Индекс мощности Шепли – Шубика

Индекс силы Шепли-Шубика был сформулирован Ллойдом Шепли и Мартином Шубиком в 1954 году для измерения полномочий игроков в игре с голосованием. ^[1]

Составляющие системы голосования, такие как законодательные органы, руководители, акционеры, отдельные законодатели и т. д., можно рассматривать как игроков в n игре с участием игроков . Игроки с одинаковыми предпочтениями образуют коалиции. Любая коалиция, имеющая достаточно голосов для принятия законопроекта или избрания кандидата, называется победившей. Сила коалиции (или игрока) измеряется долей возможных последовательностей голосования, в которых эта коалиция отдает решающий голос, то есть голос, который первым гарантирует проход или провал. ^[2]

Индекс силы нормализуется между 0 и 1. Степень 0 означает, что коалиция вообще не влияет на исход игры; а степень 1 означает, что коалиция определяет результат своим голосованием. Также сумма полномочий всех игроков всегда равна 1.

Существуют некоторые алгоритмы расчета индекса мощности, например методы динамического программирования, методы перечисления и методы Монте-Карло. ^[3]

С тех пор, как Шепли и Шубик опубликовали свою статью, для математического изучения индекса власти Шепли-Шубика использовалось несколько аксиоматических подходов, причем наиболее широко используются аксиома анонимности, аксиома нулевого игрока, аксиома эффективности и аксиома трансфера.

Примеры

Предположим, что решения принимаются по правилу большинства в органе, состоящем из A, B, C, D, имеющих 3, 2, 1 и 1 голос соответственно. Порог большинства голосов — 4. Их 4! = 24 возможных порядка голосования для этих участников:

А Б компакт-диск	А Б ДК	А С БД	А.С. БД	А Д БК	А Д КБ
Б, компакт -диск	Б А ДК	БК А Д	БК Д А	БД А С	БД С А
С А БД	С А БД	КБ А Д	КБ Д А	компакт-диск А Б	компакт-диск Б А
Д А БК	Д А КБ	БД А С	БД С А	постоянный ток А Б	DC Б А

Для каждой последовательности голосования основной избиратель – тот избиратель, который первым увеличит совокупную сумму до 4 или более – выделен жирным шрифтом. Здесь А играет решающую роль в 12 из 24 последовательностей. Следовательно, А имеет показатель мощности 1/2. Остальные имеют индекс мощности 1/6. Любопытно, что у B не больше власти, чем у C и D. Если учесть, что голос A определяет результат, если только остальные не объединятся против A, становится ясно, что B, C, D играют одинаковые роли. Это отражается на показателях мощности.

Предположим, что в другом органе голосования по правилу большинства с $n+1$ члены, в которых один сильный член имеет $k$ голоса и оставшиеся $n$ члены имеют по одному голосу каждый. В этом случае сильный член имеет индекс силы ${\dfrac {k}{n+1}}$ (пока не $k>n+1$ , и в этом случае индекс мощности просто $1$ ). Обратите внимание, что это больше, чем доля голосов, которой обладает сильный член. Действительно, этот сильный член имеет лишь часть ${\dfrac {k}{n+k}}$ голосов. Рассмотрим, например, компанию, имеющую в обращении 1000 голосующих акций. Один крупный акционер владеет 400 акциями, а 600 других акционеров владеют по 1 акции каждый. Это соответствует $n=600$ и $k=400$ . В этом случае индекс власти крупного акционера составляет примерно 0,666 (или 66,6%), хотя этот акционер владеет лишь 40% акций. Остальные 600 акционеров имеют индекс власти менее 0,0006 (или 0,06%). Таким образом, крупный акционер имеет в 1000 раз больше голосов, чем любой другой акционер, но при этом владеет лишь в 400 раз большим количеством акций. ^[1]

Вышесказанное можно математически вывести следующим образом. Обратите внимание, что большинство достигается, если хотя бы $t(n,k)=\left\lfloor {\dfrac {n+k}{2}}\right\rfloor +1$ голоса отдаются за. Если $k\geq n+1$ , сильный член явно обладает всей властью, поскольку в этом случае $k\geq t(n,k)$ (т.е. голоса только сильного члена достигают порога большинства). Предположим теперь, что $k\leq n+1$ и что в случайно выбранной последовательности голосования сильный член голосует как $r$ й член. Это означает, что после первого $r-1$ участник проголосовал, $r-1$ голоса были отданы за, а после первого $r$ члены проголосовали, $r-1+k$ голоса были отданы за. Голосование сильного члена имеет решающее значение, если первый не достигает порога большинства, а второй - достигает. То есть, $r-1<t(n,k)$ , и $r-1+k\geq t(n,k)$ . Мы можем переписать это условие как $t(n,k)+1-k\leq r<t(n,k)+1$ . Обратите внимание, что наше состояние $k\leq n+1$ гарантирует, что $1\leq t(n,k)+1-k$ и $t(n,k)+1\leq n+2$ (т.е. все разрешенные значения $r$ осуществимы). Таким образом, сильный член является ключевым избирателем, если $r$ берет на себя одно из $k$ ценности $t(n,k)+1-k$ до, но не включая $t(n,k)+1$ . Поскольку каждый из $n+1$ возможные значения $r$ связан с одинаковым количеством последовательностей голосования, это означает, что сильный член является ключевым избирателем во фракции ${\dfrac {k}{n+1}}$ последовательности голосования. То есть индекс силы сильного члена равен ${\dfrac {k}{n+1}}$ .

