Теория индекса Конли

В динамических систем теории теория индекса Конли , названная в честь Чарльза Конли , анализирует топологическую структуру инвариантных множеств диффеоморфизмов и гладких потоков . Это далеко идущее обобщение теоремы об индексе Хопфа , которое предсказывает существование неподвижных точек потока внутри плоской области с точки зрения информации о его поведении на границе. Теория Конли родственна теории Морса , которая описывает топологическую структуру замкнутого многообразия посредством невырожденного градиентного векторного поля . Он имеет огромный спектр приложений для изучения динамики, включая существование периодических орбит в гамильтоновых системах и бегущих волн решения для уравнений в частных производных , структуру глобальных аттракторов для уравнений реакции-диффузии и дифференциальных уравнений с запаздыванием , доказательство хаотического поведения в динамических системах. системы и теория бифуркаций . Теория индекса Конли легла в основу разработки гомологии Флоера .

Краткое описание

Ключевую роль в теории играют представления об изолированной окрестности. $N$ и изолированный инвариантный набор $S$. Индекс Конли $h(S)$ — гомотопический тип пространства, построенного из некоторой пары $(N_{1},N_{2})$ компактных множеств, называемых индексной парой для $S$. Чарльз Конли показал, что пары индексов существуют и что индекс $S$ не зависит от выбора индексной пары. В частном случае отрицательного градиентного потока гладкой функции индекс Конли невырожденной (морсовской) критической точки индекса $N$ — заостренный гомотопический тип k -сферы S ^к .

Глубокая теорема Конли утверждает инвариантность продолжения : индекс Конли инвариантен при определенных деформациях динамической системы. Таким образом, вычисление индекса можно свести к случаю диффеоморфизма или векторного поля, инвариантные множества которого хорошо изучены.

Если индекс нетривиален, то инвариантное множество S непусто. чтобы установить существование неподвижных точек и периодических орбит внутри N. Этот принцип можно расширить ,

Строительство

Мы строим индекс Конли, исходя из концепции индексной пары.

Учитывая изолированный инвариантный набор $S$ в потоке $\phi$, индексная пара для $S$ представляет собой пару компактов $(N_{1},N_{2})$, с $N_{2}\subset N_{1}$, удовлетворяя

• $S={\text{Inv}}(N_{1}/N_{2})$ и $N_{1}/N_{2}$ это район $S$;
• Для всех $x\in N_{2}$ и $t>0$, $\phi ([0,t],x)\subset N_{1}\Rightarrow \phi ([0,t],x)\subset N_{2}$;
• Для всех $x\in N_{1}$ и $t>0$, $\phi (t,x)\not \in N_{1}\Rightarrow \exists t'\in [0,t]$ такой, что $\phi (t',x)\in N_{2}$.

Конли показывает, что каждое изолирующее инвариантное множество допускает пару индексов. Для изолированного инвариантного множества $S$, мы выбираем некоторую пару индексов $(N_{1},N_{2})$ из $S$ и затем мы определяем Конли гомотопический индекс $S$ как

$h(S,\phi ):=[(N_{1}/N_{2},[N_{2}])]$,

гомотопический тип факторпространства $(N_{1}/N_{2},[N_{2}])$, рассматриваемый как топологическое точечное пространство.

Аналогично, (ко)гомологический индекс Конли $S$ это цепной комплекс

$CH_{\bullet }(S,\phi )=H_{\bullet }(N_{1}/N_{2},[N_{2}])$.

Отметим, что Конли также показал, что индекс Конли не зависит от выбора пары индексов, так что индекс корректно определен.

Характеристики

Некоторые из наиболее важных свойств индекса являются прямыми следствиями его определения, наследуя свойства гомологии и гомотопии. Некоторые из них включают следующее:

• Если $h(S)\neq 0$, затем $S\neq \emptyset$;

• Если $S=\cup _{i=1}^{n}M_{i}$, где каждый $M_{i}$ является изолированным инвариантным множеством, то $CH_{k}(S)=\oplus _{i=1}^{n}CH_{k}(M_{i})$;

• Индекс Конли гомотопически инвариантен.

Обратите внимание, что множество Морса является изолированным инвариантным множеством, поэтому для него определен индекс Конли.

Ссылки

• Чарльз Конли, Изолированные инвариантные множества и индекс Морса . Серия региональных конференций CBMS по математике, 38. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1978. ISBN   0-8218-1688-8
• Томас Барч (2001) [1994], «Индекс Конли» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Джон Фрэнкс, Михал Мисюревич, Топологические методы в динамике . Глава 7 в «Справочнике по динамическим системам» , том 1, часть 1, стр. 547–598, Elsevier, 2002 г. ISBN   978-0-444-82669-5
• Юрген Йост, Динамические системы. Примеры сложного поведения . Университеттекст. Шпрингер-Верлаг, Берлин, 2005 г. ISBN   978-3-540-22908-7
• Константин Мишайков, Мариан Мрозек, индекс Конли . Глава 9 в «Справочнике по динамическим системам» , том 2, стр. 393–460, Elsevier, 2002 г. ISBN   978-0-444-50168-4
• М. Р. Разван, О фундаментальной теореме Конли о динамических системах , 2002.

Внешние ссылки

• Разделение топологических особенностей (Демонстрационный проект Вольфрама)

См. также

• Фундаментальная теорема Конли о динамических системах