Сферический вихрь Хилла

Сферический вихрь Хилла — это точное решение уравнений Эйлера , которое обычно используется для моделирования вихревого кольца . Решение также используется для моделирования распределения скорости внутри сферической капли одной жидкости, движущейся с постоянной скоростью через другую жидкость при малом числе Рейнольдса. ^{[ 1 ]} Вихрь назван в честь Михея Джона Мюллера Хилла, который нашел точное решение в 1894 году. ^{[ 2 ]} Двумерным аналогом этого вихря является диполь Лэмба–Чаплыгина .

Решение описывается в сферической полярной системе координат $(r,\theta ,\phi )$ с соответствующими компонентами скорости $(v_{r},v_{\theta },0)$ . Компоненты скорости определяются по функции тока Стокса. $\psi (r,\theta )$ следующее

v_{r}={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\quad v_{\theta }=-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}.

Сферический вихрь Хилла описывается формулой ^{[ 3 ]}

\psi ={\begin{cases}-{\frac {3U}{4}}\left(1-{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)r^{2}\sin ^{2}\theta \quad {\text{in}}\quad r\leq a\\{\frac {U}{2}}\left(1-{\frac {a^{3}}{r^{3}}}\right)r^{2}\sin ^{2}\theta \quad {\text{in}}\quad r\geq a\end{cases}}

где $U$ - постоянная скорость набегающего потока вдали от начала координат и $a$ — радиус сферы, внутри которой завихренность отлична от нуля. Для $r\geq a$ , завихренность равна нулю, и описанное выше решение в этом диапазоне представляет собой не что иное, как потенциальное обтекание сферы радиуса $a$ . Единственная ненулевая компонента завихренности для $r\leq a$ - азимутальная составляющая, определяемая выражением

\omega _{\phi }=-{\frac {15U}{2a^{2}}}r\sin \theta .

Обратите внимание, что здесь параметры $U$ и $a$ можно масштабировать путем обезразмеривания.

Сферический вихрь Хилла с вихревым движением

Сферический вихрь Хилла с вихревым движением был создан Китом Моффаттом в 1969 году. ^{[ 4 ]} Ранее обсуждение подобных проблем было проведено Уильямом Митчинсоном Хиксом в 1899 году. ^{[ 5 ]} Решение было также обнаружено Кельвином Х. Пендергастом в 1956 году в контексте физики плазмы. ^{[ 6 ]} поскольку существует прямая связь между этими потоками жидкости и физикой плазмы (см. связь между уравнением Хикса и уравнением Грэда – Шафранова ). Движение $(v_{r},v_{\theta },v_{\phi })$ в аксиальной (или меридиональной) плоскости описывается функцией тока Стокса $\psi$ как раньше. Азимутальное движение ${\textstyle v_{\phi }}$ дается

v_{\phi }={\frac {\pm k\psi }{r\sin \theta }}

где

\psi ={\begin{cases}-{\frac {3U}{2}}{\frac {J_{3/2}(ka)}{J_{5/2}(ka)}}\left[\left({\frac {a}{r}}\right)^{3/2}{\frac {J_{3/2}(kr)}{J_{3/2}(ka)}}-1\right]r^{2}\sin ^{2}\theta \quad {\text{in}}\quad r\leq a\\{\frac {U}{2}}\left(1-{\frac {a^{3}}{r^{3}}}\right)r^{2}\sin ^{2}\theta \quad {\text{in}}\quad r\geq a\end{cases}}

где $J_{3/2}$ и $J_{5/2}$ – функции Бесселя первого рода. В отличие от сферического вихря Хилла без закрученного движения, задача здесь содержит произвольный параметр $ka$ . Общий класс решений уравнения Эйлера, описывающего распространение трехмерных вихрей без изменения формы, предоставлен Китом Моффаттом в 1986 году. ^{[ 7 ]}

Ссылки

^ Бэтчелор, ГК (2000). Введение в гидродинамику. Издательство Кембриджского университета. страница 526
^ Хилл, MJM (1894). VI. На сферическом вихре. Философские труды Лондонского королевского общества.(А.), (185), 213–245.
^ Ачесон, ди-джей (1991). Элементарная гидродинамика. страница. 175
^ Моффатт, Гонконг (1969). Степень запутанности запутанных вихревых линий. Журнал механики жидкости, 35 (1), 117–129.
^ Хикс, WM (1899). II. исследования вихревого движения.—часть III. на спиральных или гиростатических вихревых агрегатах. Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического или физического характера, (192), 33–99.
^ Прендергаст, К.Х. (1956). Равновесие самогравитирующей сферы несжимаемой жидкости с магнитным полем. I. Астрофизический журнал, 123, 498.
^ Моффатт, Гонконг (1986). О существовании локализованных вращательных возмущений, распространяющихся без изменения структуры в невязкой жидкости. Журнал механики жидкости, 173, 289–302.

[1] Бэтчелор, ГК (2000). Введение в гидродинамику. Издательство Кембриджского университета. страница 526

[2] Хилл, MJM (1894). VI. На сферическом вихре. Философские труды Лондонского королевского общества.(А.), (185), 213–245.

[3] Ачесон, ди-джей (1991). Элементарная гидродинамика. страница. 175

[4] Моффатт, Гонконг (1969). Степень запутанности запутанных вихревых линий. Журнал механики жидкости, 35 (1), 117–129.

[5] Хикс, WM (1899). II. исследования вихревого движения.—часть III. на спиральных или гиростатических вихревых агрегатах. Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического или физического характера, (192), 33–99.

[6] Прендергаст, К.Х. (1956). Равновесие самогравитирующей сферы несжимаемой жидкости с магнитным полем. I. Астрофизический журнал, 123, 498.

[7] Моффатт, Гонконг (1986). О существовании локализованных вращательных возмущений, распространяющихся без изменения структуры в невязкой жидкости. Журнал механики жидкости, 173, 289–302.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]