Приложения

Индекс был применен для анализа голосования в Совете Европейского Союза . ^[4]

Индекс был применен для анализа голосования в Совете Безопасности ООН . Совет Безопасности ООН состоит из пятнадцати государств-членов, пять из которых (Соединенные Штаты Америки, Россия, Китай, Франция и Великобритания) являются постоянными членами Совета. Чтобы предложение было принято Советом, ему необходима поддержка каждого постоянного члена и поддержка четырех непостоянных членов. Это эквивалентно голосующему органу, в котором пять постоянных членов имеют по восемь голосов каждый, десять других членов имеют по одному голосу каждый, и существует квота в сорок четыре голоса, так как тогда всего будет пятьдесят голосов, поэтому вам нужны все пять постоянных членов. членов, а затем еще четыре голоса за принятие предложения.Обратите внимание, что непостоянный член играет решающую роль в перестановке тогда и только тогда, когда он находится на девятом месте для голосования и все пять постоянных членов уже проголосовали. Предположим, что у нас есть перестановка, в которой непостоянный член является ключевым. Кроме того, есть три непостоянных члена и пять постоянных членов, которые должны предшествовать этому ключевому члену в этой перестановке.Поэтому существуют $\textstyle {\binom {9}{3}}$ способов выбора этих членов и так 8! × $\textstyle {\binom {9}{3}}$ различные приказы членов перед ключевым избирателем. Тогда быбыть 6! способы выбора оставшихся избирателей после основного избирателя. Ведь их всего 15! при перестановке 15 избирателей индекс власти Шепли-Шубика непостоянного члена составляет: ${\frac {{\binom {9}{3}}(8!)(6!)}{15!}}={\frac {4}{2145}}$ .Следовательно, индекс власти постоянного члена равен ${\frac {421}{2145}}$ .

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Шепли, Л.С.; Шубик, М. (1954). «Метод оценки распределения власти в комитетской системе». Американский обзор политической науки . 48 (3): 787–792. дои : 10.2307/1951053 . hdl : 10338.dmlcz/143361 . JSTOR 1951053 . S2CID 143514359 .
^ Ху, Синвэй (2006). «Асимметричный индекс силы Шепли – Шубика». Международный журнал теории игр . 34 (2): 229–240. дои : 10.1007/s00182-006-0011-z . S2CID 42120182 .
^ Мацуи, Томоми; Мацуи, Ясуко (2000). «Обзор алгоритмов расчета индексов мощности игр с взвешенным большинством» (PDF) . Дж. Опер. Рез. Соц. Япония . 43 (1): 71–86. .
^ Варела, Диего; Прадо-Домингес, Хавьер (1 января 2012 г.). «Переговоры по Лиссабонскому договору: перераспределение, эффективность и индексы власти» . Чешский экономический обзор . 6 (2): 107–124.

Внешние ссылки

Онлайн-калькулятор индекса мощности (автор: Томоми Мацуи)
Компьютерные алгоритмы анализа силы голосов. Интернет-алгоритмы для анализа силы голосов.
Калькулятор индекса мощности Рассчитывает различные индексы для онлайн-игр с (множественным) взвешенным голосованием. Включает несколько примеров.
Вычисление индекса мощности Шепли-Шубика и индекса мощности Банцхафа с помощью Python и R (Фрэнк Хюттнер)

[Shapley1954-1] Перейти обратно: ^а ^б Шепли, Л.С.; Шубик, М. (1954). «Метод оценки распределения власти в комитетской системе». Американский обзор политической науки . 48 (3): 787–792. дои : 10.2307/1951053 . hdl : 10338.dmlcz/143361 . JSTOR 1951053 . S2CID 143514359 .

[2] Ху, Синвэй (2006). «Асимметричный индекс силы Шепли – Шубика». Международный журнал теории игр . 34 (2): 229–240. дои : 10.1007/s00182-006-0011-z . S2CID 42120182 .

[3] Мацуи, Томоми; Мацуи, Ясуко (2000). «Обзор алгоритмов расчета индексов мощности игр с взвешенным большинством» (PDF) . Дж. Опер. Рез. Соц. Япония . 43 (1): 71–86. .

[4] Варела, Диего; Прадо-Домингес, Хавьер (1 января 2012 г.). «Переговоры по Лиссабонскому договору: перераспределение, эффективность и индексы власти» . Чешский экономический обзор . 6 (2): 107–124.

[1]

[2]

[3]

[4]