Приближения эффективной среды

В материаловедении моделированию , аппроксимации эффективной среды ( EMA ) или теория эффективной среды ( ETT ) относятся к аналитическому или теоретическому которое описывает макроскопические свойства композиционных материалов . EMA или EMT разрабатываются путем усреднения нескольких значений компонентов, которые непосредственно составляют композитный материал. На уровне компонентов ценности материалов различаются и неоднородны . Точный расчет многих составляющих значений практически невозможен. Однако были разработаны теории, которые могут дать приемлемые приближения, которые, в свою очередь, описывают полезные параметры, включая эффективную диэлектрическую проницаемость и проницаемость материалов в целом. В этом смысле аппроксимации эффективной среды представляют собой описания среды (композиционного материала), основанные на свойствах и относительных долях ее компонентов и полученные в результате расчетов. ^[1]^[2] и теория эффективной среды . ^[3] Есть две широко используемые формулы. ^[4]

Эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости являются усредненными диэлектрическими и магнитными характеристиками микронеоднородной среды. Оба они были получены в квазистатическом приближении, когда электрическое поле внутри частицы смеси можно считать однородным. Таким образом, эти формулы не могут описать влияние размера частиц. Было предпринято множество попыток усовершенствовать эти формулы.

Приложения

Существует множество различных приближений эффективной среды, ^[5] каждый из них более или менее точен в различных условиях. Тем не менее, все они предполагают, что макроскопическая система однородна и, что характерно для всех теорий среднего поля, не могут предсказать свойства многофазной среды вблизи порога перколяции из- за отсутствия в теории дальних корреляций или критических флуктуаций. .

Рассматриваемыми свойствами обычно являются проводимость $\sigma$ или диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$ ^[6] среды. Эти параметры взаимозаменяемы в формулах целого ряда моделей благодаря широкой применимости уравнения Лапласа. Проблемы, выходящие за пределы этого класса, относятся в основном к области упругости и гидродинамики из-за тензорного характера более высокого порядка эффективных констант среды.

ЭМА могут представлять собой дискретные модели, например, применяемые к резисторным сетям, или теории континуума, применяемые к упругости или вязкости. Однако большинству современных теорий трудно описать перколяционные системы. Действительно, среди многочисленных приближений эффективной среды только симметричная теория Брюггемана способна предсказать порог. Эта характерная черта последней теории ставит ее в один ряд с другими теориями среднего поля критических явлений . ^{[ нужна ссылка ]}

Модель Брюггемана

Для смеси двух материалов с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon _{m}$ и $\varepsilon _{d}$ с соответствующими объемными долями $c_{m}$ и $c_{d}$ Д. А. Брюггеман предложил формулу следующего вида: ^[7]

\varepsilon _{\mathrm {eff} }={\frac {H_{b}+{\sqrt {H_{b}^{2}+8\varepsilon _{m}\varepsilon _{d}}}}{4}},{\text{ with }}H_{b}=(3c_{d}-1)\varepsilon _{d}+(3c_{m}-1)\varepsilon _{m}.

( 3 )

Здесь положительный знак перед квадратным корнем в некоторых случаях необходимо изменить на отрицательный, чтобы получить правильную мнимую часть эффективной комплексной диэлектрической проницаемости, которая связана с затуханием электромагнитных волн. Формула симметрична относительно замены ролей «d» и «m». Эта формула основана на равенстве

\Delta \Phi =\iint \varepsilon _{r}(\mathbf {r} )E_{n}(\mathbf {r} )ds-\varepsilon _{\mathrm {eff} }\iint E_{0}ds=0,

( 4 )

где $\Delta \Phi$ – скачок потока электрического смещения по всей поверхности интегрирования, $E_{n}(\mathbf {r} )$ – компонента микроскопического электрического поля, нормальная к поверхности интегрирования, $\varepsilon _{r}(\mathbf {r} )$ - локальная относительная комплексная диэлектрическая проницаемость, принимающая значение $\varepsilon _{m}$ внутри выбранной металлической частицы значение $\varepsilon _{d}$ внутри выбранной диэлектрической частицы и значение $\varepsilon _{\mathrm {eff} }$ вне выбранной частицы, $E_{0}$ – нормальная составляющая макроскопического электрического поля. Формула (4) получается из равенства Максвелла $\operatorname {div} (\varepsilon _{r}\mathbf {E} )=0$ . Таким образом, в подходе Брюггемана рассматривается только одна выбранная частица. Взаимодействие со всеми остальными частицами учитывается только в приближении среднего поля, описываемом формулой $\varepsilon _{\mathrm {eff} }$ . Формула (3) дает приемлемую резонансную кривую для плазмонных возбуждений в металлических наночастицах , если их размер составляет 10 нм или меньше. Однако он не может описать размерную зависимость резонансной частоты плазмонных возбуждений, наблюдаемую в экспериментах. ^[8]

Формулы

Без ограничения общности рассмотрим исследование эффективной проводимости (которая может быть как на постоянном, так и на переменном токе) системы, составленной из сферических многокомпонентных включений с различной произвольной проводимостью. Тогда формула Брюггемана примет вид:

Круглые и сферические включения

\sum _{i}\,\delta _{i}\,{\frac {\sigma _{i}-\sigma _{e}}{\sigma _{i}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\,0

( 1 )

В системе евклидовой пространственной размерности $n$ который имеет произвольное количество компонентов, ^[9] сумма производится по всем составляющим. $\delta _{i}$ и $\sigma _{i}$ - соответственно доля и проводимость каждого компонента, и $\sigma _{e}$ – эффективная проводимость среды. (Сумма по $\delta _{i}$ 's - это единица.)

