Теория хаоса

Чтобы узнать о других значениях, см. Теорию хаоса (значения) .

График аттрактора Лоренца для значений r = 28 , σ = 10 , b = 8 / 3

Анимация маятника с двумя стержнями при промежуточной энергии, демонстрирующая хаотическое поведение. Запуск маятника из немного других начальных условий приведет к совершенно другой траектории . Двухстержневой маятник — одна из простейших динамических систем с хаотическими решениями.

Теория хаоса — междисциплинарная область научных исследований и раздел математики . Основное внимание уделяется основным закономерностям и детерминированным законам динамических систем , которые очень чувствительны к начальным условиям . Когда-то считалось, что они имеют совершенно случайные состояния беспорядка и нарушений. Теория хаоса утверждает, что внутри кажущейся случайности хаотических сложных систем существуют основные закономерности, взаимосвязи, постоянные петли обратной связи , повторение, самоподобие , фракталы и самоорганизация . Эффект бабочки , основополагающий принцип хаоса, описывает, как небольшое изменение в одном состоянии детерминированной нелинейной системы может привести к большим различиям в более позднем состоянии (это означает, что существует чувствительная зависимость от начальных условий). Метафорой такого поведения является то, что взмах крыльев бабочки в Бразилии может вызвать торнадо в Техасе .

Небольшие различия в начальных условиях, например, из-за ошибок в измерениях или из-за ошибок округления в числовых вычислениях , могут привести к сильно различающимся результатам для таких динамических систем, что в целом делает невозможным долгосрочное прогнозирование их поведения. Это может произойти, даже если эти системы являются детерминированными , а это означает, что их будущее поведение следует за уникальной эволюцией. и полностью определяется их начальными условиями без участия случайных элементов. Другими словами, детерминированная природа этих систем не делает их предсказуемыми. Такое поведение известно как детерминированный хаос или просто хаос . Теорию резюмировал Эдвард Лоренц так:

Хаос: Когда настоящее определяет будущее, но приблизительное настоящее не определяет будущее приблизительно.

Хаотическое поведение существует во многих природных системах, включая поток жидкости, нарушения сердцебиения, погоду и климат. Это также происходит спонтанно в некоторых системах с искусственными компонентами, например, в дорожном движении . Это поведение можно изучить посредством анализа хаотической математической модели или с помощью аналитических методов, таких как рекуррентные графики и карты Пуанкаре . Теория хаоса находит применение в различных дисциплинах, включая метеорологию , антропология , социология , экология , информатика , инженерия , экономика , экология и пандемическими управление кризисами . Теория легла в основу таких областей исследования, как сложные динамические системы , теория края хаоса и самосборки процессы .

Введение

Теория хаоса касается детерминированных систем, поведение которых в принципе можно предсказать. Хаотические системы какое-то время предсказуемы, а затем «кажутся» случайными. Количество времени, в течение которого можно эффективно предсказать поведение хаотической системы, зависит от трех вещей: насколько можно допустить неопределенность в прогнозе, насколько точно можно измерить ее текущее состояние и масштаб времени, зависящий от динамики хаотической системы. система, называемая временем Ляпунова . Некоторыми примерами времени Ляпунова являются: хаотические электрические цепи длительностью около 1 миллисекунды; погодные системы, несколько дней (недоказано); внутренняя Солнечная система, от 4 до 5 миллионов лет. В хаотических системах неопределенность прогноза увеличивается экспоненциально с течением времени. Следовательно, математически удвоение времени прогноза более чем возводит в квадрат пропорциональную неопределенность прогноза. На практике это означает, что значимый прогноз не может быть сделан на интервале, превышающем время Ляпунова более чем в два или три раза. Когда значимые прогнозы сделать невозможно, система выглядит случайной.

Теория хаоса — это метод качественного и количественного анализа для исследования поведения динамических систем, которое нельзя объяснить и предсказать с помощью отдельных отношений данных, но необходимо объяснить и предсказать с помощью целых, непрерывных отношений данных.

динамика

Карта , определяемая x → 4 x (1 – x ) и y → ( x + y) mod 1 , отображает чувствительность к начальным положениям x. Здесь две серии значений x и y заметно расходятся с течением времени по сравнению с небольшой начальной разницей.

В обиходе «хаос» означает «состояние беспорядка». Однако в теории хаоса этот термин определяется более точно. Хотя не существует общепринятого математического определения хаоса, широко используемое определение, первоначально сформулированное Робертом Л. Девани , гласит, что для того, чтобы классифицировать динамическую систему как хаотическую, она должна обладать следующими свойствами:

1. он должен быть чувствителен к начальным условиям ,
2. оно должно быть топологически транзитивным ,
3. он должен иметь плотные периодические орбиты .

Было показано, что в некоторых случаях последние два свойства, приведенные выше, фактически подразумевают чувствительность к начальным условиям. В случае дискретного времени это верно для всех непрерывных отображений метрических пространств . В этих случаях, хотя это часто является наиболее практически значимым свойством, «чувствительность к начальным условиям» не обязательно указывать в определении.

Если внимание ограничено интервалами , второе свойство подразумевает два других. Альтернативное и, как правило, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из приведенного выше списка.

Чувствительность к начальным условиям

Основная статья: Эффект бабочки

Уравнения Лоренца, используемые для построения графиков для переменной y. Начальные условия для x и z остались прежними, но условия для y были изменены между 1,001 , 1,0001 и 1,00001 . Значения для $\rho$, $\sigma$ и $\beta$ составили 45,91 , 16 и 4 соответственно. Как видно из графика, даже малейшая разница в начальных значениях вызывает значительные изменения примерно через 12 секунд эволюции в трех случаях. Это пример чувствительной зависимости от начальных условий.

Чувствительность к начальным условиям означает, что каждая точка хаотической системы сколь угодно близко приближается к другим точкам, которые имеют существенно отличающиеся будущие пути или траектории. Таким образом, сколь угодно малое изменение или возмущение текущей траектории может привести к существенно другому поведению в будущем.

Чувствительность к начальным условиям широко известна как « эффект бабочки », названный так из-за названия статьи Эдварда Лоренца, представленной в 1972 году Американской ассоциации содействия развитию науки в Вашингтоне, округ Колумбия, под названием «Предсказуемость: делает ли лоскут» Крылья бабочки в Бразилии вызвали торнадо в Техасе? . Взмах крыла представляет собой небольшое изменение начального состояния системы, вызывающее цепочку событий, препятствующую предсказуемости крупномасштабных явлений. Если бы бабочка не взмахивала крыльями, траектория всей системы могла бы быть совершенно иной.

Как предполагается в книге Лоренца под названием «Сущность хаоса» , опубликованной в 1993 году, «чувствительная зависимость может служить приемлемым определением хаоса». В той же книге Лоренц определил эффект бабочки как: «Явление, при котором небольшое изменение состояния динамической системы приводит к тому, что последующие состояния сильно отличаются от состояний, которые последовали бы без изменения». Приведенное выше определение согласуется с чувствительной зависимостью решений от начальных условий (SDIC). Идеализированная модель катания была разработана, чтобы проиллюстрировать чувствительность изменяющихся во времени траекторий к исходным положениям. Горизонт предсказуемости можно определить до начала SDIC (т. е. до значительного разделения начальных близлежащих траекторий).

