозрачного материала , является приблизительной мерой дисперсии (изменение показателя преломления в зависимости от длины волны), причем высокие значения V указывают на низкую дисперсию. Он назван в честь Эрнста Аббе (1840–1905), немецкого физика, который его определил. Термин V-число не следует путать с нормализованной частотой в волокнах .

число Аббе, ^[1] $V_{\mathsf {d}}\ ,$ материала определяется как

V_{\mathsf {d}}\equiv {\frac {n_{\mathsf {d}}-1}{\ n_{\mathsf {F}}-n_{\mathsf {C}}\ }}

,

где $n_{\mathsf {C}},$ $n_{\mathsf {d}},$ и $n_{\mathsf {F}}$ – показатели преломления материала на длинах волн фраунгоферовских C, d и F спектральных линий (656,3 нм , 587,56 нм и 486,1 нм соответственно). Эта формулировка применима только к человеческому видению . За пределами этого диапазона требуется использование различных спектральных линий. Для невидимых спектральных линий чаще используется термин «V-число». Более общая формулировка определяется как:

V\equiv {\frac {n_{\mathsf {center}}-1}{n_{\mathsf {short}}-n_{\mathsf {long}}}}

,

где $n_{\mathsf {short}},$ $n_{\mathsf {center}},$ и $n_{\mathsf {long}},$ — показатели преломления материала на трех разных длинах волн. Индекс самой короткой длины волны равен $n_{\mathsf {short}}$ , и самый длинный - это $n_{\mathsf {long}}$ .

Числа Аббе используются для классификации стекла и других оптических материалов по их цветности . Например, кремневые стекла с более высокой дисперсией имеют относительно небольшие числа Аббе. $V<55$ с более низкой дисперсией тогда как кронен-стекла имеют большие числа Аббе. Ценности $V_{\mathsf {d}}$ Диапазон варьируется от менее 25 для очень плотных флинтовых стекол, около 34 для поликарбонатных пластиков, до 65 для обычных кронных стекол и от 75 до 85 для некоторых флюоритовых и фосфатных кронных стекол.

Большая часть кривой чувствительности человеческого глаза к длине волны, показанной здесь, заключена в скобки с эталонными длинами волн числа Аббе: 486,1 нм (синий) и 656,3 нм (красный).

Числа Аббе используются при проектировании ахроматических линз , поскольку их обратная величина пропорциональна дисперсии (наклон показателя преломления в зависимости от длины волны) в диапазоне длин волн, где человеческий глаз наиболее чувствителен (см. график). Для различных диапазонов длин волн или для более высокой точности характеристики цветности системы (например, при проектировании апохроматов ) используется полное дисперсионное соотношение (показатель преломления как функция длины волны).

Диаграмма Аббе

Диаграмма Аббе , также называемая «стеклянной завесой», получается путем построения числа Аббе. $\ V_{\mathsf {d}}\$ материала в зависимости от его показателя преломления $\ n_{\mathsf {d}}~.$ Затем очки можно классифицировать и выбирать в соответствии с их положением на диаграмме. Это может быть буквенно-цифровой код, используемый в каталоге Schott Glass , или шестизначный код стекла .

Числа Аббе очков вместе с их средними показателями преломления используются при расчете необходимой преломляющей силы элементов ахроматических линз с целью компенсации хроматической аберрации первого порядка. Эти два параметра, которые входят в уравнения для расчета ахроматических дублетов, в точности соответствуют диаграмме Аббе.

Из-за сложности и неудобства изготовления линий натрия и водорода часто заменяют альтернативные определения числа Аббе ( ISO 7944). ^[3] Например, вместо стандартного определения, приведенного выше, в котором используется изменение показателя преломления между линиями водорода F и C , в качестве альтернативной меры используется индекс «e» для ртути линии e кадмия по сравнению с линиями F 'и C' . является

V_{\mathsf {e}}={\frac {n_{\mathsf {e}}-1}{\ n_{\mathsf {F'}}-n_{\mathsf {C'}}\ }}~.

