Бинарная массовая функция

В астрономии функция двойной массы или просто функция массы — это функция , которая ограничивает массу невидимого компонента (обычно звезды или экзопланеты ) в однолинейной спектроскопической двойной звезде или в планетной системе . Ее можно рассчитать только на основе наблюдаемых величин, а именно орбитального периода двойной системы и максимальной лучевой скорости наблюдаемой звезды. Скорость одного компонента двойной системы и период обращения предоставляют информацию о разделении и гравитационной силе между двумя компонентами и, следовательно, о массах компонентов.

Введение

Два тела, вращающиеся вокруг общего центра масс, обозначенного красным плюсом. Более крупное тело имеет большую массу и, следовательно, меньшую орбиту и меньшую орбитальную скорость, чем его спутник с меньшей массой.

Функция двойной массы следует из третьего закона Кеплера , когда известна лучевая скорость одного компонента двойной системы. Третий закон Кеплера описывает движение двух тел, вращающихся вокруг общего центра масс . Он связывает орбитальный период с орбитальным расстоянием между двумя телами и суммой их масс. Для данного орбитального разделения более высокая общая масса системы означает более высокие орбитальные скорости . С другой стороны, для данной массы системы более длительный орбитальный период означает большее расстояние и более низкие орбитальные скорости.

Поскольку орбитальный период и орбитальные скорости в двойной системе связаны с массами компонентов двойной системы, измерение этих параметров дает некоторую информацию о массах одного или обоих компонентов. Однако истинная орбитальная скорость часто неизвестна, поскольку скорости в плоскости неба определить гораздо сложнее, чем скорости вдоль луча зрения.

Лучевая скорость — это составляющая скорости орбитальной скорости на луче зрения наблюдателя. В отличие от истинной орбитальной скорости, лучевую скорость можно определить с помощью доплеровской спектроскопии спектральных линий в свете звезды. или от изменения времени прихода импульсов от радиопульсара . Двойная система называется однолинейной спектрально-двойной, если можно измерить радиальное движение только одного из двух компонентов двойной системы. В этом случае можно определить нижний предел массы другого, невидимого компонента.

Истинную массу и истинную орбитальную скорость невозможно определить по лучевой скорости, поскольку наклонение орбиты обычно неизвестно. (Наклонение — это ориентация орбиты с точки зрения наблюдателя, оно связывает истинную и радиальную скорости. ) Это вызывает вырождение между массой и наклонением. Например, если измеренная лучевая скорость мала, это может означать, что истинная орбитальная скорость мала (подразумевается, что объекты малой массы) и наклонение велико (орбита видна с ребра), или что истинная скорость высока (подразумевается, что объекты большой массы), но наклонение низкое (орбита видна лицом к лицу).

Вывод для круговой орбиты

Кривая лучевых скоростей с максимальной лучевой скоростью K = 1 м/с и орбитальным периодом 2 года.

Пиковая радиальная скорость $K$ - полуамплитуда кривой лучевой скорости, как показано на рисунке. Орбитальный период $P_{\text{orb}}$ находится по периодичности кривой лучевых скоростей. Это две наблюдаемые величины, необходимые для расчета двойной функции массы.

Наблюдаемый объект, лучевую скорость которого можно измерить, в этой статье принят за объект 1, его невидимый спутник — объект 2.

Позволять $M_{1}$ и $M_{2}$ быть звездными массами, с $M_{1}+M_{2}=M_{\mathrm {tot} }$ полная масса двойной системы, $v_{1}$ и $v_{2}$ орбитальные скорости и $a_{1}$ и $a_{2}$ расстояния предметов до центра масс. $a_{1}+a_{2}=a$ — большая полуось (орбитальное разделение) двойной системы.

Начнем с третьего закона Кеплера, $\omega _{\mathrm {orb} }=2\pi /P_{\mathrm {orb} }$ орбитальная частота и $G$ гравитационная постоянная , $$GM_{\text{tot}}=\omega _{\text{orb}}^{2}a^{3}.$$

Используя определение местоположения центра масс, $M_{1}a_{1}=M_{2}a_{2}$, мы можем написать $$a=a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)=a_{1}\left(1+{\frac {M_{1}}{M_{2}}}\right)={\frac {a_{1}}{M_{2}}}(M_{1}+M_{2})={\frac {a_{1}M_{\mathrm {tot} }}{M_{2}}}.$$