Следствием чувствительности к начальным условиям является то, что если мы начнем с ограниченного количества информации о системе (как это обычно бывает на практике), то по истечении определенного времени система перестанет быть предсказуемой. Это наиболее распространено в случае с погодой, которую обычно можно предсказать только на неделю вперед. Это не означает, что нельзя ничего утверждать о событиях далекого будущего — лишь то, что в системе присутствуют некоторые ограничения. Например, мы знаем, что температура поверхности Земли естественным образом не достигнет 100 °C (212 °F) и не упадет ниже -130 °C (-202 °F) на Земле (в течение нынешней геологической эры ), но мы не можем точно предсказать, в какой день будет самая жаркая температура в году.

Говоря более математическими терминами, показатель Ляпунова измеряет чувствительность к начальным условиям в форме скорости экспоненциального отклонения от возмущенных начальных условий. Точнее, при наличии двух стартовых траекторий в фазовом пространстве , которые бесконечно близки, с начальным разделением $\delta \mathbf {Z} _{0}$, две траектории в конечном итоге расходятся со скоростью, определяемой выражением

$|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,$

где $t$ это время и $\lambda$ – показатель Ляпунова. Скорость разделения зависит от ориентации исходного вектора разделения, поэтому может существовать целый спектр показателей Ляпунова. Число показателей Ляпунова равно количеству измерений фазового пространства, хотя принято называть только наибольшую из них. Например, чаще всего используется максимальный показатель Ляпунова (MLE), поскольку он определяет общую предсказуемость системы. Положительный MLE обычно воспринимается как признак того, что система хаотична.

Помимо указанного выше свойства, существуют и другие свойства, связанные с чувствительностью начальных условий. К ним относятся, например, теоретико-мерное смешивание (как обсуждается в эргодической теории) и свойства K-системы .

Непериодичность

Хаотическая система может иметь последовательность значений развивающейся переменной, которая в точности повторяет себя, обеспечивая периодическое поведение, начиная с любой точки этой последовательности. Однако такие периодические последовательности скорее отталкивают, чем притягивают, а это означает, что если развивающаяся переменная находится вне последовательности, как бы близко она ни находилась, она не войдет в последовательность и фактически отклонится от нее. для Таким образом, почти всех начальных условий переменная развивается хаотично и имеет непериодическое поведение.

Топологическое смешивание

Шесть итераций набора состояний $[x,y]$ прошли через логистическую карту. Первая итерация (синяя) — это начальное условие, которое по сути образует круг. Анимация показывает первую-шестую итерацию круговых начальных условий. Видно, что смешивание происходит по мере продвижения в итерациях. Шестая итерация показывает, что точки практически полностью разбросаны по фазовому пространству. Если бы мы продвинулись дальше в итерациях, смешивание было бы однородным и необратимым. Логистическая карта имеет уравнение $x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})$. Чтобы расширить пространство состояний логистической карты до двух измерений, второго состояния, $y$, был создан как $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}$, если $x_{k}+y_{k}<1$ и $y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1$ в противном случае.

Карта, определяемая x → 4 x (1 – x ) и y → ( x + y) по модулю 1 , также отображает топологическое перемешивание . Здесь синяя область под действием динамики трансформируется сначала в фиолетовую область, затем в розовую и красную области и, в конечном итоге, в облако вертикальных линий, разбросанных по пространству.

Топологическое смешивание (или более слабое условие топологической транзитивности) означает, что система развивается с течением времени так, что любая данная область или открытый набор ее фазового пространства в конечном итоге перекрывается с любой другой данной областью. Это математическое понятие «смешивания» соответствует стандартной интуиции, а смешивание цветных красителей или жидкостей является примером хаотической системы.

Топологическое смешивание часто не учитывается в популярных описаниях хаоса, которые приравнивают хаос только к чувствительности к начальным условиям. Однако чувствительная зависимость сама по себе от начальных условий не дает хаоса. Например, рассмотрим простую динамическую систему, созданную путем многократного удвоения начального значения. Эта система повсюду имеет чувствительную зависимость от начальных условий, поскольку любая пара близлежащих точек со временем оказывается далеко разнесенной. Однако в этом примере нет топологического перемешивания и, следовательно, нет хаоса. Действительно, он ведет себя чрезвычайно просто: все точки, кроме 0, стремятся к положительной или отрицательной бесконечности.

транзитивность

Карта $f:X\to X$ называется топологически транзитивным, если для любой пары непустых открытых множеств $U,V\subset X$, существует $k>0$ такой, что $f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset$. Топологическая транзитивность — это более слабая версия топологического перемешивания . Интуитивно понятно, что если карта топологически транзитивна, то для данной точки и области V существует точка y рядом с x , орбита которой проходит через V. x Это означает, что невозможно разложить систему на два открытых множества.

Важной смежной теоремой является теорема о транзитивности Биркгофа. Легко видеть, что существование плотной орбиты влечет за собой топологическую транзитивность. Теорема Биркгофа о транзитивности утверждает, что если X — второе счетное полное метрическое пространство , то топологическая транзитивность подразумевает существование плотного множества точек в X , имеющих плотные орбиты.

Плотность периодических орбит

Для хаотической системы наличие плотных периодических орбит означает, что к каждой точке пространства периодические орбиты приближаются сколь угодно близко. Одномерная логистическая карта , определяемая x → 4 x (1 – x ), является одной из простейших систем с плотностью периодических орбит. Например, ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ (или примерно 0,3454915 → 0,9045085 → 0,3454915) является (неустойчивой) орбитой периода 2, и подобные орбиты существуют для периодов 4, 8, 16 и т. д. (действительно, для всех периодов, указанных теоремой Шарковского ).

Теорема Шарковского лежит в основе теории Ли и Йорка. (1975) доказали, что любая непрерывная одномерная система, демонстрирующая регулярный цикл периода три, также будет отображать регулярные циклы любой другой длины, а также полностью хаотические орбиты.

Странные аттракторы

Аттрактор Лоренца ведет себя хаотично. Эти два графика демонстрируют чувствительную зависимость от начальных условий в области фазового пространства, занимаемой аттрактором.

Некоторые динамические системы, такие как одномерная логистическая карта, определяемая x → 4 x (1 – x ), хаотичны повсюду, но во многих случаях хаотическое поведение обнаруживается только в подмножестве фазового пространства. Наибольший интерес возникают случаи, когда хаотическое поведение имеет место на аттракторе , поскольку тогда большой набор начальных условий приводит к орбитам, сходящимся к этой хаотической области.

