Модель поставщика новостей

Продавец новостей (или газетчик , или газетчик за один период ^[1] или спасаемая ) модель — это математическая модель в управлении операциями и прикладной экономике, используемая для определения оптимальных уровней запасов. Он (как правило) характеризуется фиксированными ценами и неопределенным спросом на скоропортящиеся продукты. Если уровень запасов $q$ , каждая единица спроса выше $q$ теряется в потенциальных продажах. Эта модель также известна как проблема продавца новостей или проблема газетчика по аналогии с ситуацией, с которой сталкивается продавец газет, который должен решить, сколько экземпляров дневной газеты хранить в условиях неопределенного спроса и зная, что непроданные экземпляры будут бесполезны в конечном итоге. конец дня.

История

Математическая задача, по-видимому, датируется 1888 годом. ^[2] где Эджворт использовал центральную предельную теорему для определения оптимальных резервов денежных средств для удовлетворения случайных изъятий вкладчиков. ^[3] По мнению Чена, Ченга, Чоя и Вана (2016), термин «газетчик» впервые был упомянут в примере из книги Морса и Кимбалла (1951). ^[4] В 1960-х и 1970-х годах эта проблема называлась «проблемой рождественской елки» и «проблемой газетчика», а начиная с 1980-х годов стала использоваться гендерно-нейтральная лексика, такая как «журналист». По словам Эвана Портеуса, Мэтт Собел придумал термин «проблема поставщиков новостей». ^[5]

Современная формулировка относится к статье Econometrica в журнале Кеннета Эрроу , Т. Харриса и Джейкоба Маршака . ^[6]

Более поздние исследования классической проблемы продавцов новостей, в частности, были сосредоточены на поведенческих аспектах: пытаясь решить проблему в запутанных контекстах реального мира, в какой степени лица, принимающие решения, систематически отклоняются от оптимального? Экспериментальные и эмпирические исследования показали, что лица, принимающие решения, склонны делать заказы слишком близко к ожидаемому спросу (эффект притяжения к центру). ^[7]) и слишком близко к реализации предыдущего периода (погоня за спросом). ^[8]).

Обзор

Эту модель также можно применять к системам обзора периодов. ^[9]

Предположения

Продукты являются раздельными
Планирование осуществляется на один период.
Спрос случайный
Поставки осуществляются раньше спроса
Затраты на превышение или недостаточность возраста являются линейными

Функция прибыли и формула критического коэффициента

Стандартная прибыли функция новостного агентства:

\operatorname {E} [{\text{profit}}]=\operatorname {E} \left[p\min(q,D)\right]-cq

где $D$ это случайная величина с распределением вероятностей $F$ представляет спрос, каждая единица продается по цене $p$ и куплен по цене $c$ , $q$ - количество единиц товара на складе, и $E$ является оператором ожидания . Решение оптимального количества запасов продавца новостей, которое максимизирует ожидаемую прибыль, следующее:

Критическая фрактильная формула

$q=F^{-1}\left({\frac {p-c}{p}}\right)$

где $F^{-1}$ обозначает обобщенную обратную кумулятивную функцию распределения $D$ .

Интуитивно понятно, что это соотношение, называемое критическим коэффициентом , уравновешивает затраты, связанные с недостаточным запасом товаров (потеря продажной стоимости). $(p-c)$ ) и общие затраты, связанные с затовариванием или недостатком запасов (где стоимость затоваривания — это стоимость запасов, или $c$ поэтому общая стоимость просто $p$ ).

Формула критической нестабильности известна как правило Литтлвуда в литературе по управлению урожайностью .

Числовые примеры

В следующих случаях предположим, что розничная цена, $p$ , составляет 7 долларов США за единицу, а цена покупки составляет $c$ , составляет 5 долларов за единицу. Это дает критическую нестабильность ${\frac {p-c}{p}}={\frac {7-5}{7}}={\frac {2}{7}}$

Равномерное распределение

Пусть требуют, $D$ , следовать равномерному распределению (непрерывному) между $D_{\min }=50$ и $D_{\max }=80$ .

q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=F^{-1}\left(0.285\right)=D_{\min }+(D_{\max }-D_{\min })\cdot 0.285=58.55\approx 59.

Следовательно, оптимальный уровень запасов составляет примерно 59 единиц.

