(Q,r) модель

Модель (Q,r) — это класс моделей теории запасов . ^[1] Общая модель (Q,r) может быть расширена как из EOQ модели , так и из базовой модели. ^[2]

Обзор

Предположения

Продукты можно анализировать индивидуально
Запросы поступают по одному (без пакетных заказов)
Неудовлетворенный спрос откладывается (без потерь продаж)
Сроки пополнения запасов фиксированы и известны.
Пополнения заказываются по одному.
Спрос моделируется непрерывным распределением вероятностей.
Существует фиксированная стоимость, связанная с заказом на пополнение.
Имеется ограничение на количество заказов на пополнение в год.

Переменные

$D$ = Ожидаемый спрос в год
$\ell$ = Время выполнения пополнения запасов
$X$ = Спрос во время пополнения запасов
$g(x)$ = функция плотности вероятности спроса во время выполнения заказа
$G(x)$ = кумулятивная функция распределения спроса в течение времени выполнения заказа
$\theta$ = средний спрос в течение времени выполнения заказа
$A$ = стоимость заказа на установку или покупку за пополнение
$c$ = себестоимость единицы продукции
$h$ = годовая стоимость владения единицей
$k$ = стоимость дефицита
$b$ = годовая стоимость отложенного заказа на единицу продукции
$Q$ = количество пополнения
$r$ = точка повторного заказа
$SS=r-\theta$ , страхового запаса уровень
$F(Q,r)$ = частота заказов
$S(Q,r)$ = скорость заполнения
$B(Q,r)$ = среднее количество невыполненных заказов
$I(Q,r)$ = средний уровень имеющихся запасов

Затраты

Количество заказов в год можно рассчитать как $F(Q,r)={\frac {D}{Q}}$ , годовая фиксированная стоимость заказа равна F(Q,r)A. Скорость заполнения определяется следующим образом:

$S(Q,r)={\frac {1}{Q}}\int _{r}^{r+Q}G(x)dx$

Стоимость годового дефицита пропорциональна D[1 - S(Q,r)], при этом скорость заполнения составляет:

$S(Q,r)={\frac {1}{Q}}\int _{r}^{r+Q}G(x)dx=1-{\frac {1}{Q}}[B(r))-B(r+Q)]$

Стоимость хранения запасов составляет $hI(Q,r)$ , средний запас составляет:

$I(Q,r)={\frac {Q+1}{2}}+r-\theta +B(Q,r)$

Подход с учетом стоимости отложенного заказа

Стоимость годового отложенного заказа пропорциональна уровню отложенного заказа:

$B(Q,r)={\frac {1}{Q}}\int _{r}^{r+Q}B(x+1)dx$

Функция совокупных затрат и оптимальная точка повторного заказа

Общая стоимость определяется как сумма затрат на установку, стоимости заказа на поставку, стоимости дозаказов и стоимости хранения запасов:

$Y(Q,r)={\frac {D}{Q}}A+bB(Q,r)+hI(Q,r)$

Оптимальный объем повторного заказа и оптимальная точка повторного заказа определяются следующим образом:

$Q^{*}={\sqrt {\frac {2AD}{h}}}$

$G(r^{*}+1)={\frac {b}{b+h}}$

Доказательство

To minimize set the partial derivatives of Y equal to zero:

${\frac {\partial Y}{\partial Q}}=-{\frac {DA}{Q^{2}}}+{\frac {h}{2}}=0$

${\frac {\partial Y}{\partial r}}=h+(b+h){\frac {dB}{dr}}=0$

${\frac {dB}{dr}}={\frac {d}{dr}}\int _{r}^{+\infty }(x-r)g(x)dx=-\int _{r}^{+\infty }g(x)dx=-[1-G(r)]$

${\frac {\partial Y}{\partial r}}=h-(b+h)[1-G(r)]=0$

And solve for G(r) and Q.

Нормальное распределение

В случае, когда спрос во время выполнения заказа распределяется нормально:

$r^{*}=\theta +z\sigma$

Подход, основанный на затратах на дефицит

Общая стоимость определяется как сумма затрат на настройку, стоимости заказа на поставку, стоимости дефицита и стоимости хранения запасов:

$Y(Q,r)={\frac {D}{Q}}A+kD[1-S(Q,r)]+hI(Q,r)$

При таком подходе меняется вычисление оптимальной точки повторного заказа:

$G(r^{*})={\frac {kD}{kD+hQ}}$

Вариативность времени выполнения заказа

X — случайный спрос в течение времени пополнения запасов:

$X=\sum _{t=1}^{L}D_{t}$

В ожидании :

$\operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [L]\operatorname {E} [D_{t}]=\ell d=\theta$

Отклонение спроса определяется:

$\operatorname {Var} (x)=\operatorname {E} [L]\operatorname {Var} (D_{t})+\operatorname {E} [D_{t}]^{2}\operatorname {Var} (L)=\ell \sigma _{D}^{2}+d^{2}\sigma _{L}^{2}$

Следовательно, стандартное отклонение равно:

$\sigma ={\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}={\sqrt {\ell \sigma _{D}^{2}+d^{2}\sigma _{L}^{2}}}$

Распределение Пуассона

если спрос распределен по Пуассону :

$\sigma ={\sqrt {\ell \sigma _{D}^{2}+d^{2}\sigma _{L}^{2}}}={\sqrt {\theta +d^{2}\sigma _{L}^{2}}}$

См. также

Бесконечная скорость заполнения производимой детали: экономичный объем заказа
Постоянная скорость заполнения производимой детали: экономичный объем производства.
Спрос случайен: классическая модель Newsvendor
Спрос случайный, постоянное пополнение: модель базового запаса
Спрос детерминированно меняется с течением времени: модель динамического размера партии.
Несколько продуктов, произведенных на одной машине: проблема экономичного планирования партий

Ссылки

^ Т. Уитин , Г. Хэдли, Анализ систем инвентаризации, Прентис Холл, 1963 г.
^ WH Hopp, ML Spearman, Factory Physics, Waveland Press 2008

[1] Т. Уитин , Г. Хэдли, Анализ систем инвентаризации, Прентис Холл, 1963 г.

[FacPhy-2] WH Hopp, ML Spearman, Factory Physics, Waveland Press 2008

[1]

[2]