Изофота

В геометрии изофота — это кривая на освещенной поверхности, соединяющая точки одинаковой яркости . Предполагается, что освещение осуществляется параллельным светом, а яркость $b$ измеряется следующим скалярным произведением :

b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi

где ⁠ ${\vec {n}}(P)$ ⁠ — единичный вектор нормали к поверхности в точке $P$ , ⁠ ${\vec {v}}$ ⁠ единичный вектор направления света. Если $b (P) = 0$ , т. е. свет перпендикулярен нормали к поверхности, то точка $P$ является точкой силуэта поверхности, наблюдаемой в направлении ⁠. ${\vec {v}}.$ ⁠ Яркость 1 означает, что вектор света перпендикулярен поверхности. нет У плоскости изофот, потому что все точки имеют одинаковую яркость.

В астрономии изофота — это кривая на фотографии, соединяющая точки одинаковой яркости. ^[1]

Применение и пример

В автоматизированном проектировании изофоты используются для оптической проверки гладкости соединений поверхностей. Для поверхности (неявной или параметрической), которая достаточно дифференцируема, вектор нормали зависит от первых производных. Следовательно, дифференцируемость изофот и их геометрическая непрерывность на 1 меньше, чем у поверхности. Если в точке поверхности только касательные плоскости непрерывны (т.е. G1-непрерывны), то изофоты имеют там излом (т.е. являются только G0-непрерывными).

В следующем примере (см. диаграмму) две пересекающиеся поверхности Безье смешиваются с помощью третьего участка поверхности. На левом изображении поверхность сглаживания имеет только G1-контакт с поверхностями Безье, а на правом изображении поверхности имеют G2-контакт. Эту разницу невозможно распознать по картинке. Но геометрическая непрерывность изофот показывает: с левой стороны они имеют изломы (т.е. G0-непрерывность), а с правой стороны они гладкие (т.е. G1-непрерывность).

Изофоты на двух поверхностях Безье и G1-непрерывной (слева) и G2-непрерывной (справа) поверхности сглаживания: слева изофоты имеют изломы, а справа гладкие.

Определение точек изофоты

На неявной поверхности

Для неявной поверхности с уравнением $f(x,y,z)=0,$ состояние изофоты ${\frac {\nabla f\cdot {\vec {v}}}{|\nabla f|}}=c\ .$ Это означает: точки изофоты с заданным параметром $c$ являются решениями нелинейной системы. ${\begin{aligned}f(x,y,z)&=0,\\[4pt]\nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v}}-c\;|\nabla f(x,y,z)|&=0,\end{aligned}}$ которую можно рассматривать как кривую пересечения двух неявных поверхностей. Используя алгоритм трассировки Bajaj et al. (см. ссылки) можно вычислить многоугольник точек.

На параметрической поверхности

В случае параметрической поверхности ${\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)$ состояние изофоты

${\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ .$

что эквивалентно $\ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .$ Это уравнение описывает неявную кривую в st-плоскости, которую можно проследить с помощью подходящего алгоритма (см. неявную кривую ) и преобразовать с помощью ${\vec {S}}(s,t)$ в точки поверхности.

См. также

Контурная линия

Ссылки

Дж. Хошек, Д. Лассер: Основы обработки геометрических данных , Teubner-Verlag, Штутгарт, 1989, ISBN 3-519-02962-6 , с. 31.
З. Сан, С. Шан, Х. Санг и др.: Биометрическое распознавание , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4 , с. 158.
К. Л. Баджадж, К. М. Хоффманн, Р. Э. Линч, Дж. Э. Хопкрофт: Отслеживание пересечений поверхностей , (1988) Comp. Помощник Геом. Дизайн 5, стр. 285–307.
CT Leondes: Компьютерные и интегрированные производственные системы: методы оптимизации , Vol. 3, Всемирный научный журнал, 2003 г., ISBN 981-238-981-4 , с. 209.

^ Дж. Бинни, М. Меррифилд: Галактическая астрономия , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1 , с. 178.

Внешние ссылки

[1] Дж. Бинни, М. Меррифилд: Галактическая астрономия , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1 , с. 178.

[1]