Классовый автоморфизм

В математике , в области теории групп , автоморфизм класса — это автоморфизм группы , который переводит каждый элемент в пределах своего класса сопряженности . Автоморфизмы классов образуют подгруппу группы автоморфизмов. Некоторые факты:

• Каждый внутренний автоморфизм является автоморфизмом класса.
• Каждый автоморфизм класса является семейным автоморфизмом и факторизуемым автоморфизмом .
• При фактор-отображении автоморфизмы классов переходят в автоморфизмы классов.
• Каждый автоморфизм класса является автоморфизмом IA , то есть он действует как тождество на абелианизации .
• Каждый автоморфизм класса является автоморфизмом, фиксирующим центр , то есть он фиксирует все точки в центре.
• Нормальные подгруппы характеризуются как подгруппы, инвариантные относительно автоморфизмов классов.

Для бесконечных групп примером автоморфизма класса, который не является внутренним, является следующий: возьмите финитарную симметрическую группу со счетным числом элементов и рассмотрите сопряжение с помощью бесконечной перестановки. Это сопряжение определяет внешний автоморфизм на группе финитарных подстановок. Однако для любой конкретной финитной перестановки мы можем найти финитную перестановку, сопряжение которой имеет тот же эффект, что и эта бесконечная перестановка. По сути, это связано с тем, что бесконечная перестановка переводит перестановки с конечным носителем в перестановки с конечным носителем.

Для конечных групп классическим примером является группа порядка 32, полученная как полупрямое произведение циклического кольца из 8 элементов на его группу единиц, действующую путем умножения. Нахождение автоморфизма класса в группе устойчивости , который не является внутренним, сводится к нахождению коцикла для действия, которое локально является кограницей , но не является глобальной кограницей.