Самый простой способ визуализировать хаотический аттрактор — начать с точки в зоне притяжения аттрактора, а затем просто построить его последующую орбиту. Из-за условия топологической транзитивности это, вероятно, создаст картину всего окончательного аттрактора, и действительно, обе орбиты, показанные на рисунке справа, дают картину общей формы аттрактора Лоренца. Этот аттрактор является результатом простой трехмерной модели погодной системы Лоренца . Аттрактор Лоренца, пожалуй, одна из самых известных диаграмм хаотических систем, вероятно, потому, что он не только один из первых, но и один из самых сложных, и как таковой порождает очень интересную закономерность, которая при немного воображения, похоже на крылья бабочки.

В отличие от аттракторов с фиксированной точкой и предельных циклов , аттракторы, возникающие из хаотических систем, известные как странные аттракторы , имеют большую детализацию и сложность. Странные аттракторы встречаются как в непрерывных динамических системах (таких как система Лоренца), так и в некоторых дискретных системах (таких как отображение Энона ). Другие дискретные динамические системы имеют отталкивающую структуру, называемую множеством Жюлиа , которая образуется на границе между бассейнами притяжения неподвижных точек. Наборы Джулии можно рассматривать как странные отпугиватели. И странные аттракторы, и множества Жюлиа обычно имеют фрактальную структуру, и фрактальную размерность для них можно вычислить .

Сосуществующие аттракторы

Сосуществование хаотических и нехаотических аттракторов в рамках обобщенной модели Лоренца. Существует 128 орбит разного цвета, начиная с разных начальных условий для безразмерного времени от 0,625 до 5 и параметра нагрева r = 680. Хаотические орбиты периодически возвращаются близко к седловой точке в начале координат. Нехаотические орбиты в конечном итоге приближаются к одной из двух стабильных критических точек, как показано большими синими точками. Хаотические и нехаотические орбиты занимают разные области притяжения в фазовом пространстве.

В отличие от хаотических решений одного типа, недавние исследования с использованием моделей Лоренца подчеркнули важность рассмотрения различных типов решений. Например, в рамках одной и той же модели (например, системы двойного маятника) могут появиться сосуществующие хаотические и нехаотические явления при использовании одних и тех же конфигураций моделирования, но разных начальных условий. Результаты сосуществования аттракторов, полученные на основе классических и обобщенных моделей Лоренца, предложил пересмотренную точку зрения, согласно которой «погода в целом обладает двойственной природой хаоса и порядка с отчетливой предсказуемостью», в отличие от традиционного взгляда на то, что «погода хаотична».

Минимальная сложность хаотической системы

Бифуркационная диаграмма логистического отображения x → r x (1 – x ). Каждый вертикальный срез показывает аттрактор для определенного значения r . На диаграмме показано удвоение периода по мере увеличения r , что в конечном итоге приводит к хаосу. Темные точки посещаются чаще.

Дискретные хаотические системы, такие как логистическая карта , могут демонстрировать странные аттракторы, независимо от их размерности . Напротив, для непрерывных динамических систем теорема Пуанкаре–Бендиксона показывает, что странный аттрактор может возникнуть только в трех или более измерениях. Конечномерные линейные системы никогда не бывают хаотичными; Чтобы динамическая система демонстрировала хаотическое поведение, она должна быть либо нелинейной , либо бесконечномерной.

Теорема Пуанкаре-Бендиксона утверждает, что двумерное дифференциальное уравнение имеет очень регулярное поведение. Аттрактор Лоренца, обсуждаемый ниже, порождается системой трех дифференциальных уравнений, таких как:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}$

где $x$, $y$, и $z$ составить состояние системы , $t$ это время, и $\sigma$, $\rho$, $\beta$ являются системными параметрами . Пять членов в правой части являются линейными, а два — квадратичными; всего семь сроков. Другой известный хаотический аттрактор порождается уравнениями Ресслера , которые имеют только один нелинейный член из семи. Спротт нашел трехмерную систему всего с пятью членами, в которой был только один нелинейный член, который демонстрирует хаос при определенных значениях параметров. Чжан и Хидель показал, что, по крайней мере, для диссипативных и консервативных квадратичных систем, трехмерные квадратичные системы только с тремя или четырьмя членами в правой части не могут проявлять хаотическое поведение. Причина, проще говоря, в том, что решения таких систем асимптотичны двумерной поверхности и, следовательно, ведут себя хорошо.

Хотя теорема Пуанкаре-Бендиксона показывает, что непрерывная динамическая система на евклидовой плоскости не может быть хаотичной, двумерные непрерывные системы с неевклидовой геометрией все же могут проявлять некоторые хаотические свойства. Возможно, это удивительно, но хаос может возникать и в линейных системах, при условии, что они бесконечномерны. Теория линейного хаоса развивается в разделе математического анализа, известном как функциональный анализ .

Вышеупомянутая совокупность трех обыкновенных дифференциальных уравнений получила название трехмерной модели Лоренца. С 1963 года в многочисленных исследованиях разрабатывались многомерные модели Лоренца. для исследования влияния повышенной степени нелинейности, а также ее коллективного влияния с нагревом и диссипацией на устойчивость раствора.

Бесконечномерные карты

Простое обобщение связанных дискретных отображений основан на интеграле свертки, который обеспечивает взаимодействие между пространственно распределенными картами: $\psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}$,

где ядро $K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)$ — пропагатор, полученный как функция Грина соответствующей физической системы, $f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]$ может быть похожа на логистическую карту $\psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]$ или сложная карта . Для примеров сложных карт множество Джулии $f[\psi ]=\psi ^{2}$ или карта Икеды $\psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}$ может послужить. Когда проблемы распространения волн на расстоянии $L=ct$ с длиной волны $\lambda =2\pi /k$ считаются ядром $K$ может иметь форму функции Грина для уравнения Шрёдингера :.

$K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]$.

Джерковые системы

В физике . рывок — это третья производная положения по времени Таким образом, дифференциальные уравнения вида

$J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0$

иногда называют уравнениями рывка . Было показано, что уравнение рывка, которое эквивалентно системе трех обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, является в определенном смысле минимальной средой для решений, демонстрирующих хаотическое поведение. Это мотивирует математический интерес к джерк-системам. Системы, включающие четвертую и выше производную, называются соответственно системами гиперрывков.

Поведение системы рывка описывается уравнением рывка, а для некоторых уравнений рывка решения могут моделировать простые электронные схемы. Эти схемы известны как рывковые схемы.

Одним из наиболее интересных свойств рывковых схем является возможность хаотического поведения. Фактически, некоторые известные хаотические системы, такие как аттрактор Лоренца и отображение Ресслера , условно описываются как система трёх дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут объединяться в одно (хотя и довольно сложное) уравнение рывка. Другой пример уравнения рывка с нелинейностью по величине $x$ является:

${\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.$

Здесь A — регулируемый параметр. Это уравнение имеет хаотическое решение при A =3/5 и может быть реализовано с помощью следующей схемы рывка; требуемая нелинейность достигается за счет двух диодов:

В приведенной выше схеме все резисторы имеют одинаковую номинальную стоимость, кроме $R_{A}=R/A=5R/3$, и все конденсаторы имеют одинаковую емкость. Доминирующая частота $1/2\pi RC$. Выход операционного усилителя 0 будет соответствовать переменной x, выход 1 соответствует первой производной x, а выход 2 соответствует второй производной.

