Схема аксиом спецификации

«Аксиома разделения» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об аксиомах разделения в топологии, см. Аксиому разделения .

Во многих популярных версиях аксиоматической теории множеств аксиом спецификации схема также известна как схема аксиом разделения ( Aussonderung Axiom ), аксиома подмножества или схема аксиом ограниченного понимания является схемой аксиом . По сути, это говорит о том, что любой определяемый подкласс множества является множеством.

Некоторые математики называют это схемой аксиом понимания , хотя другие используют этот термин для обозначения неограниченного понимания , обсуждаемого ниже.

Поскольку ограничение понимания позволило избежать парадокса Рассела , несколько математиков, включая Цермело , Френкеля и Гёделя , считали его наиболее важной аксиомой теории множеств.

Заявление

включен один экземпляр схемы. Для каждой формулы $\varphi (x)$ на языке теории множеств с $x$ как свободная переменная. Так $S$ не возникает свободно в $\varphi (x)$. На формальном языке теории множеств схема аксиом выглядит следующим образом:

$\forall A\,\exists S\,\forall x\,{\big (}x\in S\iff (x\in A\wedge \varphi (x)){\big )}$

или словами:

Позволять $\varphi (x)$ быть формулой. Для каждого набора $A$ существует набор $S$ состоящий из всех элементов $x\in A$ такой, что $\varphi (x)$ держит.

существует одна аксиома. Обратите внимание, что для каждого такого предиката $\varphi (x)$; таким образом, это схема аксиом .

Чтобы понять эту схему аксиом, обратите внимание, что множество $S$ должно подмножеством A . быть Таким образом, схема аксиом на самом деле говорит о том, что при наличии набора $A$ и предикат $\varphi (x)$, мы можем найти подмножество $S$ группы А, члены которой являются в точности теми членами А , которые удовлетворяют $\varphi (x)$. По аксиоме экстенсиональности это множество единственно. Мы обычно обозначаем это множество, используя обозначение построителя множеств , как $S=\{x\in A|\varphi (x)\}$. Таким образом, суть аксиомы такова:

Каждый подкласс множества, определенного предикатом, сам по себе является множеством.

Предыдущая форма разделения была введена в 1930 году Торальфом Скулемом как усовершенствованная форма разделения не первого порядка. форма Цермело. Схема аксиом спецификации характерна для систем аксиоматической теории множеств, родственных обычной теории множеств ZFC , но обычно не появляется в радикально отличающихся системах альтернативной теории множеств . Например, «Новые фонды» и позитивная теория множеств используют разные ограничения аксиомы понимания наивной теории множеств . Альтернативная теория множеств Вопенки уделяет особое внимание разрешению собственных подклассов множеств, называемых полумножествами . Даже в системах, связанных с ZFC, эта схема иногда ограничивается формулами с ограниченными кванторами, как в теории множеств Крипке–Платека с urelements .

Связь со схемой аксиом замены

Схема аксиом спецификации подразумевается схемой аксиом замены вместе с аксиомой пустого множества .

Схема аксиом замены гласит, что если функция $f$ определяется формулой $\varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})$, то для любого множества $A$, существует набор $B=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}$:

${\begin{aligned}&\forall x\,\forall y\,\forall z\,\forall p_{1}\ldots \forall p_{n}[\varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})\wedge \varphi (x,z,p_{1},\ldots ,p_{n})\implies y=z]\implies \\&\forall A\,\exists B\,\forall y(y\in B\iff \exists x(x\in A\wedge \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})))\end{aligned}}$.

Чтобы вывести схему аксиом спецификации, пусть $\varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})$ быть формулой и $z$ набор и определим функцию $f$ такой, что $f(x)=x$ если $\varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})$ это правда и $f(x)=u$ если $\varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})$ неверно, где $u\in z$ такой, что $\varphi (u,p_{1},\ldots ,p_{n})$ это правда. Тогда набор $y$ гарантированной схемой аксиом замены является именно набор $y$ требуется в схеме аксиом спецификации. Если $u$ не существует, то $f(x)$ в схеме аксиом спецификации есть пустое множество, существование которого (т. е. аксиома пустого множества) тогда необходимо.

По этой причине схема аксиом спецификации исключена из некоторых аксиоматизаций теории множеств ZF (Цермело-Франкеля) . хотя некоторые авторы, несмотря на избыточность, включают и то, и другое. Тем не менее, схема аксиом спецификации примечательна тем, что она была в исходном списке аксиом Цермело 1908 года, до того, как Френкель изобрел аксиому замены в 1922 году. Кроме того, если взять теорию множеств ZFC (т. е. ZF с аксиомой выбора), удалить аксиому замены и аксиому коллекции , но сохранить схему аксиом спецификации, то получится более слабая система аксиом, называемая ZC (т. е. Аксиомы Цермело плюс аксиома выбора).