Эллиптические и эллипсоидальные включения

{\frac {1}{n}}\,\delta \alpha +{\frac {(1-\delta )(\sigma _{m}-\sigma _{e})}{\sigma _{m}+(n-1)\sigma _{e}}}\,=\,0

( 2 )

Это обобщение уравнения. (1) к двухфазной системе с эллипсоидными включениями проводимости $\sigma$ в матрицу проводимости $\sigma _{m}$ . ^[10] Доля включений $\delta$ и система $n$ размерный. Для случайно ориентированных включений

\alpha \,=\,{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\,{\frac {\sigma -\sigma _{e}}{\sigma _{e}+L_{j}(\sigma -\sigma _{e})}}

( 3 )

где $L_{j}$ Знаки обозначают соответствующий дублет/тройку факторов деполяризации, который определяется соотношением осей эллипса/эллипсоида. Например: в случае круга ( $L_{1}=1/2$ , $L_{2}=1/2$ ) и в случае сферы ( $L_{1}=1/3$ , $L_{2}=1/3$ , $L_{3}=1/3$ ). (Сумма по $L_{j}$ 's - это единица.)

Наиболее общий случай, к которому был применен подход Брюггемана, касается бианизотропных эллипсоидальных включений. ^[11]

Вывод

На рисунке изображена двухкомпонентная среда. ^[9] Рассмотрим заштрихованный объем проводимости $\sigma _{1}$ , примем это за сферу объёма $V$ и предположим, что он погружен в однородную среду с эффективной проводимостью $\sigma _{e}$ . Если электрическое поле вдали от включения ${\overline {E_{0}}}$ тогда элементарные соображения приводят к дипольному моменту , связанному с объемом

{\overline {p}}\,\propto \,V\,{\frac {\sigma _{1}-\sigma _{e}}{\sigma _{1}+2\sigma _{e}}}\,{\overline {E_{0}}}\,.

( 4 )

Эта поляризация приводит к отклонению от ${\overline {E_{0}}}$ . Если среднее отклонение должно исчезнуть, то общая поляризация, суммированная по двум типам включений, должна исчезнуть. Таким образом

\delta _{1}{\frac {\sigma _{1}-\sigma _{e}}{\sigma _{1}+2\sigma _{e}}}\,+\,\delta _{2}{\frac {\sigma _{2}-\sigma _{e}}{\sigma _{2}+2\sigma _{e}}}\,=\,0

( 5 )

где $\delta _{1}$ и $\delta _{2}$ являются соответственно объемной долей материала 1 и 2. Это можно легко расширить до системы размерностей $n$ который имеет произвольное количество компонентов. Все случаи можно объединить, чтобы получить уравнение. (1).

уравнение (1) также можно получить, потребовав, чтобы отклонение тока было равно нулю. ^[12] ^[13] Здесь он был получен из предположения, что включения имеют сферическую форму и его можно изменить для получения формы с другими факторами деполяризации; что приводит к уравнению (2).

Также доступен более общий вывод, применимый к бианизотропным материалам. ^[11]

Моделирование перколяционных систем

Основное приближение состоит в том, что все домены расположены в эквивалентном среднем поле. К сожалению, вблизи порога перколяции дело обстоит иначе, когда система управляется наибольшим кластером проводников, представляющим собой фрактал, и дальнодействующими корреляциями, которые полностью отсутствуют в простой формуле Брюггемана. Пороговые значения, как правило, не прогнозируются правильно. Это 33% в EMA в трех измерениях, что далеко от 16%, ожидаемых по теории перколяции и наблюдаемых в экспериментах. Однако в двух измерениях EMA дает порог 50% и, как было доказано, относительно хорошо моделирует просачивание. ^[14]^[15]^[16]

Уравнение Максвелла Гарнетта

В Максвелла Гарнетта приближении ^[17] эффективная среда состоит из матричной среды с $\varepsilon _{m}$ и включения с $\varepsilon _{i}$ . Максвелл Гарнетт был сыном физика Уильяма Гарнетта и был назван в честь друга Гарнетта, Джеймса Клерка Максвелла . Он предложил свою формулу, объясняющую цветные картины, наблюдаемые в стеклах, легированных наночастицами металлов. Его формула имеет вид

\varepsilon _{\text{eff}}=\varepsilon _{d}\left[1+3c_{m}{\frac {\varepsilon _{m}-\varepsilon _{d}}{\varepsilon _{m}+2\varepsilon _{d}-c_{m}(\varepsilon _{m}-\varepsilon _{d})}}\right],

( 1 )

где $\varepsilon _{\text{eff}}$ – эффективная относительная комплексная диэлектрическая проницаемость смеси, $\varepsilon _{d}$ — относительная комплексная диэлектрическая проницаемость фоновой среды, содержащей мелкие сферические включения относительной диэлектрической проницаемости $\varepsilon _{m}$ с объемной долей $c_{m}\ll 1$ . Эта формула основана на равенстве

