Теория идеального препятствия

В алгебраической геометрии, учитывая стек Делиня-Мамфорда X , идеальная теория препятствий для X состоит из:

1. идеальный двухчленный комплекс $E=[E^{-1}\to E^{0}]$ в производной категории $D({\text{Qcoh}}(X)_{et})$ квазикогерентных этальных пучков на X и
2. морфизм $\varphi \colon E\to {\textbf {L}}_{X}$, где ${\textbf {L}}_{X}$ является кокасательным комплексом X , который индуцирует изоморфизм на $h^{0}$ и эпиморфизм на $h^{-1}$.

Это понятие было введено Каем Берендом и Барбарой Фантечи ( 1997 ) для приложения к теории пересечения стеков модулей; в частности, для определения виртуального фундаментального класса .

Примеры

Схемы

Рассмотрим обычное вложение $I\colon Y\to W$ вписывающееся в декартов квадрат

${\begin{matrix}X&{\xrightarrow {j}}&V\\g\downarrow &&\downarrow f\\Y&{\xrightarrow {i}}&W\end{matrix}}$

где $V,W$ гладкие. Тогда комплекс

$E^{\bullet }=[g^{*}N_{Y/W}^{\vee }\to j^{*}\Omega _{V}]$ (в градусах $-1,0$)

образует идеальную теорию препятствий для X . Карта взята из композиции

$g^{*}N_{Y/W}^{\vee }\to g^{*}i^{*}\Omega _{W}=j^{*}f^{*}\Omega _{W}\to j^{*}\Omega _{V}$

Это идеальная теория препятствий, поскольку комплекс оснащен картой для $\mathbf {L} _{X}^{\bullet }$ исходя из карт $g^{*}\mathbf {L} _{Y}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X}^{\bullet }$ и $j^{*}\mathbf {L} _{V}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X}^{\bullet }$. Обратите внимание, что связанный виртуальный фундаментальный класс $[X,E^{\bullet }]=i^{!}[V]$

Пример 1

Рассмотрим гладкое проективное многообразие $Y\subset \mathbb {P} ^{n}$. Если мы установим $V=W$, то идеальная теория препятствий в $D^{[-1,0]}(X)$ является

$[N_{X/\mathbb {P} ^{n}}^{\vee }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n}}]$

и связанный с ним виртуальный фундаментальный класс

$[X,E^{\bullet }]=i^{!}[\mathbb {P} ^{n}]$

В частности, если $Y$ является гладким локальным полным пересечением, то идеальная теория препятствий представляет собой кокасательный комплекс (который аналогичен усеченному кокасательному комплексу).

Стеки Делиня – Мамфорда

Предыдущая конструкция также работает со стопками Делиня-Мамфорда.

Теория симметричных препятствий

По определению, симметричная теория препятствий представляет собой совершенную теорию препятствий вместе с невырожденной симметричной билинейной формой.

Пример. Пусть f — регулярная функция на гладком многообразии (или стеке). Тогда множество критических точек f каноническим образом несет в себе симметричную теорию препятствий.

Пример: Пусть M — комплексное симплектическое многообразие. Тогда (теоретическое схемное) несет в себе каноническую пересечение лагранжевых подмногообразий M симметричную теорию препятствий.

Ссылки

• Беренд, Кай (2005). «Инварианты Дональдсона – Томаса через микролокальную геометрию». arXiv : math/0507523v2 .
• Беренд, Кай ; Фантечи, Барбара (1 марта 1997 г.). «Внутренний нормальный конус». Математические изобретения . 128 (1): 45–88. arXiv : alg-geom/9601010 . Бибкод : 1997InMat.128...45B . дои : 10.1007/s002220050136 . ISSN   0020-9910 . S2CID   18533009 .
• Эзингауз, Якоб (20 июля 2015 г.). «Понимание конуса препятствия симметричной теории препятствий» . MathOverflow . Проверено 19 июля 2017 г.

См. также

• Функция Беренда
• Gromov–Witten invariant