Начальная загрузка популяций

Начальная загрузка совокупностей в статистике и математике начинается с выборки $\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}$ наблюдается по случайной величине .

Когда X имеет заданный закон распределения с набором нефиксированных параметров, мы обозначаем вектором ${\boldsymbol {\theta }}$Задача параметрического вывода состоит в вычислении подходящих значений (назовем их оценками ) этих параметров именно на основе выборки. Оценка подходит, если замена ее неизвестным параметром не приведет к серьезным повреждениям в следующих вычислениях. В алгоритмическом выводе пригодность оценки определяется с точки зрения совместимости с наблюдаемой выборкой.

В этой структуре методы повторной выборки направлены на генерацию набора значений-кандидатов для замены неизвестных параметров, которые мы считываем как их совместимые копии. Они представляют собой совокупность спецификаций случайного вектора. ${\boldsymbol {\Theta }}$ совместим с наблюдаемой выборкой, где совместимость ее значений имеет свойства распределения вероятностей. Подключая параметры к выражению рассматриваемого закона распределения, мы загружаем целые совокупности случайных величин, совместимых с наблюдаемой выборкой.

Смысл алгоритмов вычисления реплик, которые мы обозначаем процедурами начальной загрузки населения , состоит в том, чтобы идентифицировать набор статистических данных. $\{s_{1},\ldots ,s_{k}\}$ проявляющие определенные свойства, обозначающие поведение скважины относительно неизвестных параметров. Статистика выражается как функция наблюдаемых значений. $\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}$, по определению. $x_{i}$ может быть выражено как функция неизвестных параметров и случайной спецификации начального числа. $z_{i}$ через механизм выборки $(g_{\boldsymbol {\theta }},Z)$, по очереди. Тогда, подставив второе выражение в первое, получим $s_{j}$ выражения как функции начальных чисел и параметров – основные уравнения – которые мы инвертируем, чтобы найти значения последних как функцию: i) статистики, значения которой, в свою очередь, фиксируются на наблюдаемых; и ii) начальные числа, которые являются случайными в соответствии с их собственным распределением. Следовательно, из набора образцов семян мы получаем набор реплик параметров.

Метод

Учитывая ${\boldsymbol {x}}=\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}$ случайной величины X и механизма выборки $(g_{\boldsymbol {\theta }},Z)$ для X реализация x определяется выражением ${\boldsymbol {x}}=\{g_{\boldsymbol {\theta }}(z_{1}),\ldots ,g_{\boldsymbol {\theta }}(z_{m})\}$, с ${\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\ldots ,\theta _{k})$. Ориентируясь на хорошую статистику ,

$s_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),$

$\vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots$

$s_{k}=h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{m}),$

для их параметров основные уравнения гласят:

$s_{1}=h_{1}(g_{\boldsymbol {\theta }}(z_{1}),\ldots ,g_{\boldsymbol {\theta }}(z_{m}))=\rho _{1}({\boldsymbol {\theta }};z_{1},\ldots ,z_{m})$
$\vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots$	(1)
$s_{k}=h_{k}(g_{\boldsymbol {\theta }}(z_{1}),\ldots ,g_{\boldsymbol {\theta }}(z_{m}))=\rho _{k}({\boldsymbol {\theta }};z_{1},\ldots ,z_{m}).$

Для каждого образца семян $\{z_{1},\ldots ,z_{m}\}$ вектор параметров ${\boldsymbol {\theta }}$ получается из решения приведенной выше системы с $s_{i}$ зафиксировано на наблюдаемых значениях.Вычислив огромный набор совместимых векторов, скажем N , эмпирическое предельное распределение $\Theta _{j}$ получается путем:

${\widehat {F}}_{\Theta _{j}}(\theta )=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{N}}I_{(-\infty ,\theta ]}({\breve {\theta }}_{j,i})$

(2)

где ${\breve {\theta }}_{j,i}$ – j-я компонента общего решения уравнения (1), где $I_{(-\infty ,\theta ]}({\breve {\theta }}_{j,i})$ – индикаторная функция ${\breve {\theta }}_{j,i}$ в интервале $(-\infty ,\theta ].$Некоторые неопределенности остаются, если X дискретно, и это мы вскоре рассмотрим.Всю процедуру можно резюмировать в виде следующего алгоритма, где индекс ${\boldsymbol {\Theta }}$ из ${\boldsymbol {s}}_{\boldsymbol {\Theta }}$ обозначает вектор параметров, из которого получается вектор статистики.