Этот альтернативный вариант учитывает разницу между показателями преломления синего (C') и красного (F') кадмия на длинах волн 480,0 нм и 643,8 нм относительно $\ n_{\mathsf {e}}\$ для линии e ртути на длине волны 546,073 нм, все они расположены рядом, и их несколько легче производить, чем линии C, F и e. Аналогичным образом можно использовать и другие определения; в следующей таблице перечислены стандартные длины волн, при которых $\ n\$ обычно определяется, включая используемые стандартные индексы . ^[4]

$л$ (нм)	Фраунгофера символ	Свет источник	Цвет
365.01	я	ртуть	УФ-А
404.66	час	ртуть	фиолетовый
435.84	г	ртуть	синий
479.99	Ф'	компакт-диск	синий
486.13	Ф	ЧАС	синий
546.07	и	ртуть	зеленый
587.56	д	Он	желтый
589.3	Д	Уже	желтый
643.85	С'	компакт-диск	красный
656.27	С	ЧАС	красный
706.52	р	Он	красный
768.2	А'	К	СОБИРАЮСЬ
852.11	с	Cs	СОБИРАЮСЬ
1013.98	т	ртуть	СОБИРАЮСЬ

Вывод

Исходя из уравнения Линзмейкера, мы получаем тонкой линзы уравнение , отбросив небольшой член, учитывающий толщину линзы: $\ d\$ : ^{[ нужна ссылка ]}

P={\frac {1}{\ f~}}=(n-1){\Biggl [}{\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}+{\frac {\ (n-1)\ d~}{\ n\ R_{1}R_{2}\ }}{\Biggr ]}\approx (n-1)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ ,

когда $d\ll {\sqrt {\ R_{1}R_{2}\ }}~.$

Изменение преломляющей силы $\ P\$ между двумя длинами волн $\ \lambda _{\mathsf {short}}\$ и $\ \lambda _{\mathsf {long}}\$ дается

\Delta P=P_{\mathsf {short}}-P_{\mathsf {\ \!long}}=(n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }})\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\ ,

где $\ n_{\mathsf {s}}\$ и $\ n_{\mathsf {\ell }}\$ - показатели преломления коротких и длинных волн соответственно, и $\ n_{\mathsf {c}}\ ,$ ниже — для центра.

Разность мощностей может быть выражена относительно мощности на центральной длине волны ( $\ \lambda _{\mathsf {center}}\$ )

\ P_{\mathsf {c}}\ =(n_{\mathsf {c}}-1)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)\,;

путем умножения и деления на $\ n_{\mathsf {c}}-1\$ и перегруппировавшись, получим

\Delta P=\left(n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }}\right)\left({\frac {\ n_{\mathsf {c}}-1\ }{n_{\mathsf {c}}-1}}\right)\left({\frac {1}{\ R_{1}\ }}-{\frac {1}{\ R_{2}\ }}\right)=\left({\frac {\ \ n_{\mathsf {s}}-n_{\mathsf {\ell }}\ }{n_{\mathsf {c}}-1}}\right)P_{\mathsf {c}}={\frac {\ P_{\mathsf {c}}\ }{V_{\mathsf {c}}}}~.

Относительное изменение обратно пропорционально $\ V_{\mathsf {c}}\ :$

{\frac {\ \Delta P\ }{P_{\mathsf {c}}}}={\frac {1}{\ V_{\mathsf {c}}\ }}~.

См. также

Призма Аббе
Рефрактометр Аббе
Расчет свойств стекла , включая число Аббе
Код стекла
Уравнение Селлмейера , более полное и физически обоснованное моделирование дисперсии.

Ссылки

^ Свойства оптического стекла . Серия Шотта о стекле и стеклокерамике. Шотт Гласс . 1998. doi : 10.1007/978-3-642-57769-7 . ISBN 978-3-642-63349-2 .
^ Флюгель, Александр (07 декабря 2007 г.). «Расчет очков по числу Аббе» . Статистический расчет и определение свойств стекла (glassproperties.com) . Проверено 16 января 2022 г.
^ Мейстер, Дэррил (12 апреля 2010 г.). Понимание эталонных длин волн (PDF) . opticampus.opti.vision (памятка). Карл Цейсс Видение. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 13 марта 2013 г.
^ Пай, LD; Фрешетт, В.Д.; Крейдл, Нью-Джерси (1977). Боратные очки . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Пленум Пресс.

Внешние ссылки

График Аббе и данные для 356 стаканов из Охары, Хойи и Шотта.

[1] Свойства оптического стекла . Серия Шотта о стекле и стеклокерамике. Шотт Гласс . 1998. doi : 10.1007/978-3-642-57769-7 . ISBN 978-3-642-63349-2 .

[2] Флюгель, Александр (07 декабря 2007 г.). «Расчет очков по числу Аббе» . Статистический расчет и определение свойств стекла (glassproperties.com) . Проверено 16 января 2022 г.

[3] Мейстер, Дэррил (12 апреля 2010 г.). Понимание эталонных длин волн (PDF) . opticampus.opti.vision (памятка). Карл Цейсс Видение. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 13 марта 2013 г.

[4] Пай, LD; Фрешетт, В.Д.; Крейдл, Нью-Джерси (1977). Боратные очки . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Пленум Пресс.

[1]

[2]

[3]

[4]