Удержание первого порядка

Удержание первого порядка ( FOH ) — это математическая модель практической реконструкции дискретизированных сигналов, которую можно выполнить с помощью обычного цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) и аналоговой схемы, называемой интегратором . Для FOH сигнал восстанавливается как кусочно-линейная аппроксимация исходного сигнала, который был дискретизирован. Математическая модель, такая как FOH (или, чаще, удержание нулевого порядка ), необходима, потому что в теореме выборки и реконструкции последовательность импульсов Дирака , x _s ( t ), представляющая дискретные выборки, x ( nT ) , подвергается фильтрованию нижних частот для восстановления исходного дискретизированного сигнала x ( t ). Однако вывод последовательности импульсов Дирака нецелесообразен. Устройства могут быть реализованы с использованием обычного ЦАП и некоторых линейных аналоговых схем для восстановления кусочно-линейного выходного сигнала для прогнозирующего или задержанного FOH.

Несмотря на то, что это не то, что физически делается, идентичный выходной сигнал может быть получен путем применения гипотетической последовательности импульсов Дирака x _s ( t ) к линейной нестационарной системе , иначе известной как линейный фильтр с такими характеристиками (который , для системы LTI, полностью описываются импульсной характеристикой ), так что каждый входной импульс приводит к правильной кусочно-линейной функции на выходе.

Базовый удержание первого порядка

Идеально дискретизированный сигнал x _s ( t ).

Удержание первого порядка — это гипотетический фильтр или система LTI , которая преобразует идеально дискретизированный сигнал.

$x_{s}(t)\,$	$=x(t)\ T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\$
	$=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\$

Кусочно-линейный сигнал x _FOH ( t ).

к кусочно-линейному сигналу

$x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\$

Импульсная реакция (непричинная) удержания первого порядка h _FOH ( t ).

что приводит к эффективной импульсной реакции

$h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\$

где $\mathrm {tri} (x)\$ это треугольная функция .

Эффективная частотная характеристика представляет собой непрерывное преобразование Фурье импульсной характеристики.

$H_{\mathrm {FOH} }(f)\,$	$={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$
	$=\left({\frac {e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\$
	$=\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\$

где $\mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\$ — нормализованная функция sinc .

Передаточная преобразования Лапласа функция FOH находится путем замены s = i 2 π f :

$H_{\mathrm {FOH} }(s)\,$	$={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$
	$=\left({\frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}}\right)^{2}\$

Это акаузальная система , в которой функция линейной интерполяции перемещается к значению следующей выборки, прежде чем эта выборка будет применена к гипотетическому фильтру FOH.

Отложенное удержание первого заказа

Задержанный кусочно-линейный сигнал x _FOH ( t ).

Задержание первого порядка с задержкой , иногда называемое причинным удержанием первого порядка , идентично FOH, описанному выше, за исключением того, что его выходной сигнал задерживается на один период выборки, что приводит к задержанному кусочно-линейному выходному сигналу.

$x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-T-nT}{T}}\right)\$

Импульсная реакция причинно-следственной связи первого порядка h _FOH ( t ).

что приводит к эффективной импульсной реакции

$h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t-T}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t-T|}{T}}\right)&{\mbox{if }}|t-T|<T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\$

где $\mathrm {tri} (x)\$ это треугольная функция .

Эффективная частотная характеристика представляет собой непрерывное преобразование Фурье импульсной характеристики.

$H_{\mathrm {FOH} }(f)\,$	$={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$
	$=\left({\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\$
	$=e^{-i2\pi fT}\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\$

где $\mathrm {sinc} (x)\$ это функция sinc .

Передаточная преобразования Лапласа функция задержанного FOH находится путем подстановки s = i 2 π f :

$H_{\mathrm {FOH} }(s)\,$	$={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$
	$=\left({\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\right)^{2}\$

Задержка вывода делает эту систему причинной . Импульсная характеристика задержанного FOH не реагирует до входного импульса.

Этот вид кусочно-линейной реконструкции с задержкой физически реализуем путем реализации цифрового фильтра с коэффициентом усиления H ( z ) = 1 − z. ⁻¹ , применяя выходной сигнал этого цифрового фильтра (который представляет собой просто x [ n ]− x [ n −1]) к идеальному обычному цифро-аналоговому преобразователю (модель которого имеет присущую фиксацию нулевого порядка ему ) и интегрируя ( в непрерывном времени H ( s ) = 1/( sT )) выход ЦАП.

Прогнозируемое удержание первого порядка

Прогнозируемый выходной сигнал FOH x _FOH ( t ).

Наконец, предсказательное удержание первого порядка совершенно иное. Это причинно-следственная гипотетическая система или фильтр LTI, который преобразует идеально дискретизированный сигнал.

$x_{s}(t)\,$	$=x(t)\ T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\$
	$=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)\$

в кусочно-линейный выходной сигнал, так что текущая выборка и непосредственно предыдущая выборка используются для линейной экстраполяции до следующего экземпляра выборки. Выход такого фильтра будет

$x_{\mathrm {FOH} }(t)\,$	$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(x(nT)+\left(x(nT)-x((n-1)T)\right){\frac {t-nT}{T}}\right)\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)\$
	$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\left(\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)-\mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {3}{2}}\right)+\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}-1\right)\right)\$

Импульсная характеристика прогнозирующего удержания первого порядка h _FOH ( t ).

что приводит к эффективной импульсной реакции

$h_{\mathrm {FOH} }(t)\,$	$={\frac {1}{T}}\left(\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)-\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {3}{2}}\right)+\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}-1\right)\right)\$
	$={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1+{\frac {t}{T}}\right)&{\mbox{if }}0\leq t<T\\{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {t}{T}}\right)&{\mbox{if }}T\leq t<2T\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}\$

где $\mathrm {rect} (x)\$ - прямоугольная функция и $\mathrm {tri} (x)\$ это треугольная функция .

Эффективная частотная характеристика представляет собой непрерывное преобразование Фурье импульсной характеристики.

$H_{\mathrm {FOH} }(f)\,$	$={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$
	$=(1+i2\pi fT)\left({\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\$
	$=(1+i2\pi fT)e^{-i2\pi fT}\mathrm {sinc} ^{2}(fT))\$

где $\mathrm {sinc} (x)\$ это функция sinc .

Передаточная преобразования Лапласа функция прогнозирующего FOH находится путем замены s = i 2 π f :

$H_{\mathrm {FOH} }(s)\,$	$={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$
	$=(1+sT)\left({\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\right)^{2}\$

Это причинная система . Импульсная характеристика прогнозирующего FOH не реагирует до входного импульса.

Этот вид кусочно-линейной реконструкции физически реализуем путем реализации цифрового фильтра с коэффициентом усиления H ( z ) = 1 − z. ⁻¹ , применяя выходной сигнал этого цифрового фильтра (который представляет собой просто x [ n ]− x [ n −1]) к идеальному традиционному цифро-аналоговому преобразователю (который имеет удержание нулевого порядка в качестве модели ) и применяя это Выход ЦАП на аналоговый фильтр с передаточной функцией H ( s ) = (1+ sT )/( sT ).

См. также

• Теорема выборки Найквиста – Шеннона
• Удержание нулевого порядка
• Билинейная интерполяция

Внешние ссылки

• Санкар, Кришна (2007). «Удержание нулевого порядка и интерполяция на основе удержания первого порядка» . dspLog Обработка сигналов для связи .