Сферическая модель

Сферическая модель — модель ферромагнетизма, подобная модели Изинга , которая была решена в 1952 Т.Х. Берлином и М. Кацем . Он обладает замечательным свойством: для линейного размера d больше четырех критические показатели , определяющие поведение системы вблизи критической точки, не зависят от d и геометрии системы. Это одна из немногих моделей ферромагнетизма, которую можно решить точно в присутствии внешнего поля.

Формулировка

Модель описывает набор частиц на решетке. $\mathbb {L}$ содержащий N сайтов. Каждый сайт j из $\mathbb {L}$ содержит вращение $\sigma _{j}$ взаимодействует только со своими ближайшими соседями и внешним полем H. который Она отличается от модели Изинга тем, что $\sigma _{j}$ больше не ограничиваются $\sigma _{j}\in \{1,-1\}$ , но может принимать все действительные значения при условии, что

\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}^{2}=N

что в однородной системе обеспечивает равенство среднего квадрата любого спина единице, как в обычной модели Изинга.

Статистическая сумма обобщает модель Изинга на

Z_{N}=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }d\sigma _{1}\cdots d\sigma _{N}\exp \left[K\sum _{\langle jl\rangle }\sigma _{j}\sigma _{l}+h\sum _{j}\sigma _{j}\right]\delta \left[N-\sum _{j}\sigma _{j}^{2}\right]

где $\delta$ – дельта-функция Дирака , $\langle jl\rangle$ являются ребрами решетки, а $K=J/kT$ и $h=H/kT$ , где T — температура системы, k — постоянная Больцмана , а J — константа связи взаимодействий ближайших соседей.

Берлин и Кац увидели в этом приближение к обычной модели Изинга, утверждая, что $\sigma$ -суммирование в модели Изинга можно рассматривать как сумму по всем углам N -мерного гиперкуба в $\sigma$ -космос. Это становится интегрированием по поверхности гиперсферы, проходящей через все такие углы.

Это было строго доказано Кацем и Си Джей Томпсоном. ^{[ 1 ]} что сферическая модель является предельным случаем N-векторной модели .

Уравнение состояния

Решение статистической суммы и использование расчета свободной энергии дает уравнение, описывающее намагниченность M системы.

2J(1-M^{2})=kTg'(H/2JM)

для функции g, определенной как

g(z)=(2\pi )^{-d}\int _{0}^{2\pi }\ldots \int _{0}^{2\pi }d\omega _{1}\cdots d\omega _{d}\ln[z+d-\cos \omega _{1}-\cdots -\cos \omega _{d}]

каждого Внутренняя энергия узла определяется выражением

u={\frac {1}{2}}kT-Jd-{\frac {1}{2}}H(M+M^{-1})

точное соотношение, связывающее внутреннюю энергию и намагниченность.

Критическое поведение

Для $d\leq 2$ критическая температура возникает при абсолютном нуле , что приводит к отсутствию фазового перехода для сферической модели. При d больше 2 сферическая модель демонстрирует типичное ферромагнитное поведение с конечной температурой Кюри , при которой ферромагнетизм прекращается. Критическое поведение сферической модели было получено в совершенно общих обстоятельствах, когда размер d может быть реальным нецелым размером.

Критические показатели $\alpha ,\beta ,\gamma$ и $\gamma '$ в случае нулевого поля, определяющие поведение системы, близкой к которой были получены как