Алгоритм

Генерация совокупности параметров с помощью начальной загрузки

Учитывая образец $\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}$ от случайной величины с вектором параметров ${\boldsymbol {\theta }}$ неизвестный, Определить вектор хорошей статистики ${\boldsymbol {S}}$ для ${\boldsymbol {\Theta }}$; вычислить спецификацию ${\boldsymbol {s}}_{\boldsymbol {\Theta }}$ из ${\boldsymbol {S}}$ из образца; повторите для удовлетворительного количества N итераций: нарисовать образец семени ${\breve {\boldsymbol {z}}}_{i}$ размера m из исходной случайной величины; получать ${\breve {\boldsymbol {\theta }}}_{i}=\mathrm {Inv} ({\boldsymbol {s}},{\boldsymbol {z}}_{i})$ как решение (1) по θ с ${\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {s}}_{\boldsymbol {\Theta }}$ и ${\boldsymbol {z}}_{i}=\{{\breve {z}}_{1},\ldots ,{\breve {z}}_{m}\}$; добавлять ${\breve {\boldsymbol {\theta }}}_{i}$ к ${\boldsymbol {\Theta }}$; население.

Кумулятивная функция распределения параметра Λ экспоненциальной случайной величины при статистике $s_{\Lambda }=6.36$

Кумулятивная функция распределения параметра A однородной непрерывной случайной величины при статистике $s_{A}=9.91$

вы можете легко увидеть Из таблицы достаточной статистики , что мы получаем кривую на рисунке слева, вычисляя эмпирическое распределение (2) для совокупности, полученное с помощью вышеуказанного алгоритма, когда: i) X является экспоненциальной случайной величиной, ii) $s_{\Lambda }=\sum _{j=1}^{m}x_{j}$, и

${\text{ iii) Inv}}(s_{\Lambda },{\boldsymbol {u}}_{i})=\sum _{j=1}^{m}(-\log u_{ij})/s_{\Lambda }$,

и кривая на рисунке справа, когда: i) X — однородная случайная величина в $[0,a]$, ii) $s_{A}=\max _{j=1,\ldots ,m}x_{j}$, и

${\text{iii) Inv}}(s_{A},{\boldsymbol {u}}_{i})=s_{A}/\max _{j=1,\ldots ,m}\{u_{ij}\}$.

Примечание

Отметим, что точность определения закона распределения параметровПолучение популяций, совместимых с выборкой, не является функцией размера выборки. Вместо этого это функция количества семян, которые мы рисуем. В свою очередь, это число является чисто вопросом вычислительного времени, но не требует какого-либо расширения наблюдаемых данных. При использовании других методов начальной загрузки, ориентированных на создание реплик выборки (например, предложенных ( Efron & Tibshirani 1993 )), точность оценочных распределений зависит от размера выборки.

Пример

Для ${\boldsymbol {x}}$ ожидается, что оно будет представлять распределение Парето , спецификация которого требует значений параметров $a$ и к , мы имеем, что кумулятивная функция распределения выглядит следующим образом:

Совместная эмпирическая кумулятивная функция распределения параметров $(A,K)$ случайной величины Парето, когда $m=30,s_{1}=83.24$ и $s_{2}=8.37$ на основе 5000 реплик.

$F_{X}(x)=1-\left({\frac {k}{x}}\right)^{a}$.

Механизм выборки $(g_{(a,k)},U)$ имеет $[0,1]$ однородное семя U и объясняющая функция $g_{(a,k)}$ описано:

$x=g_{(a,k)}=(1-u)^{-{\frac {1}{a}}}k$

Соответствующая статистика ${\boldsymbol {s}}_{\boldsymbol {\Theta }}$ представляет собой пару совместных достаточных статистик для $A$ и К соответственно $s_{1}=\sum _{i=1}^{m}\log x_{i},s_{2}=\min\{x_{i}\}$.Основные уравнения читаются

$s_{1}=\sum _{i=1}^{m}-{\frac {1}{a}}\log(1-u_{i})+m\log k$

$s_{2}=(1-u_{\min })^{-{\frac {1}{a}}}k$

с $u_{\min }=\min\{u_{i}\}$.

На рисунке справа показан трехмерный график эмпирической кумулятивной функции распределения (2) $(A,K)$.

Ссылки

• Эфрон Б. и Тибширани Р. (1993). Введение в Bootsrap . Фриман, Нью-Йорк: Чепмен и Холл.
• Аполлони, Б.; Мальчиоди, Д.; Гайто, С. (2006). Алгоритмический вывод в машинном обучении . Международная серия по передовому интеллекту. Том. 5 (2-е изд.). Аделаида: Мэгилл. Передовые знания Международные
• Аполлони, Б.; Бассис, С.; Гайто. С.; Мальчиоди, Д. (2007). «Оценка медицинского лечения путем изучения основных функций с хорошей уверенностью». Текущий фармацевтический дизайн . 13 (15): 1545–1570. дои : 10.2174/138161207780765891 . ПМИД   17504150 .