Подобные схемы требуют только одного диода. или вообще без диодов.

См. также известную схему Чуа , одну из основ хаотических генераторов истинных случайных чисел. Простота конструкции схемы сделала ее повсеместным примером хаотической системы из реального мира.

Спонтанный заказ

При правильных условиях хаос спонтанно превращается в паттерн. В модели Курамото четырех условий достаточно для синхронизации хаотической системы.Примеры включают связанные колебания маятников Христиана Гюйгенса , светлячков, нейронов , резонанс лондонского моста Миллениум и большие массивы джозефсоновских переходов .

Более того, с точки зрения теоретической физики сам динамический хаос в самом общем проявлении представляет собой стихийный порядок. Суть здесь в том, что большинство порядков в природе возникает в результате спонтанного нарушения различных симметрий. В это большое семейство явлений входят упругость, сверхпроводимость, ферромагнетизм и многие другие. Согласно суперсимметричной теории стохастической динамики , хаос, точнее, его стохастическое обобщение, также является частью этого семейства. Соответствующая нарушенная симметрия представляет собой топологическую суперсимметрию , скрытую во всех стохастических (частных) дифференциальных уравнениях , а соответствующий параметр порядка представляет собой теоретико-полевое воплощение эффекта бабочки.

История

Папоротник Барнсли, созданный с помощью игры хаоса . Природные формы (папоротники, облака, горы и т. д.) можно воссоздать с помощью системы итеративных функций (IFS).

Джеймс Клерк Максвелл впервые подчеркнул « эффект бабочки » и считается одним из первых, кто обсуждал теорию хаоса, работая в 1860-х и 1870-х годах. Одним из первых сторонников теории хаоса был Анри Пуанкаре . В 1880-х годах, изучая задачу трёх тел , он обнаружил, что могут существовать непериодические орбиты, но при этом не постоянно возрастающие и не приближающиеся к фиксированной точке. В 1898 году Жак Адамар опубликовал влиятельное исследование хаотического движения свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны, названное « бильярд Адамара ». Адамар смог показать, что все траектории неустойчивы, поскольку все траектории частиц экспоненциально расходятся друг от друга с положительным показателем Ляпунова .

Теория хаоса зародилась в области эргодической теории . Более поздние исследования, также по теме нелинейных дифференциальных уравнений , были проведены Джорджем Дэвидом Биркгофом , Andrey Nikolaevich Kolmogorov , Мэри Люси Картрайт и Джон Эденсор Литтлвуд , и Стивен Смейл . За исключением Смейла, все эти исследования были непосредственно вдохновлены физикой: проблема трех тел в случае Биркгофа, турбулентность и астрономические проблемы в случае Колмогорова и радиотехника в случае Картрайта и Литтлвуда. Хотя хаотического движения планет не наблюдалось, экспериментаторы сталкивались с турбулентностью в движении жидкости и непериодическими колебаниями в радиосхемах, не имея теории, объясняющей то, что они видели.

Несмотря на первоначальные открытия, сделанные в первой половине двадцатого века, теория хаоса стала формализованной как таковая только после середины столетия, когда некоторым ученым впервые стало очевидно, что линейная теория , преобладающая в то время теория систем, просто не могла объяснить наблюдаемые явления. поведение некоторых экспериментов подобно поведению логистической карты . То, что приписывалось неточности измерения и простому « шуму », рассматривалось теоретиками хаоса как полноценный компонент изучаемых систем. В 1959 году Борис Валерианович Чириков предложил критерий возникновения классического хаоса в гамильтоновых системах ( критерий Чирикова ). Он применил этот критерий для объяснения некоторых экспериментальных результатов по удержанию плазмы в ловушках с открытыми пробками. Это считается самой первой физической теорией хаоса, сумевшей объяснить конкретный эксперимент. А самого Бориса Чирикова считают пионером в области классического и квантового хаоса.

Главным катализатором развития теории хаоса стал электронный компьютер. Большая часть математики теории хаоса включает в себя многократное повторение простых математических формул, которые было бы непрактично делать вручную. Электронные компьютеры сделали эти повторяющиеся расчеты практичными, а рисунки и изображения позволили визуализировать эти системы. Будучи аспирантом лаборатории Тихиро Хаяси в Киотском университете, Ёсисуке Уэда экспериментировал с аналоговыми компьютерами и 27 ноября 1961 года заметил то, что он назвал «случайным переходным явлением». Однако его советник в то время не согласился с его выводами и не позволял ему сообщать о своих выводах до 1970 года.

Турбулентность в концевом вихре крыла самолета . Исследования критической точки, за которой система создает турбулентность, были важны для теории хаоса, проанализированной, например, советским физиком Львом Ландау , который разработал теорию турбулентности Ландау-Хопфа . Дэвид Рюэль и Флорис Такенс позже предсказали, вопреки Ландау, что турбулентность жидкости может развиваться благодаря странному аттрактору — основной концепции теории хаоса.

Эдвард Лоренц был пионером этой теории. Его интерес к хаосу возник случайно во время его работы по предсказанию погоды в 1961 году. Лоренц и его соратница Эллен Феттер и Маргарет Гамильтон. мы использовали простой цифровой компьютер Royal McBee LGP-30 для моделирования погоды. Они хотели снова увидеть последовательность данных и, чтобы сэкономить время, начали моделирование в середине его процесса. Они сделали это, введя распечатку данных, которые соответствовали условиям в середине исходного моделирования. К их удивлению, погода, которую начала предсказывать машина, полностью отличалась от предыдущего расчета. Они отследили это по компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но в распечатке переменные округлялись до трехзначного числа, поэтому значение типа 0,506127 печаталось как 0,506. Эта разница незначительна, и в то время было принято мнение, что она не должна иметь практического эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что небольшие изменения начальных условий приводят к большим изменениям в долгосрочных результатах. Открытие Лоренца, давшее название аттракторам Лоренца , показало, что даже детальное моделирование атмосферы, как правило, не может дать точных долгосрочных прогнозов погоды.

В 1963 году Бенуа Мандельброт , изучая теорию информации , обнаружил, что шум во многих явлениях (включая цены на акции и телефонные цепи) имеет структуру, подобную множеству Кантора — набору точек с бесконечной шероховатостью и детализацией. Мандельброт описал как «эффект Ноя» (при котором могут происходить внезапные прерывистые изменения), так и «эффект Йозефа» (при котором значение может сохраняться какое-то время, но впоследствии внезапно меняться). В 1967 году он опубликовал статью « Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность », показав, что длина береговой линии варьируется в зависимости от масштаба измерительного прибора, похожа на себя во всех масштабах и бесконечна по длине для бесконечно малый измерительный прибор. Утверждая, что клубок шпагата выглядит как точка, если смотреть издалека (0-мерный), клубок, если смотреть достаточно близко (3-мерный), или изогнутая прядь (1-мерный), он утверждал, что размеры объект относится к наблюдателю и может быть дробным. Объект, неравномерность которого постоянна в разных масштабах («самоподобие»), является фракталом (примеры включают губку Менгера , прокладку Серпинского и кривую Коха или снежинку , которая бесконечно длинна, но охватывает конечное пространство и имеет фрактальную структуру). размерность около 1,2619). В 1982 году Мандельброт опубликовал «Фрактальную геометрию природы» , ставшую классикой теории хаоса.