\varepsilon _{\text{eff}}=\varepsilon _{d}+c_{m}{\frac {p_{m}}{\varepsilon _{0}E}},

( 2 )

где $\varepsilon _{0}$ - абсолютная диэлектрическая проницаемость свободного пространства и $p_{m}$ – электрический дипольный момент одиночного включения, индуцированный внешним электрическим полем $E$ . Однако это равенство справедливо только для однородной среды и $\varepsilon _{d}=1$ . Более того, формула (1) не учитывает взаимодействие между одиночными включениями. В силу этих обстоятельств формула (1) дает слишком узкую и слишком высокую резонансную кривую плазмонных возбуждений в металлических наночастицах смеси. ^[18]

Формула

Уравнение Максвелла Гарнетта гласит: ^[19]

\left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2\varepsilon _{m}}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}}\right),

( 6 )

где $\varepsilon _{\mathrm {eff} }$ – эффективная диэлектрическая проницаемость среды, $\varepsilon _{i}$ включений и $\varepsilon _{m}$ матрицы; $\delta _{i}$ – объемная доля включений.

Уравнение Максвелла Гарнетта решается следующим образом: ^[20]^[21]

\varepsilon _{\mathrm {eff} }\,=\,\varepsilon _{m}\,{\frac {2\delta _{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})+\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}{2\varepsilon _{m}+\varepsilon _{i}-\delta _{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})}},

( 7 )

пока знаменатель не обращается в нуль. Простой калькулятор MATLAB, использующий эту формулу, выглядит следующим образом.

% This simple MATLAB calculator computes the effective dielectric
% constant of a mixture of an inclusion material in a base medium
% according to the Maxwell Garnett theory
% INPUTS:
%     eps_base: dielectric constant of base material;
%     eps_incl: dielectric constant of inclusion material;
%     vol_incl: volume portion of inclusion material;
% OUTPUT:
%     eps_mean: effective dielectric constant of the mixture.

function eps_mean = MaxwellGarnettFormula(eps_base, eps_incl, vol_incl)

    small_number_cutoff = 1e-6;

    if vol_incl < 0 || vol_incl > 1
        disp('WARNING: volume portion of inclusion material is out of range!');
    end
    factor_up = 2 * (1 - vol_incl) * eps_base + (1 + 2 * vol_incl) * eps_incl;
    factor_down = (2 + vol_incl) * eps_base + (1 - vol_incl) * eps_incl;
    if abs(factor_down) < small_number_cutoff
        disp('WARNING: the effective medium is singular!');
        eps_mean = 0;
    else
        eps_mean = eps_base * factor_up / factor_down;
    end
end

Вывод

При выводе уравнения Максвелла Гарнетта мы начнем с массива поляризующихся частиц. Используя концепцию локального поля Лоренца, мы получаем соотношение Клаузиуса-Моссотти : ${\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon +2}}={\frac {4\pi }{3}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}$ Где $N_{j}$ – количество частиц в единице объема. Используя элементарную электростатику, для сферического включения с диэлектрической проницаемостью получаем $\varepsilon _{i}$ и радиус $a$ поляризуемость $\alpha$ : $\alpha =\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)a^{3}$ Если мы объединим $\alpha$ с помощью уравнения Клаузиуса Мосотти получаем: $\left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-1}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-1}{\varepsilon _{i}+2}}\right)$ Где $\varepsilon _{\mathrm {eff} }$ – эффективная диэлектрическая проницаемость среды, $\varepsilon _{i}$ включений; $\delta _{i}$ – объемная доля включений.
Поскольку модель Максвелла Гарнетта представляет собой композицию матричной среды с включениями, мы уточним уравнение:

\left({\frac {\varepsilon _{\mathrm {eff} }-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{\mathrm {eff} }+2\varepsilon _{m}}}\right)=\delta _{i}\left({\frac {\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{i}+2\varepsilon _{m}}}\right)

( 8 )

Срок действия

В общих чертах ожидается, что EMA Максвелла Гарнетта будет действительна при низких объемных фракциях. $\delta _{i}$ , поскольку предполагается, что домены пространственно разделены и пренебрегается электростатическим взаимодействием между выбранными включениями и всеми остальными соседними включениями. ^[22] Формула Максвелла Гарнетта, в отличие от формулы Брюггемана, перестает быть корректной, когда включения становятся резонансными. В случае плазмонного резонанса формула Максвелла Гарнетта верна только при объемной доле включений $\delta _{i}<10^{-5}$ . ^[23] Применимость приближения эффективной среды для диэлектрических мультислоев ^[24] и металлодиэлектрические мультислои ^[25] были изучены и показали, что существуют определенные случаи, когда приближение эффективной среды не выполняется и необходимо проявлять осторожность в применении теории.

Обобщение уравнения Максвелла Гарнетта для описания распределения наночастиц по размерам.

Уравнение Максвелла Гарнетта описывает оптические свойства нанокомпозитов, которые состоят из набора идеально сферических наночастиц. Все эти наночастицы должны иметь одинаковый размер. Однако из-за эффекта ограничения на оптические свойства может влиять распределение наночастиц по размерам. Как показали Бэтти и др., ^[26] уравнение Максвелла Гарнетта можно обобщить, чтобы учесть это распределение.

