Построение t-норм

В математике t-нормы — это особый вид бинарных операций над вещественным единичным интервалом [0, 1]. Различные конструкции t-норм , либо путем явного определения, либо путем преобразования ранее известных функций, предоставляют множество примеров и классов t-норм. Это важно, например, для поиска контрпримеров или предоставления t-норм с определенными свойствами для использования в инженерных приложениях нечеткой логики . Основные способы построения t-норм включают использование генераторов , определение параметрических классов t-норм, вращений или порядковых сумм t-норм.

Соответствующую информацию можно найти в статье о t-нормах .

Генераторы t-норм

Метод построения t-норм генераторами заключается в использовании унарной функции ( генератора ) для преобразования некоторой известной бинарной функции (чаще всего сложения или умножения) в t-норму.

Чтобы позволить использовать небиективные генераторы, не имеющие обратной функции следующее понятие псевдообратной функции , используется :

Пусть f : [ a , b ] → [ c , d ] — монотонная функция между двумя замкнутыми подинтервалами расширенной вещественной линии . Псевдообратной функцией к f является функция f  ⁽⁻¹⁾ : [ c , d ] → [ a , b ] определяется как

$f^{(-1)}(y)={\begin{cases}\sup\{x\in [a,b]\mid f(x)<y\}&{\text{for }}f{\text{ non-decreasing}}\\\sup\{x\in [a,b]\mid f(x)>y\}&{\text{for }}f{\text{ non-increasing.}}\end{cases}}$

Аддитивные генераторы

Построение t-норм аддитивными генераторами основано на следующей теореме:

Пусть f : [0, 1] → [0, +∞] — строго убывающая функция такая, что f (1) = 0 и f ( x ) + f ( y ) находится в диапазоне f или равна f (0 ⁺ ) или +∞ для всех x , y в [0, 1]. Тогда функция T : [0, 1] ² → [0, 1] определяется как

Т ( Икс , y ) знак равно ж  ^(-1) ( ж ( Икс ) + ж ( у ))

является Т-нормой.

Альтернативно, можно избежать использования понятия псевдообратной функции, имея $T(x,y)=f^{-1}\left(\min \left(f(0^{+}),f(x)+f(y)\right)\right)$. Соответствующий остаток может быть тогда выражен как $(x\Rightarrow y)=f^{-1}\left(\max \left(0,f(y)-f(x)\right)\right)$. И биостаток как $(x\Leftrightarrow y)=f^{-1}\left(\left|f(x)-f(y)\right|\right)$.

Если t-норма T является результатом последней конструкции с помощью функции f непрерывной справа по 0, то f называется аддитивным генератором T , .

Примеры:

• Функция f ( x ) = 1 – x для x в [0, 1] является аддитивным генератором t-нормы Лукасевича.
• Функция f, определяемая как f ( x ) = –log( x ), если 0 < x ≤ 1 и f (0) = +∞, является аддитивным генератором t-нормы произведения.
• Функция f, определенная как f ( x ) = 2 – x, если 0 ≤ x < 1 и f (1) = 0, является аддитивным генератором радикальной t-нормы.

Основные свойства аддитивных генераторов резюмируются следующей теоремой:

Пусть f : [0, 1] → [0, +∞] — аддитивный генератор t-нормы T . Затем:

• T — архимедова t-норма.
• T непрерывно тогда и только тогда, когда f непрерывно.
• T строго монотонна тогда и только тогда, когда f (0) = +∞.
• Каждый элемент (0, 1) является нильпотентным элементом T тогда и только тогда, когда f(0) < +∞.
• Умножение f на положительную константу также является аддитивным генератором T .
• T не имеет нетривиальных идемпотентов. (Следовательно, например, минимальная t-норма не имеет аддитивного генератора.)

