Распределенная система параметров

В теории управления система с распределенными параметрами (в отличие от системы с сосредоточенными параметрами ) — это система которой пространство состояний бесконечномерно , . Поэтому такие системы также известны как бесконечномерные системы. Типичными примерами являются системы, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных или дифференциальными уравнениями с запаздыванием .

Линейные, инвариантные ко времени системы

эволюции

Дискретное время

С U , X и Y гильбертовыми пространствами и $A\,$ ∈ L ( Икс ), $B\,$ ∈ L ( U , Икс ), $C\,$ ∈ L ( Икс , Y ) и $D\,$ ∈ L ( U , Y ) следующие разностные уравнения дискретным временем определяют линейную стационарную систему с :

$x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,$

$y(k)=Cx(k)+Du(k)\,$

с $x\,$ (состояние) последовательность со значениями в X , $u\,$ (вход или управление) последовательность со значениями в U и $y\,$ (выход) последовательность со значениями в Y .

Непрерывное время

Случай с непрерывным временем аналогичен случаю с дискретным временем, но теперь вместо разностных уравнений рассматриваются дифференциальные уравнения:

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,$,

$y(t)=Cx(t)+Du(t)\,$.

Однако теперь дополнительная сложность заключается в том, что для включения в эту абстрактную структуру интересных физических примеров, таких как уравнения в частных производных и дифференциальные уравнения с запаздыванием, приходится учитывать неограниченные операторы . Обычно A предполагается, что порождает сильно непрерывную полугруппу в пространстве состояний X . Если предположить, что B , C и D являются ограниченными операторами, то уже можно включить множество интересных физических примеров: но включение многих других интересных физических примеров приводит к неограниченности B и C. также

Пример: уравнение в частных производных

Уравнение в частных производных с $t>0$ и $\xi \in [0,1]$ данный

${\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),$

$w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),$

$w(t,0)=0,$

$y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,$

вписывается в структуру абстрактного уравнения эволюции, описанную выше, следующим образом. Входное пространство U и выходное пространство Y выбраны как набор комплексных чисел. Пространство состояний X выбрано как L ² (0, 1). Оператор A определяется как

$Ax=-x',~~~D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.$

Это можно показать что A порождает сильно непрерывную полугруппу на X . Ограниченные операторы B , C и D определяются как

$Bu=u,~~~Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,~~~D=0.$

Пример: дифференциальное уравнение с задержкой

Дифференциальное уравнение с запаздыванием

${\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),$

$y(t)=w(t),$

вписывается в структуру абстрактного уравнения эволюции, описанную выше, следующим образом. Входное пространство U и выходное пространство Y выбраны как набор комплексных чисел. Пространство состояний X выбирается как произведение комплексных чисел с L ² (− τ , 0). Оператор A определяется как

$A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},~~~D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.$

Это можно показать что A порождает сильно непрерывную полугруппу на X. Ограниченные операторы B , C и D определяются как

$Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},~~~C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,~~~D=0.$

Передаточные функции

Как и в конечномерном случае, передаточная функция определяется посредством преобразования Лапласа (непрерывное время) или Z-преобразования (дискретное время). В то время как в конечномерном случае передаточная функция является собственной рациональной функцией, бесконечномерность пространства состояний приводит к иррациональным функциям (которые, однако, все еще голоморфны ).

Дискретное время

В дискретном времени передаточная функция задается через параметры пространства состояний выражением $D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}$ и он голоморфен в диске с центром в начале координат. В случае, если 1/ z принадлежит резольвентному множеству A (что имеет место на возможно меньшем диске с центром в начале координат), передаточная функция равна $D+Cz(I-zA)^{-1}B$. Интересен тот факт, что любая функция, голоморфная относительно нуля, является передаточной функцией некоторой системы с дискретным временем.

Непрерывное время

Если A порождает сильно непрерывную полугруппу и B , C и D — ограниченные операторы, то передаточная функция задается через параметры пространства состояний выражением $D+C(sI-A)^{-1}B$ для s с вещественной частью, большей, чем граница экспоненциального роста полугруппы, порожденной A . В более общих ситуациях эта формула в ее нынешнем виде может даже не иметь смысла, но соответствующее обобщение этой формулы все еще имеет силу. Чтобы получить простое выражение для передаточной функции, часто лучше использовать преобразование Лапласа в данном дифференциальном уравнении, чем использовать формулы пространства состояний, как показано ниже в приведенных выше примерах.

уравнения в

Установка начального состояния $w_{0}$ равный нулю и обозначая преобразования Лапласа по t заглавными буквами, получаем из приведенного выше уравнения в частных производных

$sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),$

$W(s,0)=0,$

$Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .$

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение с $\xi$ в качестве переменной, s в качестве параметра и начальное условие нулевое. Решение $W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s$. Подстановка этого значения в уравнение для Y и интегрирование дает $Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}$ так что передаточная функция $(e^{-s}+s-1)/s^{2}$.

дифференциального уравнения

Действуя аналогично примеру уравнения в частных производных, передаточная функция для примера уравнения задержки равна $1/(s-1-e^{-s})$.

Управляемость

В бесконечномерном случае существует несколько неэквивалентных определений управляемости , которые для конечномерного случая сводятся к одному обычному понятию управляемости. Тремя наиболее важными концепциями управляемости являются:

• Точная управляемость,
• Приблизительная управляемость,
• Нулевая управляемость.