${\frac {(\varepsilon _{\text{eff}}-\varepsilon _{m})}{\varepsilon _{\text{eff}}-2\varepsilon _{m}}}={\frac {3i\lambda ^{3}}{16\pi ^{2}\varepsilon _{m}^{1.5}}}{\frac {f}{R_{m}^{3}}}\int P(R)a_{1}(R)dR$

$R$ и $P(R)$ – радиус наночастиц и распределение по размерам соответственно. $R_{m}$ и $f$ – средний радиус и объемная доля наночастиц соответственно. $a_{1}$ – первый электрический коэффициент Ми. Это уравнение показывает, что классическое уравнение Максвелла Гарнетта дает ложную оценку объемной доли наночастиц, когда нельзя пренебрегать распределением по размерам.

Обобщение, включающее распределение наночастиц по форме.

Уравнение Максвелла Гарнетта описывает только оптические свойства набора идеально сферических наночастиц. Однако оптические свойства нанокомпозитов чувствительны к распределению формы наночастиц. Чтобы преодолеть этот предел, Y. Battie et al. ^[27] разработали теорию эффективной среды с распределенной формой (SDEMT). Эта теория эффективной среды позволяет рассчитать эффективную диэлектрическую функцию нанокомпозита, который состоит из набора эллипсоидальных наночастиц, распределенных по форме.

$\varepsilon _{\text{eff}}={\frac {(1-f)\varepsilon _{m}+f\beta \varepsilon _{i}}{1-f+f\beta }}$

с $\beta ={\frac {1}{3}}\iint P(L_{1},L_{2})\sum _{i\mathop {=} 1}^{3}{\frac {\varepsilon _{m}}{\varepsilon _{m}+L_{i}(\varepsilon _{i}-\varepsilon _{m})}}dL_{1}dL_{2}$

Факторы деполяризации ( $L_{1},L_{2},L_{3}$ ) зависят только от формы наночастиц. $P(L_{1},L_{2})$ – распределение факторов деполяризации.f – объемная доля наночастиц.

Теория SDEMT использовалась для извлечения распределения формы наночастиц из поглощения. ^[28] или эллипсометрические спектры. ^[29]^[30]

Формула, описывающая размерный эффект

Предложена новая формула, описывающая размерный эффект. ^[18] Эта формула имеет вид $\varepsilon _{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\left(H_{\varepsilon }+i{\sqrt {-H_{\varepsilon }^{2}-8\varepsilon _{m}\varepsilon _{d}J(k_{m}a)}}\right),$

H_{\varepsilon }=(2-3c_{m})\varepsilon _{d}-(1-3c_{m})\varepsilon _{m}J(k_{m}a),

( 5 )

$J(x)=2{\frac {1-x\cot(x)}{x^{2}+x\cot(x)-1}},$ где $a$ — радиус наночастицы и $k_{m}={\sqrt {\varepsilon _{m}\mu _{m}}}\omega /c$ волновое число. При этом предполагается, что зависимость электромагнитного поля от времени определяется множителем $\mathrm {exp} (-i\omega t).$ В данной работе использовался подход Брюггемана, но электромагнитное поле для режима электродипольных колебаний внутри выбранной частицы рассчитывалось без применения квазистатического приближения . Таким образом, функция $J(k_{m}a)$ обусловлено неоднородностью поля внутри выбранной частицы. В квазистатической области ( $k_{m}a\ll 1$ , то есть $a\leq \mathrm {10\,nm}$ для Ag $)$ эта функция становится постоянной $J(k_{m}a)=1$ и формула (5) становится идентичной формуле Брюггемана.

Формула эффективной проницаемости

Формула эффективной проницаемости смесей имеет вид ^[18]

\mu _{\text{eff}}={\frac {1}{4}}\left(H_{\mu }+i{\sqrt {-H_{\mu }^{2}-8\mu _{m}\mu _{d}J(k_{m}a)}}\right),

( 6 )

$H_{\mu }=(2-3c_{m})\mu _{d}-(1-3c_{m})\mu _{m}J(k_{m}a).$

Здесь $\mu _{\text{eff}}$ – эффективная относительная комплексная проницаемость смеси, $\mu _{d}$ — относительная комплексная проницаемость фоновой среды, содержащей мелкие сферические включения относительной проницаемости $\mu _{m}$ с объемной долей $c_{m}\ll 1$ . Эта формула была получена в дипольном приближении. Магнитная октупольная мода и все другие моды магнитных колебаний нечетных порядков здесь не учитывались. Когда $\mu _{m}=\mu _{d}$ и $k_{m}a\ll 1$ эта формула имеет простой вид ^[18]

\mu _{\text{eff}}=\mu _{d}\left(1+{\frac {c_{m}}{10}}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}a^{2}\varepsilon _{m}\right).