Мультипликативные генераторы

Изоморфизм между сложением на [0, +∞] и умножением на [0, 1] на логарифм и показательную функцию допускает двусторонние преобразования между аддитивными и мультипликативными генераторами t-нормы. Если f — аддитивный генератор t-нормы T , то функция h : [0, 1] → [0, 1] определяется как h ( x ) = e ^{- ж ( Икс )} является мультипликативным генератором , T то есть функцией h такой, что

• h строго возрастает
• ч (1) = 1
• h ( x ) · h ( y ) находится в диапазоне h или равно 0 или h (0+) для всех x , y в [0, 1]
• h непрерывен справа в 0
• Т ( Икс , y ) знак равно час  ⁽⁻¹⁾ ( час ( Икс ) · час ( у )).

И наоборот, если h — мультипликативный генератор T , то f 0, +∞], определенный формулой f ( x ) = −log( h (x)) — аддитивный генератор T. : [0, 1] → [

Параметрические классы t-норм

Многие семейства связанных t-норм могут быть определены явной формулой в зависимости от параметра p . В этом разделе перечислены наиболее известные параметризованные семейства t-норм. В списке будут использоваться следующие определения:

• Семейство t-норм T _p, параметризованное p , является возрастающим , если T _p ( x , y ) ⩽ T _q ( x , y ) для всех x , y в [0, 1] всякий раз, когда p ⩽ q (аналогично для убывающих и строго увеличивается или уменьшается).
• Семейство t-норм T _p непрерывно по параметру p, если

$\lim _{p\to p_{0}}T_{p}=T_{p_{0}}$

для всех значений p ₀ параметра.

Т-нормы Швейцарца – Склара

График (3D и контуры) t-нормы Швейцера – Склара с p = 2

Семейство t-норм Швейцера – Склара , введенное Бертольдом Швейцером и Эйбом Скларом в начале 1960-х годов, задается параметрическим определением

$T_{p}^{\mathrm {SS} }(x,y)={\begin{cases}T_{\min }(x,y)&{\text{if }}p=-\infty \\(x^{p}+y^{p}-1)^{1/p}&{\text{if }}-\infty <p<0\\T_{\mathrm {prod} }(x,y)&{\text{if }}p=0\\(\max(0,x^{p}+y^{p}-1))^{1/p}&{\text{if }}0<p<+\infty \\T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty .\end{cases}}$

Т-норма Швейцара – Склара $T_{p}^{\mathrm {SS} }$ является

• Архимедово тогда и только тогда, когда p > −∞
• Непрерывно тогда и только тогда, когда p < +∞
• Строгий тогда и только тогда, когда −∞ < p ≤ 0 (при p = −1 это произведение Хамахера)
• Нильпотент тогда и только тогда, когда 0 < p < +∞ (при p = 1 это t-норма Лукасевича).

Семейство строго убывает при p ≥ 0 и непрерывно по p на [−∞, +∞]. Аддитивный генератор для $T_{p}^{\mathrm {SS} }$ для −∞ < p < +∞

$f_{p}^{\mathrm {SS} }(x)={\begin{cases}-\log x&{\text{if }}p=0\\{\frac {1-x^{p}}{p}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Т-нормы Хамахера

Семейство t-норм Хамахера , введенное Хорстом Хамахером в конце 1970-х годов, задается следующим параметрическим определением для 0 ≤ p ≤ +∞:

$T_{p}^{\mathrm {H} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \\0&{\text{if }}p=x=y=0\\{\frac {xy}{p+(1-p)(x+y-xy)}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Т-норма $T_{0}^{\mathrm {H} }$ называется произведением Хамахера.

Т-нормы Хамахера — единственные t-нормы, которые являются рациональными функциями.Т-норма Хамахера $T_{p}^{\mathrm {H} }$ является строгим тогда и только тогда, когда p < +∞ (при p = 1 это t-норма произведения). Семейство строго убывающее и непрерывное по p . Аддитивный генератор $T_{p}^{\mathrm {H} }$ для p < +∞

$f_{p}^{\mathrm {H} }(x)={\begin{cases}{\frac {1-x}{x}}&{\text{if }}p=0\\\log {\frac {p+(1-p)x}{x}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Фрэнк Т-нормы

Семейство t-норм Франка , введенное М. Дж. Франком в конце 1970-х годов, задается параметрическим определением для 0 ≤ p ≤ +∞ следующим образом:

$T_{p}^{\mathrm {F} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{if }}p=0\\T_{\mathrm {prod} }(x,y)&{\text{if }}p=1\\T_{\mathrm {Luk} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \\\log _{p}\left(1+{\frac {(p^{x}-1)(p^{y}-1)}{p-1}}\right)&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Т-норма Франка $T_{p}^{\mathrm {F} }$ является строгим, если p < +∞. Семейство строго убывающее и непрерывное по p . Аддитивный генератор для $T_{p}^{\mathrm {F} }$ является

$f_{p}^{\mathrm {F} }(x)={\begin{cases}-\log x&{\text{if }}p=1\\1-x&{\text{if }}p=+\infty \\\log {\frac {p-1}{p^{x}-1}}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Ягер Т-нормы

График t-нормы Ягера при p = 2

Семейство t-норм Ягера , введенное в начале 1980-х годов Рональдом Р. Ягером , для 0 ≤ p ≤ +∞ определяется выражением

$T_{p}^{\mathrm {Y} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=0\\\max \left(0,1-((1-x)^{p}+(1-y)^{p})^{1/p}\right)&{\text{if }}0<p<+\infty \\T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \end{cases}}$

Т-норма Ягера $T_{p}^{\mathrm {Y} }$ нильпотентен тогда и только тогда, когда 0 < p < +∞ (при p = 1 это t-норма Лукасевича). Семейство строго возрастающее и непрерывное по p . Т-норма Ягера $T_{p}^{\mathrm {Y} }$ для 0 < p < +∞ возникает из t-нормы Лукасевича путем возведения ее аддитивного генератора в степень p . Аддитивный генератор $T_{p}^{\mathrm {Y} }$ для 0 < p < +∞

$f_{p}^{\mathrm {Y} }(x)=(1-x)^{p}.$

Т-нормы Ацела – Альсины

Семейство t-норм Ачела-Альсины , введенное в начале 1980-х годов Яношем Ачелом и Клауди Альсиной, для 0 ≤ p ≤ +∞ определяется выражением

$T_{p}^{\mathrm {AA} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=0\\e^{-\left(|-\log x|^{p}+|-\log y|^{p}\right)^{1/p}}&{\text{if }}0<p<+\infty \\T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \end{cases}}$

Т-норма Ацеля-Альсины $T_{p}^{\mathrm {AA} }$ является строгим тогда и только тогда, когда 0 < p < +∞ (при p = 1 это t-норма произведения). Семейство строго возрастающее и непрерывное по p . Т-норма Ацеля-Альсины $T_{p}^{\mathrm {AA} }$ для 0 < p < +∞ возникает из t-нормы произведения путем возведения его аддитивного генератора в степень p . Аддитивный генератор $T_{p}^{\mathrm {AA} }$ для 0 < p < +∞

$f_{p}^{\mathrm {AA} }(x)=(-\log x)^{p}.$

Dombi t-norms

Семейство t-норм Домби , введенное Йожефом Домби (1982), задается для 0 ≤ p ≤ +∞ следующим образом:

$T_{p}^{\mathrm {D} }(x,y)={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ or }}y=0\\T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=0\\T_{\mathrm {min} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \\{\frac {1}{1+\left(\left({\frac {1-x}{x}}\right)^{p}+\left({\frac {1-y}{y}}\right)^{p}\right)^{1/p}}}&{\text{otherwise.}}\\\end{cases}}$

Т-норма Домби $T_{p}^{\mathrm {D} }$ является строгим тогда и только тогда, когда 0 < p < +∞ (при p = 1 это произведение Хамахера). Семейство строго возрастающее и непрерывное по p . Т-норма Домби $T_{p}^{\mathrm {D} }$ для 0 < p < +∞ возникает из t-нормы произведения Хамахера путем возведения его аддитивного генератора в степень p . Аддитивный генератор $T_{p}^{\mathrm {D} }$ для 0 < p < +∞

$f_{p}^{\mathrm {D} }(x)=\left({\frac {1-x}{x}}\right)^{p}.$

t-нормы Сугено – Вебера

Семейство t-норм Сугено-Вебера было введено в начале 1980-х годов Зигфридом Вебером; двойные t-конормы были определены еще в начале 1970-х годов Мичио Сугено. оно определяется Для −1 ≤ p ≤ +∞ формулой

