Ковариационная функция Матерна

В статистике ковариация Матерна , также называемая ядром Матерна , — ковариационная функция, используемая в пространственной статистике , геостатистике , машинном обучении , анализе изображений и других приложениях многомерного статистического анализа в метрических пространствах . Он назван в честь шведского лесного статистика Бертиля Матерна . Он определяет ковариацию между двумя измерениями как функцию расстояния $d$ между точками, в которых они взяты. Поскольку ковариация зависит только от расстояний между точками, она стационарна . Если расстояние является евклидовым расстоянием , ковариация Матерна также изотропна .

Определение

Ковариация Матерна между измерениями, выполненными в двух точках, разделенных d единицами расстояния, определяется выражением

$C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}{\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )}^{\nu }K_{\nu }{\Bigg (}{\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}{\Bigg )},$

где $\Gamma$ это гамма-функция , $K_{\nu }$ — модифицированная функция Бесселя второго рода, ρ и $\nu$ являются положительными параметрами ковариации.

Гауссов процесс с ковариацией Матерна: $\lceil \nu \rceil -1$ раз дифференцируемы в среднеквадратическом смысле.

Спектральная плотность

Спектр мощности процесса с ковариацией Матерна, определенной на $\mathbb {R} ^{n}$ — ( n -мерное) преобразование Фурье ковариационной функции Матерна (см. теорему Винера–Хинчина ). В явном виде это определяется формулой

$S(f)=\sigma ^{2}{\frac {2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma (\nu +{\frac {n}{2}})(2\nu )^{\nu }}{\Gamma (\nu )\rho ^{2\nu }}}\left({\frac {2\nu }{\rho ^{2}}}+4\pi ^{2}f^{2}\right)^{-\left(\nu +{\frac {n}{2}}\right)}.$

Упрощение для конкретных значений ν

Упрощение для ν полуцелого числа

Когда $\nu =p+1/2,\ p\in \mathbb {N} ^{+}$ можно ковариацию Матерна записать как произведение экспоненты и полинома степени $p$. Модифицированная функция Бесселя дробного порядка определяется уравнениями 10.1.9 и 10.2.15. как

$${\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}K_{p+1/2}(z)={\frac {\pi }{2z}}e^{-z}\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n+k)!}{k!\Gamma (n-k+1)}}\left(2z\right)^{-k}$$ .

Это учитывает ковариацию Матерна полуцелых значений $\nu$ быть выражено как

$$C_{p+1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {{\sqrt {2p+1}}d}{\rho }}\right){\frac {p!}{(2p)!}}\sum _{i=0}^{p}{\frac {(p+i)!}{i!(p-i)!}}\left({\frac {2{\sqrt {2p+1}}d}{\rho }}\right)^{p-i},$$

что дает:

• для $\nu =1/2\ (p=0)$: $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d}{\rho }}\right),$
• для $\nu =3/2\ (p=1)$: $C_{3/2}(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {{\sqrt {3}}d}{\rho }}\right)\exp \left(-{\frac {{\sqrt {3}}d}{\rho }}\right),$
• для $\nu =5/2\ (p=2)$: $C_{5/2}(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {{\sqrt {5}}d}{\rho }}+{\frac {5d^{2}}{3\rho ^{2}}}\right)\exp \left(-{\frac {{\sqrt {5}}d}{\rho }}\right).$

Гауссов случай в пределе бесконечного ν

Как $\nu \rightarrow \infty$, ковариация Матерна сходится к квадрату экспоненциальной ковариационной функции

$\lim _{\nu \rightarrow \infty }C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}\exp \left(-{\frac {d^{2}}{2\rho ^{2}}}\right).$

Ряд Тейлора в нулевые и спектральные моменты

Поведение для $d\rightarrow 0$ можно получить с помощью следующего ряда Тейлора (нужна ссылка, формула ниже приводит к делению на ноль в случае $\nu =1$):

$$C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {\nu }{2(1-\nu )}}\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{2}+{\frac {\nu ^{2}}{8(2-3\nu +\nu ^{2})}}\left({\frac {d}{\rho }}\right)^{4}+{\mathcal {O}}\left(d^{5}\right)\right).$$

Если они определены, из ряда Тейлора можно вывести следующие спектральные моменты:

${\begin{aligned}\lambda _{0}&=C_{\nu }(0)=\sigma ^{2},\\[8pt]\lambda _{2}&=-\left.{\frac {\partial ^{2}C_{\nu }(d)}{\partial d^{2}}}\right|_{d=0}={\frac {\sigma ^{2}\nu }{\rho ^{2}(\nu -1)}}.\end{aligned}}$

См. также

• Радиальная базисная функция