В декабре 1977 года Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум по хаосу, на котором присутствовали Дэвид Рюэль, Роберт Мэй , Джеймс А. Йорк (автор термина «хаос», используемого в математике), Роберт Шоу и метеоролог Эдвард Лоренц. В следующем году Пьер Кулле и Шарль Трессер опубликовали «Итерации эндоморфизмов и группы перенормировок», а статья Митчелла Фейгенбаума «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований» наконец появилась в журнале после трех лет отклонений рецензентов. Таким образом, Фейгенбаум (1975) и Кулле и Трессер (1978) открыли универсальность хаоса, что позволило применить теорию хаоса ко многим различным явлениям.

В 1979 году Альберт Дж. Либхабер во время симпозиума, организованного в Аспене Пьером Хоэнбергом , представил свое экспериментальное наблюдение бифуркационного каскада , который приводит к хаосу и турбулентности в Рэлея-Бенара конвекционных системах . Он был награжден премией Вольфа по физике в 1986 году вместе с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом за их вдохновляющие достижения.

В 1986 году Нью-Йоркская академия наук совместно с Национальным институтом психического здоровья и Управлением военно-морских исследований организовала первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Хуберман представил математическую модель дисфункции слежения за взглядом у людей, страдающих шизофренией . Это привело к обновлению физиологии в 1980-е годы за счет применения теории хаоса, например, при изучении патологических сердечных циклов .

В 1987 году Пер Бак , Чао Тан и Курт Визенфельд опубликовали статью в журнале Physical Review Letters. впервые описывающая самоорганизованную критичность (SOC), считающуюся одним из механизмов возникновения сложности в природе.

Наряду с в основном лабораторными подходами, такими как песчаная куча Бака-Танга-Визенфельда , многие другие исследования были сосредоточены на крупномасштабных природных или социальных системах, которые, как известно (или предположительно), демонстрируют масштабно-инвариантное поведение. Хотя эти подходы не всегда приветствовались (по крайней мере, первоначально) специалистами по изучаемым предметам, SOC, тем не менее, зарекомендовал себя как сильный кандидат для объяснения ряда природных явлений, включая землетрясения (которые задолго до открытия SOC были известны как источник масштабно-инвариантного поведения, такого как закон Гутенберга-Рихтера, описывающий статистическое распределение размеров землетрясений, и закон Омори. описание частоты афтершоков), солнечных вспышек , колебаний в экономических системах, таких как финансовые рынки (ссылки на SOC распространены в эконофизике ), формирование ландшафта, лесные пожары , оползни , эпидемии и биологическая эволюция (где SOC использовался, например, , как динамический механизм, лежащий в основе теории « прерывистого равновесия », выдвинутой Найлсом Элдриджем и Стивеном Джеем Гулдом ). Учитывая последствия безмасштабного распределения размеров событий, некоторые исследователи предположили, что еще одним явлением, которое следует рассматривать как пример SOC, является возникновение войн . Эти исследования SOC включали как попытки моделирования (либо разработку новых моделей, либо адаптацию существующих к специфике данной природной системы), так и обширный анализ данных для определения существования и/или характеристик естественных законов масштабирования.

Также в 1987 году Джеймс Глейк опубликовал книгу «Хаос: создание новой науки» , которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса, а также ее историю. Первоначально теория хаоса была сферой деятельности нескольких изолированных людей, но постепенно превратилась в трансдисциплинарную и институциональную дисциплину, главным образом под названием анализа нелинейных систем . Ссылаясь на Томаса Куна концепцию о сдвиге парадигмы , изложенную в «Структуре научных революций» (1962), многие «хаологи» (как некоторые называли себя) утверждали, что эта новая теория является примером такого сдвига, и этот тезис поддержал Глейк. .

Доступность более дешевых и мощных компьютеров расширяет возможности применения теории хаоса. В настоящее время теория хаоса остается активной областью исследований. включая множество различных дисциплин, таких как математика , топология , физика , социальные системы , популяционное моделирование , биология , метеорология , астрофизика , теория информации , вычислительная нейробиология , пандемическими управление кризисами , и т. д.

Лоренца в

За свою карьеру профессор Лоренц написал в общей сложности 61 исследовательскую работу, из которых 58 были написаны им единолично. Начиная с конференции 1960 года в Японии, Лоренц отправился в путь разработки разнообразных моделей, направленных на раскрытие SDIC и хаотических особенностей. Недавний обзор модели Лоренца Прогресс, охватывающий период с 1960 по 2008 год, показал его умение использовать различные физические системы для иллюстрации хаотических явлений. Эти системы включали квазигеострофические системы, консервативное уравнение завихренности, уравнения конвекции Рэлея-Бенара и уравнения мелкой воды. Более того, Лоренцу можно приписать раннее применение логистической карты для исследования хаотических решений, и это веха, которую он достиг раньше своих коллег (например, Лоренц 1964). ).

В 1972 году Лоренц ввел термин «эффект бабочки» как метафору, чтобы обсудить, может ли небольшое возмущение в конечном итоге создать торнадо с трехмерной, организованной и последовательной структурой. Хотя его метафорический вариант связан с первоначальным эффектом бабочки, основанным на чувствительной зависимости от начальных условий, он несет в себе отчетливые нюансы. В ознаменование этой вехи в честь 50-летия метафорического эффекта бабочки была официально опубликована переизданная книга, содержащая приглашенные статьи, которые углубляют наше понимание обоих эффектов бабочки.

хаоса

Чувствительная зависимость от начальных условий (т. е. эффект бабочки) была проиллюстрирована с использованием следующего фольклора:

Из-за отсутствия гвоздя туфля потерялась.

Из-за отсутствия подковы лошадь потерялась.

Из-за отсутствия лошади погиб всадник.

Из-за отсутствия всадника битва была проиграна.

Из-за отсутствия битвы королевство было потеряно.

И все из-за отсутствия гвоздя для подковы.

Основываясь на вышеизложенном, многие люди ошибочно полагают, что влияние крошечного начального возмущения монотонно увеличивается со временем и что любое крошечное возмущение может в конечном итоге оказать большое влияние на численное интегрирование. Однако в 2008 году Лоренц заявил, что, по его мнению, этот стих не описывает настоящий хаос, а лучше иллюстрирует более простой феномен нестабильности и что этот стих неявно предполагает, что последующие небольшие события не изменят результат. Судя по анализу, этот стих указывает только на расхождение, а не на ограниченность. Ограниченность важна для конечного размера шаблона бабочки. В недавнем исследовании характеристика вышеупомянутого стиха недавно была обозначена как «зависимость, чувствительная к конечному времени».