$T_{p}^{\mathrm {SW} }(x,y)={\begin{cases}T_{\mathrm {D} }(x,y)&{\text{if }}p=-1\\\max \left(0,{\frac {x+y-1+pxy}{1+p}}\right)&{\text{if }}-1<p<+\infty \\T_{\mathrm {prod} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \end{cases}}$

Т-норма Сугено-Вебера $T_{p}^{\mathrm {SW} }$ нильпотентна тогда и только тогда, когда −1 < p < +∞ (при p = 0 это t-норма Лукасевича). Семейство строго возрастающее и непрерывное по p . Аддитивный генератор $T_{p}^{\mathrm {SW} }$ для 0 < p < +∞ [так в оригинале]

$f_{p}^{\mathrm {SW} }(x)={\begin{cases}1-x&{\text{if }}p=0\\1-\log _{1+p}(1+px)&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

Порядковые суммы

Порядковая сумма создает t-норму из семейства t-норм путем сжатия их в непересекающиеся подинтервалы интервала [0, 1] и завершения t-нормы, используя минимум на остальной части единичного квадрата. Он основан на следующей теореме:

Пусть T _i для i в индексном множестве I — семейство t-норм, а ( a _i , b _i ) — семейство попарно непересекающихся (непустых) открытых подинтервалов интервала [0, 1]. Тогда функция T : [0, 1] ² → [0, 1] определяется как

$T(x,y)={\begin{cases}a_{i}+(b_{i}-a_{i})\cdot T_{i}\left({\frac {x-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}},{\frac {y-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}\right)&{\text{if }}x,y\in [a_{i},b_{i}]^{2}\\\min(x,y)&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

является Т-нормой.

Порядковая сумма t-нормы Лукасевича на интервале [0,05, 0,45] и произведения t-нормы на интервале [0,55, 0,95]

Результирующая t-норма называется порядковой суммой слагаемых ( T _i , a _i , b _i ) для i в I , обозначаемой через

$T=\bigoplus \nolimits _{i\in I}(T_{i},a_{i},b_{i}),$

или $(T_{1},a_{1},b_{1})\oplus \dots \oplus (T_{n},a_{n},b_{n})$ если я конечен.

Порядковые суммы t-норм обладают следующими свойствами:

• Каждая t-норма представляет собой тривиальную порядковую сумму самой себя на всем интервале [0, 1].
• Пустая порядковая сумма (для пустого набора индексов) дает минимальную t-норму T _min . Слагаемые с минимальной t-нормой можно произвольно добавлять или опускать без изменения результирующей t-нормы.
• Без ограничения общности можно предположить, что набор индексов счетен , поскольку действительная линия может содержать только не более счетного числа непересекающихся подинтервалов.
• Порядковая сумма t-нормы непрерывна тогда и только тогда, когда каждое слагаемое является непрерывной t-нормой. (Аналогично для непрерывности слева.)
• Порядковая сумма является архимедовой тогда и только тогда, когда она представляет собой тривиальную сумму одной архимедовой t-нормы на всем единичном интервале.
• Порядковая сумма имеет делители нуля тогда и только тогда, когда для некоторого индекса a i i ₌ 0 и T _i имеет делители нуля. (Аналогично для нильпотентных элементов.)

Если $T=\bigoplus \nolimits _{i\in I}(T_{i},a_{i},b_{i})$ является непрерывной слева t-нормой, то ее остаток R задается следующим образом:

$R(x,y)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\leq y\\a_{i}+(b_{i}-a_{i})\cdot R_{i}\left({\frac {x-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}},{\frac {y-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}\right)&{\text{if }}a_{i}<y<x\leq b_{i}\\y&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

где R _i остаток Ti _для каждого i в I. —

Порядковые суммы непрерывных t-норм

Порядковая сумма семейства непрерывных t-норм является непрерывной t-нормой. По теореме Мостерта – Шилдса каждая непрерывная t-норма выражается как порядковая сумма архимедовых непрерывных t-норм. Поскольку последние либо нильпотентны (а затем изоморфны t-норме Лукасевича), либо строгие (тогда изоморфны t-норме произведения), каждая непрерывная t-норма изоморфна порядковой сумме t-норм Лукасевича и произведения.