( 7 )

Теория эффективной среды для резисторных сетей

Для сети, состоящей из высокой плотности случайных резисторов, точное решение для каждого отдельного элемента может быть непрактичным или невозможным. В таком случае сеть случайных резисторов можно рассматривать как двумерный график , а эффективное сопротивление можно моделировать с точки зрения мер графа и геометрических свойств сетей. ^[31] Если предположить, что длина края намного меньше расстояния между электродами и края распределены равномерно, можно считать, что потенциал падает равномерно от одного электрода к другому. Листовое сопротивление такой случайной сети ( $R_{sn}$ ) можно записать через плотность ребер (проволок) ( $N_{E}$ ), удельное сопротивление ( $\rho$ ), ширина ( $w$ ) и толщина ( $t$ ) ребер (проволок) как:

R_{sn}\,=\,{\frac {\pi }{2}}{\frac {\rho }{w\,t\,{\sqrt {N_{E}}}}}

( 9 )

См. также

Ссылки

^ Вэньшань, Цай ; Шалаев, Владимир (ноябрь 2009 г.). Оптические метаматериалы: основы и приложения . Спрингер. стр. Глава 2.4. ISBN 978-1-4419-1150-6 .
^ Ван, М; Пан, Н. (2008). «Прогнозирование эффективных физических свойств сложных многофазных материалов» (скачать бесплатно в формате PDF) . Материаловедение и инженерия: R: Отчеты . 63 : 1–30. дои : 10.1016/j.mser.2008.07.001 .
^ TC Choy, «Теория эффективной среды», Oxford University Press, (2016) 241 стр.
^ М. Шеллер, К. Янсен, М. Кох, «Применение эффективных теорий среды в терагерцовом режиме» в « Последних оптических и фотонных технологиях » , изд. К.Ю. Ким, Intech, Хорватия, Вуковар (2010), с. 231.
^ Тинга, WR; Восс, WAG; Блосси, Д.Ф. (1973). «Обобщенный подход к теории многофазных диэлектрических смесей» . Дж. Прил. Физ . 44 (9): 3897. Бибкод : 1973JAP....44.3897T . дои : 10.1063/1.1662868 . Архивировано из оригинала 16 июля 2012 г. Проверено 24 апреля 2019 г.
^ Лова, Паола; Мегад, Хеба; Стагнаро, Паола; Аллоизио, Марина; Патрини, Маддалена; Коморетто, Давиде (15 июня 2020 г.). «Стратегии повышения диэлектрического контраста в одномерных плоских полимерных фотонных кристаллах» . Прикладные науки . 10 (12): 4122. дои : 10.3390/app10124122 . ISSN 2076-3417 .
^ Брюггеман, DAG (1935). «Расчет различных физических констант гетерогенных веществ. I. Диэлектрические проницаемости и проводимости смешанных тел из изотропных веществ». Анналы физики (на немецком языке). 416 (7): 636–664. Нагрудный код : 1935АнП...416..636Б . дои : 10.1002/andp.19354160705 . ISSN 0003-3804 .
^ С. Дж. Ольденбург. «Наночастицы серебра: свойства и применение» . Сигма Олдрич . Проверено 17 мая 2019 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Ландауэр, Рольф (апрель 1978 г.). «Электрическая проводимость в неоднородных средах» . Материалы конференции AIP . Том. 40. Американский институт физики. стр. 2–45. дои : 10.1063/1.31150 . Архивировано из оригинала 10 июля 2012 г. Проверено 7 февраля 2010 г.
^ Гранквист, CG; Хундери, О. (1978). «Проводимость неоднородных материалов: теория эффективной среды с диполь-дипольным взаимодействием». Физ. Преподобный Б. 18 (4): 1554–1561. Бибкод : 1978PhRvB..18.1554G . дои : 10.1103/PhysRevB.18.1554 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Вайглхофер, WS; Лахтакия, А.; Мишель, Б. (1998). «Формализмы Максвелла Гарнетта и Брюггемана для дисперсного композита с бианизотропной средой-хозяином» . Микроу. Опция Технол. Летт . 15 (4): 263–266. doi : 10.1002/(SICI)1098-2760(199707)15:4<263::AID-MOP19>3.0.CO;2-8 . Архивировано из оригинала 5 января 2013 г.
^ Страуд, Д. (1975). «Обобщенный подход эффективной среды к проводимости неоднородного материала». Физ. Преподобный Б. 12 (8): 3368–3373. Бибкод : 1975PhRvB..12.3368S . дои : 10.1103/PhysRevB.12.3368 .
^ Дэвидсон, А.; Тинкхэм, М. (1976). «Феноменологические уравнения электропроводности микроскопически неоднородных материалов». Физ. Преподобный Б. 13 (8): 3261–3267. Бибкод : 1976PhRvB..13.3261D . дои : 10.1103/PhysRevB.13.3261 .
^ Киркпатрик, Скотт (1973). «Просачивание и проводимость». Преподобный Мод. Физ . 45 (4): 574–588. Бибкод : 1973РвМП...45..574К . дои : 10.1103/RevModPhys.45.574 .
^ Заллен, Ричард (1998). Физика аморфных твердых тел . Уайли-Интерсайенс. ISBN 978-0-471-29941-7 .
^ Розен, Джон; Лопес, Рене; Хаглунд, Ричард Ф. младший; Фельдман, Леонард К. (2006). «Двумерная перколяция тока в нанокристаллических пленках диоксида ванадия» . Прил. Физ. Летт . 88 (8): 081902. Бибкод : 2006ApPhL..88h1902R . дои : 10.1063/1.2175490 . Архивировано из оригинала 12 июля 2012 г. Проверено 24 апреля 2019 г.
