Базовая модель

Модель базового запаса — это статистическая модель в теории запасов . В этой модели запасы пополняются по одной единице за раз, а спрос является случайным . Если пополнение только одно, то проблему можно решить с помощью модели Newsvendor .

Обзор

Предположения

1. Продукты можно анализировать индивидуально
2. Запросы поступают по одному (без пакетных заказов)
3. Неудовлетворенный спрос откладывается (без потерь продаж)
4. Сроки пополнения запасов фиксированы и известны.
5. Пополнения заказываются по одному.
6. Спрос моделируется непрерывным распределением вероятностей.

Переменные

• $L$ = Время выполнения пополнения запасов
• $X$ = Спрос во время пополнения запасов
• $g(x)$ = функция плотности вероятности спроса во время выполнения заказа
• $G(x)$ = кумулятивная функция распределения спроса в течение времени выполнения заказа
• $\theta$ = средний спрос в течение времени выполнения заказа
• $h$ = стоимость хранения одной единицы запасов в течение 1 года
• $b$ = стоимость хранения одной единицы отложенного заказа в течение 1 года
• $r$ = точка повторного заказа
• $SS=r-\theta$, страхового запаса уровень
• $S(r)$ = скорость заполнения
• $B(r)$ = среднее количество невыполненных заказов
• $I(r)$ = средний уровень имеющихся запасов

Уровень заполнения, уровень отложенных заказов и уровень запасов

В системе базовых запасов позиция запасов определяется соотношением запасов-отложенных заказов+заказов в наличии, и поскольку запасы никогда не становятся отрицательными, позиция запасов = r+1. После размещения заказа базовый уровень запасов равен r+1, и если X≤r+1, отложенного заказа не будет. Таким образом, вероятность того, что заказ не приведет к отложенному заказу, равна:

$P(X\leq r+1)=G(r+1)$

Поскольку это справедливо для всех заказов, скорость заполнения равна:

$S(r)=G(r+1)$

Если спрос нормально распределен ${\mathcal {N}}(\theta ,\,\sigma ^{2})$, скорость заполнения определяется по формуле:

$S(r)=\phi \left({\frac {r+1-\theta }{\sigma }}\right)$

Где $\phi ()$ — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения . В любой момент времени размещаются заказы, которые равны возникшему спросу X, поэтому имеющиеся запасы-отложенные заказы = запасы-позиции-заказы = r+1-X. В ожидании это означает:

$I(r)=r+1-\theta +B(r)$

В общем случае количество невыполненных заказов равно X=x, а количество невыполненных заказов равно:

$Backorders={\begin{cases}0,&x<r+1\\x-r-1,&x\geq r+1\end{cases}}$

Таким образом, ожидаемый уровень дозаказов определяется следующим образом:

$B(r)=\int _{r}^{+\infty }\left(x-r-1\right)g(x)dx=\int _{r+1}^{+\infty }\left(x-r\right)g(x)dx$

Опять же, если спрос нормально распределен:

$B(r)=(\theta -r)[1-\phi (z)]+\sigma \phi (z)$

Где $z$ — обратная функция распределения стандартного нормального распределения .

Функция совокупных затрат и оптимальная точка повторного заказа

Общая стоимость определяется как сумма затрат на хранение и затрат на невыполненные заказы:

$TC=hI(r)+bB(r)$

Можно доказать, что:

$G(r^{*}+1)={\frac {b}{b+h}}$

Где r* — оптимальная точка повторного заказа.

showДоказательство
${\frac {dTC}{dr}}=h+(b+h){\frac {dB}{dr}}$ ${\frac {dB}{dr}}={\frac {d}{dr}}\int _{r+1}^{+\infty }(x-r-1)g(x)dx=-\int _{r+1}^{+\infty }g(x)dx=-[1-G(r+1)]$ To minimize TC set the first derivative equal to zero: ${\frac {dTC}{dr}}=h-(b+h)[1-G(r+1)]=0$ And solve for G(r+1).

Если спрос нормальный, то r* можно получить следующим образом:

$r^{*}+1=\theta +z\sigma$

См. также

• Бесконечная скорость заполнения производимой детали: экономичный объем заказа
• Постоянная скорость заполнения производимой детали: экономичный объем производства.
• Спрос случайен: классическая модель Newsvendor
• Непрерывное пополнение с отложенными заказами: модель (Q,r)
• Спрос детерминированно меняется с течением времени: модель динамического размера партии.
• Несколько продуктов, произведенных на одной машине: проблема экономичного планирования партий