Вставив это выражение для $a$ в третий закон Кеплера мы находим $$GM_{\mathrm {tot} }=\omega _{\mathrm {orb} }^{2}{\frac {a_{1}^{3}M_{\mathrm {tot} }^{3}}{M_{2}^{3}}}.$$

который можно переписать на $${\frac {M_{2}^{3}}{M_{\mathrm {tot} }^{2}}}={\frac {\omega _{\mathrm {orb} }^{2}a_{1}^{3}}{G}}.$$

Пиковая лучевая скорость объекта 1, $K$, зависит от наклонения орбиты $i$ (наклон 0° соответствует орбите, видимой лицом, наклон 90° соответствует орбите, видимой с ребра). Для круговой орбиты ( эксцентриситет орбиты = 0) это определяется выражением $$K=v_{1}\sin i=\omega _{\text{orb}}a_{1}\sin i.$$

После замены $a_{1}$ мы получаем $${\frac {M_{2}^{3}}{M_{\text{tot}}^{2}}}={\frac {K^{3}}{G\omega _{\text{orb}}\sin ^{3}i}}.$$

Бинарная массовая функция $f$ (с единицей массы) $$f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}.$$

Для расчетной или предполагаемой массы $M_{1}$ наблюдаемого объекта 1, минимальная масса $M_{\mathrm {2,min} }$ можно определить для невидимого объекта 2, предположив $i=90^{\circ }$. Истинная масса $M_{2}$ зависит от наклонения орбиты. Наклонение обычно неизвестно, но в некоторой степени его можно определить по наблюдаемым затмениям . воздерживаться от ненаблюдения затмений, или моделироваться с использованием эллипсоидных вариаций (несферическая форма звезды в двойной системе приводит к изменениям яркости на протяжении орбиты, которые зависят от наклона системы).

Пределы

В случае $M_{1}\gg M_{2}$ (например, когда невидимый объект — экзопланета ), функция масс упрощается до $$f\approx {\frac {M_{2}^{3}\ \sin ^{3}i}{M_{1}^{2}}}.$$

Другая крайность, когда $M_{1}\ll M_{2}$ (например, когда невидимый объект представляет собой черную дыру большой массы ), функция массы принимает вид $$f\approx M_{2}\sin ^{3}i,$$и поскольку $0\leq \sin(i)\leq 1$ для $0^{\circ }\leq i\leq 90^{\circ }$, функция масс дает нижний предел массы невидимого объекта 2.

В общем, для любого $i$ или $M_{1}$, $$M_{2}>\max \left(f,f^{1/3}M_{1}^{2/3}\right).$$

Эксцентрическая орбита

На орбите с эксцентриситетом $e$, функция масс определяется выражением $$f={\frac {M_{2}^{3}\sin ^{3}i}{(M_{1}+M_{2})^{2}}}={\frac {P_{\mathrm {orb} }\ K^{3}}{2\pi G}}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}.$$

Приложения

Рентгеновские двойные системы

Если аккретор в рентгеновской двойной системе имеет минимальную массу, которая значительно превышает предел Толмана-Оппенгеймера-Волкова (максимально возможная масса нейтронной звезды ), ожидается, что это будет черная дыра. Так обстоит дело, например, с Лебедем X-1 , где была измерена лучевая скорость звезды-компаньона.

Экзопланеты

Экзопланета заставляет свою звезду- хозяина двигаться по небольшой орбите вокруг центра масс системы звезда-планета. Это «колебание» можно наблюдать, если лучевая скорость звезды достаточно высока. Это по лучевой скорости . метод обнаружения экзопланет Используя функцию масс и лучевую скорость родительской звезды, можно определить минимальную массу экзопланеты. Применение этого метода к Проксиме Центавра , ближайшей к Солнечной системе звезде, привело к открытию Проксимы Центавра b планеты земной группы с минимальной массой 1,27 МЭ _, .

Планеты-пульсары

Планеты-пульсары - это планеты, вращающиеся вокруг пульсаров , и некоторые из них были обнаружены с использованием времени пульсаров . Изменения лучевой скорости пульсара следуют из изменения интервалов между моментами прихода импульсов. Первые экзопланеты были открыты таким образом в 1992 году вокруг миллисекундного пульсара PSR 1257+12 . Другой пример — PSR J1719-1438 , миллисекундный пульсар, чей компаньон, PSR J1719-1438 b , имеет минимальную массу, приблизительно равную массе Юпитера , согласно функции масс.