^ Гарнетт, JCM (1904). «Цвета в металлических стеклах и металлических пленках» . Философские труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 203 (359–371): 385–420. Бибкод : 1904RSPTA.203..385G . дои : 10.1098/rsta.1904.0024 . ISSN 1364-503X .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Беляев Б.А.; Тюрнев, В.В. (2018). «Электродинамический расчет эффективных электромагнитных параметров диэлектрической среды с металлическими наночастицами заданного размера». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 127 (4): 608–619. Бибкод : 2018JETP..127..608B . дои : 10.1134/S1063776118100114 . ISSN 1063-7761 . S2CID 125250487 .
^ Чой, Так К. (1999). Теория эффективной среды . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-851892-1 .
^ Леви О. и Страуд Д. (1997). Теория Максвелла Гарнетта для смесей анизотропных включений: приложение к проводящим полимерам. Физический обзор Б, 56(13), 8035.
^ Лю, Тонг и др. «Микропористые наночастицы Co@CoO с превосходными свойствами поглощения микроволнового излучения». Наномасштаб 6.4 (2014): 2447-2454.
^ Джепсен, Питер Уд; Фишер, Бернд М.; Томан, Андреас; Хельм, Ханспетер; Эх, JY; Лопес, Рене; Хаглунд, РФ-младший (2006). «Фазовый переход металл-изолятор в тонкой пленке VO ₂ , наблюдаемый с помощью терагерцовой спектроскопии» . Физ. Преподобный Б. 74 (20): 205103. Бибкод : 2006PhRvB..74t5103J . дои : 10.1103/PhysRevB.74.205103 . hdl : 2440/36406 . S2CID 28476406 .
^ Беляев Б.А.; Тюрнев, В.В. (2018). «Электродинамический расчет эффективных электромагнитных параметров диэлектрической среды с металлическими наночастицами заданного размера». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 127 (4): 608–619. Бибкод : 2018JETP..127..608B . дои : 10.1134/S1063776118100114 . S2CID 125250487 .
^ Жуковский С.В.; Андрейевский А., Такаяма О.; Шкондин Э., Малуреану Р.; Дженсен Ф., Лавриненко А.В. (2015). «Экспериментальная демонстрация пробоя приближения эффективной среды в глубоко субволновых цельнодиэлектрических многослойных слоях» . Письма о физических отзывах . 115 (17): 177402. arXiv : 1506.08078 . Бибкод : 2015PhRvL.115q7402Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.115.177402 . ПМИД 26551143 . S2CID 4018894 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Сукхам, Дж.; Такаяма О., Махмуд М.; Сычев С., Богданов А.; Хасан Тавассоли-старший, Лавриненко А.В.; Малуреану Р. (2019). «Исследование возможности применения эффективных сред для сверхтонких многослойных структур» . Наномасштаб . 11 (26): 12582–12588. дои : 10.1039/C9NR02471A . ПМИД 31231735 . S2CID 195326315 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Бэтти, Ю.; Резано-Гарсия, А., Шауи, Н.; Чжан Ю., Ин Насири А. (2014). «Расширенная формула Максвелла-Гарнетта-Ми, применяемая для дисперсии размеров металлических наночастиц, внедренных в жидкую матрицу хозяина» . Журнал химической физики . 140 :044705 дои : 10.1063/1.4862995 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Ресано-Гарсия, А.; Бэтти Ю., Эн Насири А.; Акил С., Чауи Н. (2015). «Экспериментальное и теоретическое определение плазмонных ответов и распределения формы коллоидных металлических наночастиц» . Журнал химической физики . 142 : 134108. дои : 10.1063/1.4916917 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Бэтти, Ю.; Ресано-Гарсия А., Эн Насири А.; Акил С., Чауи Н. (2015). «Определение морфологических характеристик металлических наночастиц на основе модифицированной аппроксимации оптических откликов Максвелла-Гарнетта» . Письма по прикладной физике . 107 : 143104. дои : 10.1063/1.4932638 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Бэтти, Ю.; Искьердо-Лоренцо И., Ресано-Гарсия А.; Эн Насири А., Акил С.; Адам, ПМ, Джради, С. (2016). «Как определить морфологию плазмонных нанокристаллов без просвечивающей электронной микроскопии?» . Журнал исследований наночастиц . 18 : 1–13. дои : 10.1007/s11051-016-3533-8 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Бэтти, Ю.; Чаковский М., Эн Насири А.; Акил С., Чауи Н. (2017). «Эллипсометрия коллоидных растворов: новая экспериментальная установка и применение к металлическим коллоидам» . Ленгмюр . 33 : 7425–7434. doi : 10.1021/acs.langmuir.7b00490 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Кумар, Анкуш; Видхьядхираджа, Н.С.; Кулкарни, Г.У. (2017). «Текущее распространение в проводящих сетях нанопроводов». Журнал прикладной физики . 122 (4): 045101. Бибкод : 2017JAP...122d5101K . дои : 10.1063/1.4985792 .

