Из уравнения Ферстера

Уравнение Маккендрика-фон Ферстера первого порядка, представляет собой линейное уравнение в частных производных встречающееся в нескольких областях математической биологии , например, в демографии. ^[1] и клеточной пролиферации моделирование ; он применяется, когда возрастная структура является важной особенностью математической модели . ^[2] Впервые он был представлен Андерсоном Греем Маккендриком в 1926 году как детерминированный предел решетчатых моделей, применяемый в эпидемиологии . ^[3] а затем независимо в 1959 году биофизики профессором Хайнцем фон Ферстером за описание клеточных циклов.

Математическая формула

Математическая формула может быть выведена из первых принципов. Там написано:

${\frac {\partial n}{\partial t}}+{\frac {\partial n}{\partial a}}=-m(a)n$

где плотность населения $n(t,a)$ это функция возраста $a$ и время $t$ , и $m(a)$ это функция смерти. Когда $m(a)=0$ , у нас есть: ^[2]

{\frac {\partial n}{\partial t}}=-{\frac {\partial n}{\partial a}}

Это связано с тем, что население стареет, и этот факт является единственным, который влияет на изменение плотности населения; отрицательный знак показывает, что время течет только в одном направлении, что рождаемости нет и население вымирает.

Вывод

Предположим, что при изменении времени $dt$ и изменение возраста $da$ , плотность населения равна: $n(t+dt,a+da)=[1-m(a)dt]n(t,a)$ То есть в течение периода времени $dt$ плотность населения уменьшается на процент $m(a)dt$ . Принимаю расширение ряда Тейлора на заказ $dt$ дает нам это: $n(t+dt,a+da)\approx n(t,a)+{\partial n \over {\partial t}}dt+{\partial n \over {\partial a}}da$ Мы знаем, что ${\textstyle da/dt=1}$ , поскольку изменение возраста со временем равно 1. Следовательно, после сбора термов мы должны иметь следующее: ${\partial n \over {\partial t}}+{\partial n \over {\partial a}}=-m(a)n$

Аналитическое решение

Уравнение фон Ферстера является уравнением непрерывности ; ее можно решить методом характеристик . ^[2] Другой способ — решение по подобию ; и третий — численный подход, такой как конечные разности .

Для получения решения необходимо добавить следующие граничные условия:

n(t,0)=\int _{0}^{\infty }b(a)n(t,a)\,da

в котором говорится, что первоначальные рождения должны быть сохранены (в противном случае см. уравнение Шарпа-Лотки-Маккендрика), и что:

n(0,a)=f(a)

в котором говорится, что необходимо указать начальную популяцию; тогда он будет развиваться согласно уравнению в частных производных.

Подобные уравнения

В составе Себастьян Аница, Виорел Арнауту, Винченцо Капассо. Введение в задачи оптимального управления в науках о жизни и экономике (Биркхойзер, 2011), это уравнение представляет собой частный случай уравнения Шарпа – Лотки – Маккендрика ; в последнем есть приток, а математика основана на производной по направлению . Уравнение Маккендрика широко используется в контексте клеточной биологии как хороший подход к моделированию клеточного цикла эукариот. ^[4]

См. также

Ссылки

^ Кейфиц, БЛ; Кейфиц, Н. (1 сентября 1997 г.). «Уравнение Маккендрика в частных производных и его использование в эпидемиологии и изучении населения» . Математическое и компьютерное моделирование . 26 (6): 1–9. дои : 10.1016/S0895-7177(97)00165-9 . ISSN 0895-7177 . S2CID 15550610 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Мюррей, доктор юридических наук (2002). Математическая биология I: Введение . Междисциплинарная прикладная математика. Том. 17 (3-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-95223-3 .
^ Маккендрик, АГ (1926). «Приложения математики к медицинским проблемам» . Труды Эдинбургского математического общества . 44 : 98–130. дои : 10.1017/S0013091500034428 . ISSN 1464-3839 .
^ Гаваньен, Энрико (14 октября 2018 г.). «Скорость вторжения в модели клеточной миграции с реалистичным распределением времени клеточного цикла». Журнал теоретической биологии . 79 (1): 91–99. arXiv : 1806.03140 . Бибкод : 2019JThBi.481...91G . дои : 10.1016/j.jtbi.2018.09.010 . ПМИД 30219568 . S2CID 47015362 .

[1] Кейфиц, БЛ; Кейфиц, Н. (1 сентября 1997 г.). «Уравнение Маккендрика в частных производных и его использование в эпидемиологии и изучении населения» . Математическое и компьютерное моделирование . 26 (6): 1–9. дои : 10.1016/S0895-7177(97)00165-9 . ISSN 0895-7177 . S2CID 15550610 .

[ref1-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Мюррей, доктор юридических наук (2002). Математическая биология I: Введение . Междисциплинарная прикладная математика. Том. 17 (3-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-95223-3 .

[3] Маккендрик, АГ (1926). «Приложения математики к медицинским проблемам» . Труды Эдинбургского математического общества . 44 : 98–130. дои : 10.1017/S0013091500034428 . ISSN 1464-3839 .

[4] Гаваньен, Энрико (14 октября 2018 г.). «Скорость вторжения в модели клеточной миграции с реалистичным распределением времени клеточного цикла». Журнал теоретической биологии . 79 (1): 91–99. arXiv : 1806.03140 . Бибкод : 2019JThBi.481...91G . дои : 10.1016/j.jtbi.2018.09.010 . ПМИД 30219568 . S2CID 47015362 .

[1]

[2]

[3]

[4]