Приложения

, Текстильная оболочка конуса внешне похожая на Правило 30 , клеточный автомат с хаотичным поведением.

Хотя теория хаоса родилась в результате наблюдений за погодными условиями, она стала применима и к множеству других ситуаций. Некоторые области, извлекающие выгоду из теории хаоса сегодня, - это геология , математика , биология , информатика , экономика , инженерия , финансы , метеорология , философия , антропология , физика , политика , динамика численности населения , и робототехника . Ниже перечислены несколько категорий с примерами, но это ни в коем случае не полный список, поскольку появляются новые приложения.

Криптография

Теория хаоса уже много лет используется в криптографии . За последние несколько десятилетий хаос и нелинейная динамика использовались при разработке сотен криптографических примитивов . Эти алгоритмы включают в себя алгоритмы шифрования изображений , хэш-функции , безопасные генераторы псевдослучайных чисел , поточные шифры , водяные знаки и стеганографию . Большинство этих алгоритмов основаны на унимодальных хаотических картах, и большая часть этих алгоритмов использует параметры управления и начальное состояние хаотических карт в качестве ключей. В более широкой перспективе, без потери общности, сходство между хаотическими картами и криптографическими системами является основной мотивацией для разработки криптографических алгоритмов, основанных на хаосе. Один тип шифрования, секретный ключ или симметричный ключ , основан на диффузии и путанице , которые хорошо моделируются теорией хаоса. Другой тип вычислений, ДНК-вычисления , в сочетании с теорией хаоса предлагают способ шифрования изображений и другой информации. Доказано, что многие криптографические алгоритмы ДНК-Хаоса либо небезопасны, либо применяемая техника неэффективна.

Робототехника

Робототехника — еще одна область, которая в последнее время получила выгоду от теории хаоса. использовалась теория хаоса Вместо того, чтобы роботы совершенствовали взаимодействие с окружающей средой методом проб и ошибок, для построения прогнозирующей модели . Хаотическую динамику демонстрируют пассивно идущие двуногие роботы.

Биология

Уже более ста лет биологи отслеживают популяции разных видов с помощью популяционных моделей . Большинство моделей являются непрерывными , но недавно учёным удалось реализовать хаотичные модели в определённых популяциях. Например, исследование моделей канадской рыси показало хаотичный характер роста популяции. Хаос также можно найти в экологических системах, таких как гидрология . Хотя хаотическая модель гидрологии имеет свои недостатки, ей еще предстоит многому научиться, рассматривая данные через призму теории хаоса. Другое биологическое применение находит кардиотокография . Наблюдение за плодом представляет собой тонкий баланс между получением точной информации и максимальной неинвазивностью. Лучшие модели признаков гипоксии плода можно получить путем хаотического моделирования.

Как указывает Перри, моделированию хаотических временных рядов в экологии помогают ограничения. Всегда существует потенциальная трудность отличить настоящий хаос от хаоса, который существует только в модели. Следовательно, как ограничения в модели, так и дублирование данных временных рядов для сравнения будут полезны для приведения модели к чему-то близкому к реальности, например, Perry & Wall 1984. ген за геном Коэволюция иногда демонстрирует хаотическую динамику частот аллелей . Добавление переменных преувеличивает это: хаос чаще встречается в моделях, включающих дополнительные переменные, отражающие дополнительные аспекты реальной популяции. Роберт М. Мэй сам провел некоторые из этих фундаментальных исследований коэволюции сельскохозяйственных культур, и это, в свою очередь, помогло сформировать всю эту область. Даже в стабильной среде простое сочетание одной культуры и одного патогена может привести к квазипериодическим или хаотическим патогенов колебаниям популяции .

Экономика

Вполне возможно, что экономические модели также можно улучшить за счет применения теории хаоса, но прогнозирование состояния экономической системы и того, какие факторы влияют на нее больше всего, является чрезвычайно сложной задачей. Экономические и финансовые системы фундаментально отличаются от систем классических естественных наук, поскольку первые по своей природе носят стохастический характер, поскольку являются результатом взаимодействия людей, и, следовательно, чисто детерминистские модели вряд ли обеспечат точное представление данных. Эмпирическая литература, посвященная проверке хаоса в экономике и финансах, дает очень неоднозначные результаты, отчасти из-за путаницы между конкретными тестами на хаос и более общими тестами на нелинейные отношения.

Хаос можно обнаружить в экономике с помощью количественного анализа повторяемости . Фактически, Орландо и др. с помощью так называемого индекса корреляции количественного повторения удалось обнаружить скрытые изменения во временных рядах. Затем тот же метод был использован для обнаружения переходов от ламинарной (регулярной) к турбулентной (хаотической) фазе, а также различий между макроэкономическими переменными и выявления скрытых особенностей экономической динамики. Наконец, теория хаоса может помочь в моделировании того, как работает экономика, а также во внедрении потрясений, вызванных внешними событиями, такими как COVID-19.

Платформа расширенного моделирования искусственного интеллекта

В моделях большого языка, управляемых искусственным интеллектом, ответы могут проявлять чувствительность к таким факторам, как изменения в форматировании и вариации подсказок. Эта чувствительность подобна эффекту бабочки. Хотя классификация больших языковых моделей, основанных на искусственном интеллекте, как классических детерминированных хаотических систем, создает проблемы, подходы и методы, основанные на хаосе (такие как ансамблевое моделирование), могут использоваться для извлечения достоверной информации из этих обширных языковых моделей (см. также « Эффект бабочки в популярной культуре »). ).

Другие регионы

В химии прогнозирование растворимости газов имеет важное значение для производства полимеров , но модели, использующие оптимизацию роя частиц (PSO), имеют тенденцию сходиться к неверным точкам. Улучшенная версия PSO была создана за счет введения хаоса, который предотвращает застревание моделирования. В небесной механике , особенно при наблюдении астероидов, применение теории хаоса позволяет лучше предсказывать, когда эти объекты достигнут Земли и других планет. Четыре из пяти спутников Плутона вращаются хаотично. В квантовой физике и электротехнике изучение больших массивов джозефсоновских переходов значительно выиграло от теории хаоса. Ближе к дому угольные шахты всегда были опасными местами, где частые утечки природного газа приводят к многочисленным смертям. До недавнего времени не было надежного способа предсказать, когда они произойдут. Но эти утечки газа имеют хаотическую тенденцию, которую при правильном моделировании можно предсказать довольно точно.

Теория хаоса может применяться за пределами естественных наук, но исторически почти все подобные исследования страдали от отсутствия воспроизводимости; плохая внешняя валидность; и/или невнимание к перекрестной проверке, что приводит к низкой точности прогнозирования (если даже была предпринята попытка прогнозирования за пределами выборки). Стекло и Манделл и Зельц обнаружили, что ни одно исследование ЭЭГ до сих пор не выявило наличие странных аттракторов или других признаков хаотического поведения.