Нормальное распределение

Пусть требуют, $D$ , следуйте нормальному распределению со средним значением, $\mu$ , спрос 50 и стандартное отклонение , $\sigma$ , из 20.

q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=\mu +\sigma Z^{-1}\left(0.285\right)=50+20(-0.56595)=38.68\approx 39.

Следовательно, оптимальный уровень запасов составляет примерно 39 единиц.

Логнормальное распределение

Пусть требуют, $D$ , следует логарифмически нормальному распределению со средним спросом 50, $\mu$ и стандартное отклонение , $\sigma$ , 0,2.

q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {7-5}{7}}\right)=\mu e^{Z^{-1}\left(0.285\right)\sigma }=50e^{\left(0.2\cdot (-0.56595)\right)}=44.64\approx 45.

Следовательно, оптимальный уровень запасов составляет примерно 45 единиц.

Экстремальная ситуация

Если $p<c$ (т.е. розничная цена меньше покупной цены), числитель становится отрицательным. В этой ситуации оптимальный объем покупки равен нулю, чтобы избежать предельных потерь.

Определение оптимального уровня запасов

Критическая фрактильная формула

Чтобы вывести формулу критической кручености, начните с $\operatorname {E} \left[{\min\{q,D\}}\right]$ и условия по мероприятию $D\leq q$ :

{\begin{aligned}&\operatorname {E} [\min\{q,D\}]=\operatorname {E} [\min\{q,D\}\mid D\leq q]\operatorname {P} (D\leq q)+\operatorname {E} [\min\{q,D\}\mid D>q]\operatorname {P} (D>q)\\[6pt]={}&\operatorname {E} [D\mid D\leq q]F(q)+\operatorname {E} [q\mid D>q][1-F(q)]=\operatorname {E} [D\mid D\leq q]F(q)+q[1-F(q)]\end{aligned}}

Теперь используйте

\operatorname {E} [D\mid D\leq q]={\frac {\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx}{\int \limits _{x\leq q}f(x)\,dx}},

где $f(x)=F'(x)$ . Знаменатель этого выражения $F(q)$ , поэтому теперь мы можем написать:

\operatorname {E} [\min\{q,D\}]=\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+q[1-F(q)]

Так $\operatorname {E} [{\text{profit}}]=p\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+pq[1-F(q)]-cq$

Возьмите производную по $q$ :

{\frac {\partial }{\partial q}}\operatorname {E} [{\text{profit}}]=pqf(q)+pq(-F'(q))+p[1-F(q)]-c=p[1-F(q)]-c

Теперь оптимизируйте: $p\left[1-F(q^{*})\right]-c=0\Rightarrow 1-F(q^{*})={\frac {c}{p}}\Rightarrow F(q^{*})={\frac {p-c}{p}}\Rightarrow q^{*}=F^{-1}\left({\frac {p-c}{p}}\right)$

Технически нам также следует проверить выпуклость: ${\frac {\partial ^{2}}{\partial q^{2}}}\operatorname {E} [{\text{profit}}]=p[-F'(q)]$

С $F$ монотонно не убывает, эта вторая производная всегда неположительная, поэтому критическая точка, определенная выше, является глобальным максимумом.

Альтернативная формулировка

Вышеупомянутая проблема рассматривается как задача максимизации прибыли, хотя ее можно сформулировать несколько иначе, но с тем же результатом. Если спрос D превышает предоставленное количество q, то альтернативные издержки равны $(D-q)(p-c)$ представляет собой упущенную выгоду, не реализованную из-за нехватки запасов. С другой стороны, если $D\leq q$ , то (поскольку продаваемые товары являются скоропортящимися) возникает перерасход в размере $(q-D)c$ . Эту проблему можно также сформулировать как задачу минимизации ожидания суммы альтернативных издержек и издержек перерасхода, имея в виду, что при любой конкретной реализации всегда возникает только одна из них. $D$ . Вывод из этого следующий:

{\begin{aligned}&\operatorname {E} [{\text{opportunity cost}}+{\text{overage cost}}]\\[6pt]={}&\operatorname {E} [{\text{overage cost}}\mid D\leq q]\operatorname {P} (D\leq q)+\operatorname {E} [{\text{opportunity cost}}\mid D>q]\operatorname {P} (D>q)\\[6pt]={}&\operatorname {E} [(q-D)c\mid D\leq q]F(q)+\operatorname {E} [(D-q)(p-c)\mid D>q][1-F(q)]\\[6pt]={}&c\operatorname {E} [q-D\mid D\leq q]F(q)+(p-c)\operatorname {E} [D-q\mid D>q][1-F(q)]\\[6pt]={}&cqF(q)-c\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx+(p-c)[\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-q(1-F(q))]\\[6pt]={}&p\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-pq(1-F(q))-c\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx+cq(1-F(q))+cqF(q)-c\int \limits _{x\leq q}xf(x)\,dx\\[6pt]={}&p\int \limits _{x>q}xf(x)\,dx-pq+pqF(q)+cq-c\operatorname {E} [D]\end{aligned}}

Производная этого выражения по $q$ , является

{\frac {\partial }{\partial q}}\operatorname {E} [{\text{opportunity cost}}+{\text{overage cost}}]=p(-qf(q))-p+pqF'(q)+pF(q)+c=pF(q)+c-p

Очевидно, что это отрицательный результат полученной выше производной, и это формулировка минимизации, а не максимизации, поэтому критическая точка будет той же самой.

Оптимизация уровня запасов на основе затрат

Предположим, что «продавец новостей» на самом деле представляет собой небольшую компанию, которая хочет производить товары для неопределенного рынка. В этой более общей ситуации функцию издержек поставщика новостей (компании) можно сформулировать следующим образом:

K(q)=c_{f}+c_{v}(q-x)+p\operatorname {E} \left[\max(D-q,0)\right]+h\operatorname {E} \left[\max(q-D,0)\right]

где отдельные параметры следующие:

$c_{f}$ – фиксированная стоимость. Эта стоимость всегда существует, когда начинается производство серии. [$/производство]
$c_{v}$ – переменная стоимость. Этот вид затрат выражает себестоимость производства одного продукта. [$/продукт]
$q$ – количество товара на складе. Решение политики управления запасами касается количества продукта на складе после принятия решения о продукте. Этот параметр также включает в себя первоначальный запас. Если ничего не производится, то это количество равно начальному, т.е. относительно существующего запаса.
$x$ – начальный уровень запасов. Мы предполагаем, что поставщик обладает $x$ продукты на складе на начало спроса периода поставки.
$p$ – стоимость штрафа (или стоимость дозаказа). Если на складе сырья меньше, чем необходимо для удовлетворения потребностей, это штрафная стоимость невыполненных заказов. [$/продукт]
$D$ – случайная величина с кумулятивной функцией распределения $F$ представляет собой неопределенный потребительский спрос. [единица]
$E[D]$ – ожидаемое значение случайной величины $D$ .
$h$ – стоимость запасов и содержания запасов. [$/продукт]

В $K(q)$ , функция потерь первого порядка $E\left[\max(D-q,0)\right]$ фиксирует ожидаемый объем дефицита; его дополнение, $E\left[\max(q-D,0)\right]$ , обозначает ожидаемое количество продукции на складе на конец периода. ^[10]

На основе этой функции затрат определение оптимального уровня запасов представляет собой задачу минимизации. Таким образом, в долгосрочном периоде количество экономически оптимального конечного продукта можно рассчитать на основе следующего соотношения: ^[1]

q_{\text{opt}}=F^{-1}\left({\frac {p-c_{v}}{p+h}}\right)

