Теорема Фреге

В металогике и метаматематике аксиомы теорема Фреге представляет собой метатеорему , которая утверждает, что Пеано арифметики могут быть выведены в логике второго порядка из принципа Юма . Впервые это было неофициально доказано Готтлобом Фреге в его книге « Основы арифметики » 1884 года. ^[1] и более формально доказано в его арифметики I » 1893 года. законах «Основных ^[2] Теорема была вновь открыта Криспином Райтом в начале 1980-х годов и с тех пор стала предметом значительных исследований. Это лежит в основе философии математики, известной как неологицизм (по крайней мере, разновидность шотландской школы ).

Обзор

В «Основах арифметики» (1884 г.), а затем в «Основных законах арифметики» (т. 1, 1893 г.; т. 2, 1903 г.) Фреге попытался вывести все законы арифметики из аксиом, которые он утверждал как логические (см. Логицизм ). Большинство этих аксиом были заимствованы из его Begriffsschrift ; единственным по-настоящему новым принципом был тот, который он назвал Основным законом V. ^[2] (теперь известная как схема аксиом неограниченного понимания ): ^[3] «диапазон значений» функции f ( x ) совпадает с «диапазоном значений» функции g ( x ) тогда и только тогда, когда ∀ x [ f ( x ) = g ( x )]. Однако Основной закон V не только не смог стать логическим утверждением, но и полученная в результате система оказалась непоследовательной, поскольку она была подвержена парадоксу Рассела . ^[4]

Непоследовательность в Grundgesetze Фреге затмила достижение Фреге: по словам Эдварда Залты , Grundgesetze «содержит все необходимые шаги действительного доказательства (в логике второго порядка ) фундаментальных положений арифметики на основе единого последовательного принципа». ^[4] Это достижение стало известно как теорема Фреге. ^[4]^[5]

Теорема Фреге в логике высказываний

П	→	вопрос	→	Р	→	П	→	вопрос	→	П	→	Р
	И		✓		И	✗	✓	✗	И	✗	✓	✗
	И		✓		И	✗	✓	✗	И	✗	✓	✓
	И		✗		И	✗	✓	✓	И	✗	✓	✗
	И		✓		И	✗	✓	✓	И	✗	✓	✓
	И		✓		И	✓	✗	✗	И	✓	✗	✗
	И		✓		И	✓	✗	✗	И	✓	✓	✓
	Н		✗		И	✓	✓	✓	Н	✓	✗	✗
	И		✓		И	✓	✓	✓	И	✓	✓	✓
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

В логике высказываний теорема Фреге относится к этой тавтологии :

( п → ( Q → р )) → (( п → Q ) → ( п → р ))

Теорема уже справедлива в одной из самых слабых логик, которую только можно себе представить, — конструктивном импликационном исчислении . Доказательство в рамках интерпретации Брауэра – Гейтинга – Колмогорова гласит: $f\mapsto g\mapsto p\mapsto (f(p)\circ g)(p)$ . Словами: «Пусть f обозначает причину, по которой P подразумевает, что Q влечет за собой R. И пусть g обозначает причину, по которой P влечет Q. Тогда, учитывая f , затем учитывая g , затем учитывая причину p для P , мы знаем, что оба Q выполняются по формуле g и что из Q следует, что R выполняется согласно f . Итак, R выполняется».

Таблица истинности справа дает семантическое доказательство. Для всех возможных присвоений значений false ( ✗ ) или true ( ✓ ) P , Q и R (столбцы 1, 3, 5) каждая подформула оценивается в соответствии с правилами для материального условного выражения , результат отображается под ее основным оператором. . Столбец 6 показывает, что вся формула в любом случае верна , т. е. является тавтологией. Фактически, его антецедент (столбец 2) и его консеквент (столбец 10) даже эквивалентны.

Примечания

^ Готтлоб Фреге , Основы арифметики , Бреслау: Verlag von Wilhelm Koebner, 1884, §63.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Готтлоб Фреге , Основные законы арифметики I, Йена: Verlag Hermann Pohle, 1893, §§20 и 47.
^ Ричард Петтигрю, «Базовая теория множеств» , 26 января 2012 г., стр. 2.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Залта, Эдвард (2013), «Теорема Фреге и основы арифметики» , Стэнфордская энциклопедия философии .
^ Булос, Джордж (1998). Логика, логика и еще раз логика . Под редакцией Ричарда К. Джеффри, введение Джона П. Берджесса. Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. п. 154 . ISBN 9780674537675 . ОСЛК 37509971 . Поразительное открытие Фреге, о котором он мог полностью осознавать или не знать и которое было потеряно из виду со времени открытия парадокса Рассела, заключалось в том, что арифметика может быть выведена в чисто логической системе, подобной системе его Begriffsschrift, из этого последовательного принципа и только от этого.

Ссылки

Готтлоб Фреге (1884). Основы арифметики - логико-математическое исследование понятия числа (PDF) (на немецком языке). Бреслау: Издательство Вильгельма Кебнера.
Готтлоб Фреге (1893). Основные законы арифметики (на немецком языке). Том 1. Йена: Verlag Hermann Pohle. - Издание заархивировано 21 октября 2016 г. в Wayback Machine в современных обозначениях.
Готтлоб Фреге (1903). Основные законы арифметики (на немецком языке). Том 2. Йена: Verlag Hermann Pohle. - Издание заархивировано 29 августа 2017 г. на Wayback Machine в современных обозначениях.

[:0-1] Готтлоб Фреге , Основы арифметики , Бреслау: Verlag von Wilhelm Koebner, 1884, §63.

[:1-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Готтлоб Фреге , Основные законы арифметики I, Йена: Verlag Hermann Pohle, 1893, §§20 и 47.

[3] Ричард Петтигрю, «Базовая теория множеств» , 26 января 2012 г., стр. 2.

[Zalta-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Залта, Эдвард (2013), «Теорема Фреге и основы арифметики» , Стэнфордская энциклопедия философии .

[5] Булос, Джордж (1998). Логика, логика и еще раз логика . Под редакцией Ричарда К. Джеффри, введение Джона П. Берджесса. Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. п. 154 . ISBN 9780674537675 . ОСЛК 37509971 . Поразительное открытие Фреге, о котором он мог полностью осознавать или не знать и которое было потеряно из виду со времени открытия парадокса Рассела, заключалось в том, что арифметика может быть выведена в чисто логической системе, подобной системе его Begriffsschrift, из этого последовательного принципа и только от этого.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]