Поверхность Безье

Поверхности Безье — это разновидность математического сплайна, используемого в компьютерной графике , автоматизированном проектировании и моделировании методом конечных элементов . Как и кривые Безье , поверхность Безье определяется набором контрольных точек. Во многих отношениях аналогично интерполяции, ключевое отличие состоит в том, что поверхность, как правило, не проходит через центральные контрольные точки; скорее, оно «протянуто» к ним, как если бы каждый из них был силой притяжения. Они визуально интуитивно понятны и для многих приложений математически удобны.

История

Поверхности Безье были впервые описаны в 1962 году французским инженером Пьером Безье , который использовал их при проектировании кузовов автомобилей . Поверхности Безье могут иметь любую степень, но бикубические поверхности Безье обычно обеспечивают достаточную степень свободы для большинства приложений.

Уравнение

Данная поверхность Безье степени ( n , m ) определяется набором ( n + 1) ( m + 1) контрольных точек k _{i , j ,} где i = 0, ..., n и j = 0, .. ., м . Он отображает единичный квадрат в гладкую непрерывную поверхность, встроенную в пространство, содержащее j _{s являются точками} в четырехмерном _{пространстве k i , j s – например, если все ki , ,} то поверхность будет находиться в пределах четырехмерное пространство.

Двумерную поверхность Безье можно определить как параметрическую поверхность , где положение точки p как функция параметрических координат u , v определяется выражением: ^[1]

\mathbf {p} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\,B_{j}^{m}(v)\,\mathbf {k} _{i,j}

оценивается по единичному квадрату, где

B_{i}^{n}(u)={n \choose i}u^{i}(1-u)^{n-i}

является базисным полиномом Бернштейна и

{n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}

является биномиальным коэффициентом .

Некоторые свойства поверхностей Безье:

Поверхность Безье будет трансформироваться так же, как и ее контрольные точки, при всех линейных преобразованиях и перемещениях .
Все u = константа и v линии = константа в пространстве ( u , v ) и, в частности, все четыре ребра деформированного единичного квадрата ( u , v ) являются кривыми Безье.
Поверхность Безье будет полностью лежать внутри выпуклой оболочки своих контрольных точек и, следовательно, также полностью внутри ограничивающего прямоугольника своих контрольных точек в любой заданной декартовой системе координат .
Точки на участке, соответствующие углам деформированного единичного квадрата, совпадают с четырьмя контрольными точками.
Однако поверхность Безье обычно не проходит через другие контрольные точки.

Как правило, поверхности Безье чаще всего используются в виде сетей бикубических участков (где m = n = 3). Таким образом, геометрия одного бикубического участка полностью определяется набором из 16 контрольных точек. Обычно они соединяются, образуя поверхность B-сплайна , аналогично тому, как кривые Безье соединяются, образуя кривую B-сплайна .

Более простые поверхности Безье формируются из биквадратных участков ( m = n = 2) или треугольников Безье .

Поверхности Безье в компьютерной графике

Сетки Безье превосходят треугольные сетки в качестве представления гладких поверхностей. Они требуют меньше точек (и, следовательно, меньше памяти) для представления изогнутых поверхностей, ими легче манипулировать, и они имеют гораздо лучшие непрерывности свойства . Кроме того, другие распространенные параметрические поверхности, такие как сферы и цилиндры, могут быть хорошо аппроксимированы относительно небольшим количеством кубических участков Безье.

Однако сетки патчей Безье сложно визуализировать напрямую. Одна из проблем с пятнами Безье заключается в том, что вычислить их пересечения с линиями сложно, что делает их неудобными для чистой трассировки лучей или других прямых геометрических методов, которые не используют методы подразделения или последовательного приближения. Их также сложно напрямую комбинировать с алгоритмами перспективной проекции.

По этой причине сетки патчей Безье, как правило, в конечном итоге разлагаются на сетки плоских треугольников с помощью конвейеров 3D-рендеринга . При высококачественном рендеринге разделение настраивается настолько точно, что границы отдельных треугольников не видны. Чтобы избежать «капельного» вида, на этом этапе к поверхностям Безье обычно применяются мелкие детали с использованием карт текстур , карт рельефа и других методов пиксельного шейдера .

Участок Безье степени ( m , n ) может быть построен из двух треугольников Безье степени m + n или из одного треугольника Безье степени m + n , с входной областью в виде квадрата, а не треугольника .

Треугольник Безье степени m также может быть построен из поверхности Безье степени ( m , m ) с контрольными точками так, чтобы одно ребро было сжато до точки, или с входной областью в виде треугольника вместо квадрата.

См. также

Библиография

^ Фарин, Джеральд (2002). Кривые и поверхности для CAGD (5-е изд.). Академическая пресса. ISBN 1-55860-737-4 .

[1] Фарин, Джеральд (2002). Кривые и поверхности для CAGD (5-е изд.). Академическая пресса. ISBN 1-55860-737-4 .

[1]