См. также

Бесконечная скорость заполнения производимой детали: экономичный объем заказа – модель планирования производства.
Постоянная скорость заполнения производимой детали: экономичный объем производства – модель управления запасами.
Спрос меняется со временем: Модель динамического размера лота – математическая модель в экономике.
Несколько продуктов, производимых на одной машине: проблема экономичного планирования партий - проблема управления операциями и теории запасов.
Точка повторного заказа – уровень запасов, вызывающий пополнение.
Система управления запасами — обеспечение правильного уровня запасов
Расширенная модель поставщика новостей — математическая модель для определения уровня запасов.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Уильям Дж. Стивенсон, Управление операциями. 10-е издание, 2009 г.; страница 581
^ Ф. Я. Эджворт (1888). «Математическая теория банковского дела». Журнал Королевского статистического общества . 51 (1): 113–127. JSTOR 2979084 .
^ Гильермо Гальего (18 января 2005 г.). «Лекция 7 по управлению производством IEOR 4000» (PDF) . Колумбийский университет . Проверено 30 мая 2012 г.
^ Р. Р. Чен; ТСЕ Ченг; ТМ Цой; Ю. Ван (2016). «Новые достижения в области применения модели Newsvendor». Науки о принятии решений . 47 : 8–10. дои : 10.1111/деци.12215 .
^ Портеус, Эван Л. (2008). «Проблема продавца новостей». В Чхаджеде, Дилип; Лоу, Тимоти Дж. (ред.). Развитие интуиции: выводы из базовых моделей и принципов управления операциями . Спрингер. п. 133.
^ К. Дж. Эрроу, Т. Харрис, Джейкоб Маршак, Оптимальная политика инвентаризации, Econometrica 1951
^ Швейцер, Мэн; Кашон, врач общей практики (2000). «Предвзятость принятия решений в проблеме поставщиков новостей с известным распределением спроса: экспериментальные данные». Наука управления . 43 (3): 404–420. дои : 10.1287/mnsc.46.3.404.12070 .
^ Лау, Н.; Берден, Дж. Н. (2013). «Возврат к погоне за спросом среди новостных агентств» . Наука управления . 59 (5): 1245–1249. дои : 10.1287/mnsc.1120.1617 .
^ WH Hopp, ML Spearman, Factory Physics, Waveland Press 2008
^ Акссетер, Свен (2015). Управление запасами (3-е изд.). Международное издательство Спрингер. ISBN 978-3-319-15729-0 .

Дальнейшее чтение

Айхан, Хайрие, Дай, Джим, Фоли, Р.Д., Ву, Джо, 2004: Заметки продавцов новостей, ISyE 3232 Стохастические системы производства и обслуживания. [1]
Э. Дж. Лодри: Подход к оптимизации моделирования для задачи двух продуктовых поставщиков новостей
П. Милефф, К. Нехез: Расширенная модель новостного поставщика для массового производства по индивидуальному заказу , AOM – Расширенное моделирование и оптимизация. Электронный международный журнал, том 8, номер 2. стр. 169–186. (2006)
П. Милефф, К. Нехез: Оценка надлежащего уровня обслуживания в условиях сотрудничества в цепочке поставок , MIM'07. Семинар МФБ по моделированию, управлению и контролю производства. Будапешт, Венгрия. стр. 123–126. (2007)
Цан-Минг Чой (ред.) Справочник по проблемам поставщиков новостей: модели, расширения и приложения, в международной серии Springer по исследованию операций и науке управления, 2012.

[stevenson-1] Jump up to: ^а ^б Уильям Дж. Стивенсон, Управление операциями. 10-е издание, 2009 г.; страница 581

[2] Ф. Я. Эджворт (1888). «Математическая теория банковского дела». Журнал Королевского статистического общества . 51 (1): 113–127. JSTOR 2979084 .

[3] Гильермо Гальего (18 января 2005 г.). «Лекция 7 по управлению производством IEOR 4000» (PDF) . Колумбийский университет . Проверено 30 мая 2012 г.

[4] Р. Р. Чен; ТСЕ Ченг; ТМ Цой; Ю. Ван (2016). «Новые достижения в области применения модели Newsvendor». Науки о принятии решений . 47 : 8–10. дои : 10.1111/деци.12215 .

[5] Портеус, Эван Л. (2008). «Проблема продавца новостей». В Чхаджеде, Дилип; Лоу, Тимоти Дж. (ред.). Развитие интуиции: выводы из базовых моделей и принципов управления операциями . Спрингер. п. 133.

[6] К. Дж. Эрроу, Т. Харрис, Джейкоб Маршак, Оптимальная политика инвентаризации, Econometrica 1951

[7] Швейцер, Мэн; Кашон, врач общей практики (2000). «Предвзятость принятия решений в проблеме поставщиков новостей с известным распределением спроса: экспериментальные данные». Наука управления . 43 (3): 404–420. дои : 10.1287/mnsc.46.3.404.12070 .

[8] Лау, Н.; Берден, Дж. Н. (2013). «Возврат к погоне за спросом среди новостных агентств» . Наука управления . 59 (5): 1245–1249. дои : 10.1287/mnsc.1120.1617 .

[FacPhy-9] WH Hopp, ML Spearman, Factory Physics, Waveland Press 2008

[10] Акссетер, Свен (2015). Управление запасами (3-е изд.). Международное издательство Спрингер. ISBN 978-3-319-15729-0 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]