Исследователи продолжают применять теорию хаоса в психологии. Например, моделируя групповое поведение, в котором разнородные члены могут вести себя так, как будто в разной степени разделяют то, что в теории Уилфреда Биона является основным предположением, исследователи обнаружили, что групповая динамика является результатом индивидуальной динамики членов: каждый индивид воспроизводит групповую динамику в разном масштабе, и хаотичное поведение группы отражается на каждом ее члене.

Редингтон и Рейдборд (1992) попытались продемонстрировать, что человеческое сердце может проявлять хаотичные черты. Они отслеживали изменения интервалов между ударами сердца у одной психотерапевтической пациентки, когда она проходила через периоды различной эмоциональной интенсивности во время терапевтического сеанса. Результаты были, по общему признанию, неубедительными. Двусмысленность присутствовала не только в различных графиках, которые авторы создали, якобы чтобы продемонстрировать доказательства хаотической динамики (спектральный анализ, фазовые траектории и графики автокорреляции), но и когда они попытались вычислить показатель Ляпунова как более определенное подтверждение хаотического поведения, авторы обнаружили, что они не могут сделать это надежно.

В своей статье 1995 года Меткалф и Аллен утверждали, что они обнаружили в поведении животных закономерность удвоения периода, ведущую к хаосу. Авторы исследовали хорошо известную реакцию, называемую полидипсией, вызванной графиком, при которой животное, лишенное еды в течение определенного периода времени, пьет необычное количество воды, когда еда наконец-то ему представлена. Действующим здесь управляющим параметром (r) была продолжительность интервала между кормлениями после возобновления. Авторы постарались протестировать большое количество животных и включить множество повторений, и спланировали свой эксперимент так, чтобы исключить вероятность того, что изменения в паттернах реакции были вызваны разными стартовыми местами для r.

Временные ряды и графики первой задержки лучше всего подтверждают сделанные утверждения, демонстрируя довольно четкий переход от периодичности к нерегулярности по мере увеличения времени кормления. С другой стороны, различные графики фазовых траекторий и спектральный анализ недостаточно хорошо согласуются с другими графиками или с общей теорией, чтобы неумолимо привести к хаотическому диагнозу. Например, фазовые траектории не демонстрируют определенного прогресса в сторону все большей и большей сложности (и от периодичности); процесс кажется довольно запутанным. Кроме того, там, где Меткалф и Аллен видели на своих спектральных графиках периоды два и шесть, есть место для альтернативных интерпретаций. Вся эта двусмысленность требует некоторого извилистого, апостериорного объяснения, чтобы показать, что результаты соответствуют хаотичной модели.

Адаптировав модель карьерного консультирования, включив в нее хаотичную интерпретацию взаимоотношений между работниками и рынком труда, Амундсон и Брайт обнаружили, что людям, которые сталкиваются с трудностями при выборе карьеры, можно дать более эффективные рекомендации. Современные организации все чаще рассматриваются как открытые сложные адаптивные системы с фундаментальными естественными нелинейными структурами, подверженные внутренним и внешним силам, которые могут способствовать хаосу. Например, построение команды и развитие группы все чаще исследуются как по своей сути непредсказуемая система, поскольку неопределенность при первой встрече разных людей делает траекторию движения команды непостижимой.

Некоторые говорят, что метафора хаоса, используемая в вербальных теориях, основана на математических моделях и психологических аспектах человеческого поведения.дает полезную информацию для описания сложности небольших рабочих групп, выходящую за рамки самой метафоры.

The red cars and blue cars take turns to move; the red ones only move upwards, and the blue ones move rightwards. Every time, all the cars of the same colour try to move one step if there is no car in front of it. Here, the model has self-organized in a somewhat geometric pattern where there are some traffic jams and some areas where cars can move at top speed.

Прогнозирование дорожного движения может выиграть от применения теории хаоса. Более точный прогноз того, когда произойдет затор, позволит принять меры по его разгону до того, как он возникнет. Сочетание принципов теории хаоса с несколькими другими методами привело к созданию более точной модели краткосрочного прогнозирования (см. график модели трафика BML справа).

Теория хаоса применялась к данным о водном цикле окружающей среды (также к гидрологическим данным), таким как количество осадков и речной сток. Эти исследования дали противоречивые результаты, поскольку методы обнаружения хаотичной сигнатуры зачастую относительно субъективны. Ранние исследования, как правило, «преуспевали» в обнаружении хаоса, тогда как последующие исследования и метаанализы ставили эти исследования под сомнение и давали объяснения, почему эти наборы данных вряд ли будут иметь низкоразмерную хаотическую динамику.

См. также

Примеры хаотических систем

• Адвектируемые контуры
• Карта кошек Арнольда
• Теория бифуркации
• Динамика прыгающего мяча
• Схема Чуа
• Клиодинамика
• Решетка связанных карт
• Двойной маятник
• Уравнение Даффинга
• Динамический бильярд
• Экономический пузырь
• Система Гаспара-Райса
• Карта Энона
• Карта подковы
• Список хаотичных карт
• Аттрактор Ресслера
• Стандартная карта
• Качающаяся машина Этвуда
• Наклонить вихрь

Другие связанные темы

• Амплитудная смерть
• Аносовский диффеоморфизм
• Теория катастроф
• Причинность
• Хаос как нарушение топологической суперсимметрии
• Машина хаоса
• Хаотическое смешивание
• Хаотическое рассеяние
• Контроль над хаосом
• Детерминизм
• Грань хаоса
• Появление
• Набор Мандельброта
• Теорема Колмогорова–Арнольда–Мозера.
• Плохое кондиционирование
• некорректность
• Нелинейная система
• Узоры в природе
• Предсказуемость
• Квантовый хаос
• Институт Санта-Фе
• Лемма о затенении
• Синхронизация хаоса
• Непредвиденное последствие

Люди

• Ральф Абрахам
• Майкл Берри
• Леон О. Чуа
• Ивар Экеланд
• Дойн Фармер
• Мартин Гуцвиллер
• Бросль Хасслахер
• Мишель Энон
• Aleksandr Lyapunov
• Норман Паккард
• Отто Рёсслер
• Дэвид Рюэль
• Александр Николаевич Шарковский
• Роберт Шоу
• Флорис Такенс
• Джеймс А. Йорк
• Георгий Михайлович Заславский