Управляемость в дискретном времени

Важную роль играют карты $\Phi _{n}$ которые отображают набор всех последовательностей со значениями U в X и задаются формулой $\Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}$. Интерпретация заключается в том, что $\Phi _{n}u$ — это состояние, которое достигается применением входной последовательности u, когда начальное условие равно нулю. Система называется

• точно управляемо за время n, если диапазон $\Phi _{n}$ равно Х ,
• приблизительно управляемо за время n, если диапазон $\Phi _{n}$ плотно в X ,
• нулевой управляемый во времени n, если диапазон $\Phi _{n}$ включает в себя диапазон A ^н .

Управляемость в непрерывном времени

В управляемости непрерывных систем отображение $\Phi _{t}$ данный $\int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds$ играет роль, которую $\Phi _{n}$ играет в дискретном времени. Однако теперь на определение влияет пространство функций управления, на которое действует этот оператор. Обычный выбор — L. ² (0, ∞; U ), пространство (классов эквивалентности) U -значных функций, интегрируемых с квадратом на интервале (0, ∞), но другие варианты, такие как L ¹ (0, ∞; U ) возможны. Различные понятия управляемости могут быть определены, как только область $\Phi _{t}$ выбран. Система называется

• точно управляемо за время t, если диапазон $\Phi _{t}$ равно Х ,
• приближенно управляемым за время t, если диапазон $\Phi _{t}$ плотно в X ,
• нулевой управляемый во времени t, если диапазон $\Phi _{t}$ включает в себя ассортимент ${\rm {e}}^{At}$.

Наблюдаемость

Как и в конечномерном случае, наблюдаемость — это двойственное понятие управляемости. В бесконечномерном случае существует несколько различных понятий наблюдаемости, которые в конечномерном случае совпадают. Три наиболее важных из них:

• Точная наблюдаемость (также известная как непрерывная наблюдаемость),
• Приблизительная наблюдаемость,
• Наблюдаемость конечного состояния.

Наблюдаемость в дискретном времени

Важную роль играют карты $\Psi _{n}$ которые отображают X в пространство всех последовательностей со значениями Y и задаются формулой $(\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x$ если k ≤ n и ноль, если k > n . Интерпретация заключается в том, что $\Psi _{n}x$ — это усеченный вывод с начальным условием x и контрольным нулем. Система называется

• точно наблюдаемо за время n , если существует такое k _n > 0, что $\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|$ для всех x ∈ X ,
• приблизительно наблюдаемо за время n, если $\Psi _{n}$ является инъективным ,
• конечное состояние, наблюдаемое за время n, если существует такое k _n > 0, что $\|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|$ для x ∈ X. всех

Наблюдаемость в непрерывном времени

В наблюдаемости систем с непрерывным временем отображение $\Psi _{t}$ данный $(\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x$ для sε[0,t] и нуля для s>t играет роль $\Psi _{n}$ играет в дискретном времени. Однако теперь на определение влияет пространство функций, в которые отображается этот оператор. Обычный выбор — L. ² (0, ∞, Y ), пространство (классов эквивалентности) Y -значных функций, интегрируемых с квадратом на интервале (0, ∞) , но другие варианты, такие как L ¹ (0, ∞, Y ) возможны. Различные понятия наблюдаемости могут быть определены, если ко-область $\Psi _{t}$ выбран. Система называется

• точно наблюдаемо за время t, если существует k _t > 0 такое, что $\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|$ для всех x ∈ X ,
• приблизительно наблюдаемо за время t, если $\Psi _{t}$ является инъективным ,
• конечное состояние, наблюдаемое во времени t, если существует k _t > 0 такое, что $\|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|$ для x ∈ X. всех

Двойственность между управляемостью и наблюдаемостью

Как и в конечномерном случае, управляемость и наблюдаемость — понятия двойственные (по крайней мере, для области $\Phi$ и ко-домен $\Psi$ обычный л ² выбор сделан). Соответствие при двойственности различных концепций таково:

• Точная управляемость ↔ Точная наблюдаемость,
• Приблизительная управляемость ↔ Приблизительная наблюдаемость,
• Нулевая управляемость ↔ Наблюдаемость конечного состояния.

См. также

• Теория управления
• Пространство состояний (управление)

Ссылки

• Занавес, Рут ; Цварт, Ганс (1995), Введение в теорию бесконечномерных линейных систем , Springer
• Тучнак, Мариус; Вайс, Джордж (2009), Наблюдение и управление полугруппами операторов , Биркхаузер
• Стаффанс, Олоф (2005), Корректные линейные системы , Издательство Кембриджского университета
• Ло, Чжэн-Хуа; Го, Бао-Чжу; Моргул, Омер (1999), Устойчивость и стабилизация бесконечномерных систем с приложениями , Springer
• Ласецка, Ирена ; Триджиани, Роберто (2000), Теория управления для уравнений в частных производных , Cambridge University Press
• Бенсуссан, Ален; Да Прато, Джузеппе; Дельфур, Мишель; Миттер, Санджой (2007), Представление и управление бесконечномерными системами (второе изд.), Биркхаузер