Дальнейшее чтение

Лахтакия А., изд. (1996). Избранные статьи о линейных оптических композиционных материалах [Milestone Vol. 120] . Беллингем, Вашингтон, США: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4 .
Так, Чой (1999). Теория эффективной среды (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-851892-1 .
Лахтакия (Ред.), А. (2000). Электромагнитные поля в нетрадиционных материалах и конструкциях . Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9 .
Вайглхофер (Ред.) ; Лахтакия (Ред.), А. (2003). Введение в сложные среды для оптики и электромагнетизма . Беллингем, Вашингтон, США: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4 .
Маккей, ТГ ; Лахтакия, А. (2010). Электромагнитная анизотропия и бианизотропия: практическое руководство (1-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0 .

[Cai-book-1] Вэньшань, Цай ; Шалаев, Владимир (ноябрь 2009 г.). Оптические метаматериалы: основы и приложения . Спрингер. стр. Глава 2.4. ISBN 978-1-4419-1150-6 .

[wang-pan-2] Ван, М; Пан, Н. (2008). «Прогнозирование эффективных физических свойств сложных многофазных материалов» (скачать бесплатно в формате PDF) . Материаловедение и инженерия: R: Отчеты . 63 : 1–30. дои : 10.1016/j.mser.2008.07.001 .

[Choy-3] TC Choy, «Теория эффективной среды», Oxford University Press, (2016) 241 стр.

[Scheller-4] М. Шеллер, К. Янсен, М. Кох, «Применение эффективных теорий среды в терагерцовом режиме» в « Последних оптических и фотонных технологиях » , изд. К.Ю. Ким, Intech, Хорватия, Вуковар (2010), с. 231.

[5] Тинга, WR; Восс, WAG; Блосси, Д.Ф. (1973). «Обобщенный подход к теории многофазных диэлектрических смесей» . Дж. Прил. Физ . 44 (9): 3897. Бибкод : 1973JAP....44.3897T . дои : 10.1063/1.1662868 . Архивировано из оригинала 16 июля 2012 г. Проверено 24 апреля 2019 г.

[6] Лова, Паола; Мегад, Хеба; Стагнаро, Паола; Аллоизио, Марина; Патрини, Маддалена; Коморетто, Давиде (15 июня 2020 г.). «Стратегии повышения диэлектрического контраста в одномерных плоских полимерных фотонных кристаллах» . Прикладные науки . 10 (12): 4122. дои : 10.3390/app10124122 . ISSN 2076-3417 .

[Bruggeman1935-7] Брюггеман, DAG (1935). «Расчет различных физических констант гетерогенных веществ. I. Диэлектрические проницаемости и проводимости смешанных тел из изотропных веществ». Анналы физики (на немецком языке). 416 (7): 636–664. Нагрудный код : 1935АнП...416..636Б . дои : 10.1002/andp.19354160705 . ISSN 0003-3804 .

[Oldenburg-8] С. Дж. Ольденбург. «Наночастицы серебра: свойства и применение» . Сигма Олдрич . Проверено 17 мая 2019 г.

[landauer-9] Перейти обратно: ^а ^б Ландауэр, Рольф (апрель 1978 г.). «Электрическая проводимость в неоднородных средах» . Материалы конференции AIP . Том. 40. Американский институт физики. стр. 2–45. дои : 10.1063/1.31150 . Архивировано из оригинала 10 июля 2012 г. Проверено 7 февраля 2010 г.

[10] Гранквист, CG; Хундери, О. (1978). «Проводимость неоднородных материалов: теория эффективной среды с диполь-дипольным взаимодействием». Физ. Преподобный Б. 18 (4): 1554–1561. Бибкод : 1978PhRvB..18.1554G . дои : 10.1103/PhysRevB.18.1554 .

[www3.interscience.wiley-11] Перейти обратно: ^а ^б Вайглхофер, WS; Лахтакия, А.; Мишель, Б. (1998). «Формализмы Максвелла Гарнетта и Брюггемана для дисперсного композита с бианизотропной средой-хозяином» . Микроу. Опция Технол. Летт . 15 (4): 263–266. doi : 10.1002/(SICI)1098-2760(199707)15:4<263::AID-MOP19>3.0.CO;2-8 . Архивировано из оригинала 5 января 2013 г.

[12] Страуд, Д. (1975). «Обобщенный подход эффективной среды к проводимости неоднородного материала». Физ. Преподобный Б. 12 (8): 3368–3373. Бибкод : 1975PhRvB..12.3368S . дои : 10.1103/PhysRevB.12.3368 .

[13] Дэвидсон, А.; Тинкхэм, М. (1976). «Феноменологические уравнения электропроводности микроскопически неоднородных материалов». Физ. Преподобный Б. 13 (8): 3261–3267. Бибкод : 1976PhRvB..13.3261D . дои : 10.1103/PhysRevB.13.3261 .

[14] Киркпатрик, Скотт (1973). «Просачивание и проводимость». Преподобный Мод. Физ . 45 (4): 574–588. Бибкод : 1973РвМП...45..574К . дои : 10.1103/RevModPhys.45.574 .

[15] Заллен, Ричард (1998). Физика аморфных твердых тел . Уайли-Интерсайенс. ISBN 978-0-471-29941-7 .

[16] Розен, Джон; Лопес, Рене; Хаглунд, Ричард Ф. младший; Фельдман, Леонард К. (2006). «Двумерная перколяция тока в нанокристаллических пленках диоксида ванадия» . Прил. Физ. Летт . 88 (8): 081902. Бибкод : 2006ApPhL..88h1902R . дои : 10.1063/1.2175490 . Архивировано из оригинала 12 июля 2012 г. Проверено 24 апреля 2019 г.