Важными примерами порядковых сумм непрерывных t-норм являются следующие:

• t-нормы Дюбуа-Прада , введенные Дидье Дюбуа и Анри Прадом в начале 1980-х годов, представляют собой порядковые суммы произведения t-нормы на [0, p ] для параметра p в [0, 1] и (по умолчанию) минимальная t-норма на остальной части единичного интервала. Семейство t-норм Дюбуа–Прада убывающее и непрерывное по p ..
• t-нормы Майора-Торренса , введенные Гаспаром Майором и Джоан Торренс в начале 1990-х годов, представляют собой порядковые суммы t-нормы Лукасевича на [0, p ] для параметра p в [0, 1] и (по умолчанию) минимальная t-норма на остальной части единичного интервала. Семейство t-норм Майора–Торренса убывающее и непрерывное по p ..

Ротации

Построение t-норм путем вращения было предложено Шандором Йенеи (2000). Он основан на следующей теореме:

Пусть T — непрерывная слева t-норма без делителей нуля , N : [0, 1] → [0, 1] — функция, которая сопоставляет 1 − x с x и t = 0,5. Пусть T ₁ — линейное преобразование T в [ t , 1] и $R_{T_{1}}(x,y)=\sup\{z\mid T_{1}(z,x)\leq y\}.$ Тогда функция

$T_{\mathrm {rot} }={\begin{cases}T_{1}(x,y)&{\text{if }}x,y\in (t,1]\\N(R_{T_{1}}(x,N(y)))&{\text{if }}x\in (t,1]{\text{ and }}y\in [0,t]\\N(R_{T_{1}}(y,N(x)))&{\text{if }}x\in [0,t]{\text{ and }}y\in (t,1]\\0&{\text{if }}x,y\in [0,t]\end{cases}}$

является непрерывной слева t-нормой, называемой вращением t-нормы T .

Нильпотентный минимум как вращение минимальной t-нормы

Геометрически конструкцию можно описать как сначала сжатие t-нормы T до интервала [0,5, 1], а затем ее поворот на угол 2π/3 в обе стороны вокруг линии, соединяющей точки (0, 0, 1) и (1, 1, 0).

Вращения Лукасевича , произведения , нильпотентного минимума и резкой t-нормы

Теорему можно обобщить, взяв в качестве любое сильное отрицание , то есть инволютивную строго убывающую непрерывную функцию на [0, 1], а в качестве t единственную неподвижную точку N. — N

Результирующая t-норма обладает следующим свойством инвариантности вращения относительно N :

T ( x , y ) ≤ z тогда и только тогда, когда T ( y , N ( z )) ≤ N ( x ) для всех x , y , z в [0, 1].

Отрицание, индуцированное T _rot, — это функция N , то есть N ( x ) = R _rot ( x , 0) для всех x , где R _rot — остаток T _rot .

См. также

• Т-норма
• Т-норма нечеткой логики

Ссылки

• Клемент, Эрих Петер; Месиар, Радко; и Пап, Эндре (2000), Треугольные нормы . Дордрехт: Клювер. ISBN   0-7923-6416-3 .
• Фодор, Янош (2004), «Непрерывные слева t-нормы в нечеткой логике: обзор» . Acta Polytechnica Hungarica 1 (2), ISSN 1785-8860 [1]
• Домби, Йожеф (1982), «Общий класс нечетких операторов, класс нечетких операторов ДеМоргана и меры нечеткости, индуцированные нечеткими операторами» . Нечеткие множества и системы 8 , 149–163.
• Дженей, Шандор (2000), «Структура непрерывных слева t-норм с сильными индуцированными отрицаниями. (I) Конструкция вращения». Журнал прикладной неклассической логики 10 , 83–92.
• Навара, Мирко (2007), «Треугольные нормы и конформы» , Scholarpedia [2] .