Неограниченное понимание

См. Также: Основной закон V.

Схема аксиом неограниченного понимания гласит:

$$\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))$$

то есть:

Существует множество B , членами которого являются в точности те объекты, которые удовлетворяют предикату φ .

Это множество B снова уникально и обычно обозначается как { x : φ ( x , w ₁ , ..., w _b )}.

Эта схема аксиом молчаливо использовалась на заре наивной теории множеств , до того, как была принята строгая аксиоматизация. Однако позже было обнаружено, что это приводит непосредственно к парадоксу Рассела , поскольку φ ( x ) принимается за ¬( x ∈ x ) (т. е. свойство, которое устанавливает x, не является членом самого себя). Следовательно, никакая полезная аксиоматизация теории множеств не может использовать неограниченное понимание. Переход от классической логики к интуиционистской логике не помогает, поскольку доказательство парадокса Рассела интуиционистски обосновано.

Принятие только схемы аксиом спецификации было началом аксиоматической теории множеств. Большинство других аксиом Цермело-Френкеля (но не аксиома экстенсиональности , аксиома регулярности или аксиома выбора ) затем стали необходимыми, чтобы компенсировать часть того, что было потеряно за счет изменения схемы аксиом понимания на схему аксиом. спецификации - каждая из этих аксиом утверждает, что определенный набор существует, и определяет этот набор, задавая предикат, которому должны удовлетворять его члены, т.е. это частный случай схемы аксиом понимания.

Также можно предотвратить несогласованность схемы, ограничив формулы, к которым ее можно применять, например, только стратифицированные формулы в «Новых основах » (см. Ниже) или только положительные формулы (формулы только с конъюнкцией, дизъюнкцией, количественной оценкой и атомарные формулы). в теории позитивных множеств . Однако позитивные формулы обычно не способны выразить определенные вещи, которые могут выразить большинство теорий; нет дополнения например, в теории позитивных множеств или относительного дополнения.

В теории классов NBG

В теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя проводится различие между множествами и классами . Класс C является множеством тогда и только тогда, когда он принадлежит некоторому E. классу В этой теории существует схема теоремы , которая гласит: $$\exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,$$

то есть,

Существует класс D такой, что любой класс C является членом D тогда и только тогда, когда C является множеством, удовлетворяющим P .

при условии, что кванторы в предикате P ограничены множествами.

Эта схема теорем сама по себе является ограниченной формой понимания, которая позволяет избежать парадокса Рассела из-за требования, чтобы C было множеством. Тогда спецификацию самих множеств можно записать в виде одной аксиомы. $$\forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,$$

то есть,

Для любого класса D и любого множества A существует множество B которые являются членами как A , так и D. , членами которого являются именно те классы ,

или даже проще

Пересечение является класса D и множества A множеством B. само по себе

В этой аксиоме предикат P заменяется классом D , который можно оценить количественно. Другая более простая аксиома, достигающая того же эффекта, гласит: $$\forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,$$

то есть,

Подклассом множества является множество.

В настройках более высокого порядка

В типизированном языке, где мы можем количественно оценивать предикаты, схема аксиом спецификации становится простой аксиомой. Это во многом тот же прием, который использовался в аксиомах NBG из предыдущего раздела, где предикат заменялся классом, который затем подвергался количественной оценке.

В логике второго порядка и логике более высокого порядка с семантикой более высокого порядка аксиома спецификации является логической достоверностью и не требует явного включения в теорию.

В новых основах Куайна

В подходе «Новые основы» к теории множеств, впервые предложенном У.В.О. Куайном , аксиома понимания для данного предиката принимает неограниченную форму, но предикаты, которые могут использоваться в схеме, сами по себе ограничены. Предикат ( C is not in C ) запрещен, поскольку один и тот же символ C появляется с обеих сторон символа членства (и, следовательно, в разных «относительных типах»); таким образом удается избежать парадокса Рассела. Однако, приняв P ( C ) за ( C = C ) , что разрешено, мы можем сформировать набор всех множеств. Подробнее см. стратификация .

Дальнейшее чтение

• Кроссли, JBN; Эш, CJ; Брикхилл, CJ; Стиллвелл, Джей Си; Уильямс, Нью-Хэмпшир (1972). Что такое математическая логика? . Лондон-Оксфорд-Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-888087-1 . Збл   0251.02001 .
• Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN   0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
• Джех, Томас, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN   3-540-44085-2 .
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN   0-444-86839-9 .