[Garnett1904-17] Гарнетт, JCM (1904). «Цвета в металлических стеклах и металлических пленках» . Философские труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 203 (359–371): 385–420. Бибкод : 1904RSPTA.203..385G . дои : 10.1098/rsta.1904.0024 . ISSN 1364-503X .

[Belyaev-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Беляев Б.А.; Тюрнев, В.В. (2018). «Электродинамический расчет эффективных электромагнитных параметров диэлектрической среды с металлическими наночастицами заданного размера». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 127 (4): 608–619. Бибкод : 2018JETP..127..608B . дои : 10.1134/S1063776118100114 . ISSN 1063-7761 . S2CID 125250487 .

[TuckChoy-19] Чой, Так К. (1999). Теория эффективной среды . Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-851892-1 .

[20] Леви О. и Страуд Д. (1997). Теория Максвелла Гарнетта для смесей анизотропных включений: приложение к проводящим полимерам. Физический обзор Б, 56(13), 8035.

[21] Лю, Тонг и др. «Микропористые наночастицы Co@CoO с превосходными свойствами поглощения микроволнового излучения». Наномасштаб 6.4 (2014): 2447-2454.

[22] Джепсен, Питер Уд; Фишер, Бернд М.; Томан, Андреас; Хельм, Ханспетер; Эх, JY; Лопес, Рене; Хаглунд, РФ-младший (2006). «Фазовый переход металл-изолятор в тонкой пленке VO ₂ , наблюдаемый с помощью терагерцовой спектроскопии» . Физ. Преподобный Б. 74 (20): 205103. Бибкод : 2006PhRvB..74t5103J . дои : 10.1103/PhysRevB.74.205103 . hdl : 2440/36406 . S2CID 28476406 .

[23] Беляев Б.А.; Тюрнев, В.В. (2018). «Электродинамический расчет эффективных электромагнитных параметров диэлектрической среды с металлическими наночастицами заданного размера». Журнал экспериментальной и теоретической физики . 127 (4): 608–619. Бибкод : 2018JETP..127..608B . дои : 10.1134/S1063776118100114 . S2CID 125250487 .

[24] Жуковский С.В.; Андрейевский А., Такаяма О.; Шкондин Э., Малуреану Р.; Дженсен Ф., Лавриненко А.В. (2015). «Экспериментальная демонстрация пробоя приближения эффективной среды в глубоко субволновых цельнодиэлектрических многослойных слоях» . Письма о физических отзывах . 115 (17): 177402. arXiv : 1506.08078 . Бибкод : 2015PhRvL.115q7402Z . doi : 10.1103/PhysRevLett.115.177402 . ПМИД 26551143 . S2CID 4018894 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[25] Сукхам, Дж.; Такаяма О., Махмуд М.; Сычев С., Богданов А.; Хасан Тавассоли-старший, Лавриненко А.В.; Малуреану Р. (2019). «Исследование возможности применения эффективных сред для сверхтонких многослойных структур» . Наномасштаб . 11 (26): 12582–12588. дои : 10.1039/C9NR02471A . ПМИД 31231735 . S2CID 195326315 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[26] Бэтти, Ю.; Резано-Гарсия, А., Шауи, Н.; Чжан Ю., Ин Насири А. (2014). «Расширенная формула Максвелла-Гарнетта-Ми, применяемая для дисперсии размеров металлических наночастиц, внедренных в жидкую матрицу хозяина» . Журнал химической физики . 140 :044705 дои : 10.1063/1.4862995 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[27] Ресано-Гарсия, А.; Бэтти Ю., Эн Насири А.; Акил С., Чауи Н. (2015). «Экспериментальное и теоретическое определение плазмонных ответов и распределения формы коллоидных металлических наночастиц» . Журнал химической физики . 142 : 134108. дои : 10.1063/1.4916917 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[28] Бэтти, Ю.; Ресано-Гарсия А., Эн Насири А.; Акил С., Чауи Н. (2015). «Определение морфологических характеристик металлических наночастиц на основе модифицированной аппроксимации оптических откликов Максвелла-Гарнетта» . Письма по прикладной физике . 107 : 143104. дои : 10.1063/1.4932638 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[29] Бэтти, Ю.; Искьердо-Лоренцо И., Ресано-Гарсия А.; Эн Насири А., Акил С.; Адам, ПМ, Джради, С. (2016). «Как определить морфологию плазмонных нанокристаллов без просвечивающей электронной микроскопии?» . Журнал исследований наночастиц . 18 : 1–13. дои : 10.1007/s11051-016-3533-8 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[30] Бэтти, Ю.; Чаковский М., Эн Насири А.; Акил С., Чауи Н. (2017). «Эллипсометрия коллоидных растворов: новая экспериментальная установка и применение к металлическим коллоидам» . Ленгмюр . 33 : 7425–7434. doi : 10.1021/acs.langmuir.7b00490 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[31] Кумар, Анкуш; Видхьядхираджа, Н.С.; Кулкарни, Г.У. (2017). «Текущее распространение в проводящих сетях нанопроводов». Журнал прикладной физики . 122 (4): 045101. Бибкод : 2017JAP...122d5101K . дои : 10.1063/1.4985792 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]