Дальнейшее чтение

Статьи

• Шарковский А. Н. (1964). «Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой в себя». Украинская математика. Дж . 16 : 61–71.
• Ли, Тайвань ; Йорк, Дж.А. (1975). «Третий период подразумевает хаос» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 82 (10): 985–92. Бибкод : 1975AmMM...82..985L . CiteSeerX   10.1.1.329.5038 . дои : 10.2307/2318254 . JSTOR   2318254 . Архивировано из оригинала (PDF) 29 декабря 2009 г. Проверено 12 августа 2009 г.
• Алемансур, Хамед; Миандоаб, Эхсан Маани; Пишкенари, Хоссейн Неджат (март 2017 г.). «Влияние размера на хаотическое поведение нанорезонаторов». Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании . 44 : 495–505. Бибкод : 2017CNSNS..44..495A . дои : 10.1016/j.cnsns.2016.09.010 .
• Кратчфилд ; Такер; Моррисон; Джей Ди Фармер ; Паккард ; Нью-Хэмпшир; Шоу ; РС (декабрь 1986 г.). "Хаос". Научный американец . 255 (6): 38–49 (библиография стр. 136). Бибкод : 1986SciAm.255d..38T . дои : 10.1038/scientificamerican1286-46 . Онлайн-версия (Примечание: объем и цитирование страниц онлайн-текста отличаются от цитируемых здесь. Цитата здесь взята из фотокопии, которая соответствует другим цитатам, найденным в Интернете, без просмотра статей. Онлайн-контент идентичен к печатному тексту. Варианты цитирования зависят от страны публикации).
• Коляда, С.Ф. (2004). «Чувствительность Ли-Йорка и другие концепции хаоса». Украинская математика. Дж . 56 (8): 1242–57. дои : 10.1007/s11253-005-0055-4 . S2CID   207251437 .
• Дэй, Р.Х.; Павлов О.В. (2004). «Вычисление экономического хаоса». Вычислительная экономика . 23 (4): 289–301. arXiv : 2211.02441 . doi : 10.1023/B:CSEM.0000026787.81469.1f . S2CID   119972392 . ССНР   806124 .
• Стрельев, К.; Хюблер, А. (2006). «Среднесрочное предсказание хаоса» (PDF) . Физ. Преподобный Летт . 96 (4): 044101. Бибкод : 2006PhRvL..96d4101S . doi : 10.1103/PhysRevLett.96.044101 . ПМИД   16486826 . 044101. Архивировано из оригинала (PDF) 26 апреля 2013 г.
• Хюблер, А.; Фостер, Г.; Фелпс, К. (2007). «Управление хаосом: нестандартное мышление» (PDF) . Сложность . 12 (3): 10–13. Бибкод : 2007Cmplx..12c..10H . дои : 10.1002/cplx.20159 . Архивировано из оригинала (PDF) 30 октября 2012 г. Проверено 17 июля 2011 г.
• Моттер, Адилсон Э.; Кэмпбелл, Дэвид К. (2013). «Хаос в 50». Физика сегодня . 66 (5): 27. arXiv : 1306.5777 . Бибкод : 2013ФТ....66е..27М . дои : 10.1063/PT.3.1977 . S2CID   54005470 .

Учебники

• Аллигуд, Коннектикут; Зауэр, Т.; Йорк, Дж.А. (1997). Хаос: введение в динамические системы . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-94677-1 .
• Бейкер, Г.Л. (1996). Хаос, рассеяние и статистическая механика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-39511-3 .
• Бадии, Р.; Полити А. (1997). Сложность: иерархические структуры и масштабирование в физике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-66385-4 .
• Колле, Пьер; Экманн, Жан-Пьер (1980). Итерированные карты на интервале как динамические системы . Биркгаузер. ISBN  978-0-8176-4926-5 .
• Девани, Роберт Л. (2003). Введение в хаотические динамические системы (2-е изд.). Вествью Пресс. ISBN  978-0-8133-4085-2 .
• Робинсон, Кларк (1995). Динамические системы: стабильность, символическая динамика и хаос . ЦРК Пресс. ISBN  0-8493-8493-1 .
• Фельдман, Д.П. (2012). Хаос и фракталы: элементарное введение . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-956644-0 . Архивировано из оригинала 31 декабря 2019 г. Проверено 29 декабря 2016 г.
• Голлуб, JP; Бейкер, Г.Л. (1996). Хаотическая динамика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-47685-0 .
• Гукенхаймер, Джон ; Холмс, Филип (1983). Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-90819-9 .
• Гулик, Денни (1992). Встречи с Хаосом . МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-025203-5 .
• Гуцвиллер, Мартин (1990). Хаос в классической и квантовой механике . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-97173-5 .
• Гувер, Уильям Грэм (2001) [1999]. Обратимость времени, компьютерное моделирование и хаос . Всемирная научная. ISBN  978-981-02-4073-8 .
• Каутц, Ричард (2011). Хаос: наука о предсказуемом случайном движении . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-959458-0 .
• Киль, Л. Дуглас; Эллиотт, Юэл В. (1997). Теория хаоса в социальных науках . Издательство Персей. ISBN  978-0-472-08472-2 .
• Мун, Фрэнсис (1990). Хаотическая и фрактальная динамика . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-471-54571-2 .
• Орландо, Джузеппе ; Писарчик, Александр; Ступ, Руди (2021). Нелинейности в экономике . Динамическое моделирование и эконометрика в экономике и финансах. Том. 29. дои : 10.1007/978-3-030-70982-2 . ISBN  978-3-030-70981-5 . S2CID   239756912 .
• Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-01084-9 .
• Строгац, Стивен (2000). Нелинейная динамика и хаос . Издательство Персей. ISBN  978-0-7382-0453-6 .
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-850840-3 .
• Зима, Тамаш; Груис, Мартон (2006). Хаотическая динамика: Введение на основе классической механики . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-83912-9 .
• Тешль, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8328-0 .
• Томпсон Дж. М., Стюарт Х. Б. (2001). Нелинейная динамика и хаос . Джона Вили и Сыновей Лтд. ISBN  978-0-471-87645-8 .
• Туфилларо ; Рейли (1992). Экспериментальный подход к нелинейной динамике и хаосу . Американский журнал физики. Том. 61. Аддисон-Уэсли. п. 958. Бибкод : 1993AmJPh..61..958T . дои : 10.1119/1.17380 . ISBN  978-0-201-55441-0 .
• Виггинс, Стивен (2003). Введение в прикладные динамические системы и хаос . Спрингер. ISBN  978-0-387-00177-7 .
• Заславский, Джордж М. (2005). Гамильтонов хаос и дробная динамика . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-852604-9 .

Полутехнические и популярные произведения

• Кристоф Летелье , Хаос в природе , World Scientific Publishing Company, 2012, ISBN   978-981-4374-42-2 .
• Авраам, Ральф Х.; Уэда, Ёсисуке, ред. (2000). Авангард хаоса: воспоминания о первых днях теории хаоса . Всемирная научная серия по нелинейной науке. Серия A. Том. 39. Всемирный научный. Бибкод : 2000cagm.book.....A . дои : 10.1142/4510 . ISBN  978-981-238-647-2 .
• Барнсли, Майкл Ф. (2000). Фракталы повсюду . Морган Кауфманн. ISBN  978-0-12-079069-2 .
• Берд, Ричард Дж. (2003). Хаос и жизнь: сложность и порядок в эволюции и мышлении . Издательство Колумбийского университета. ISBN  978-0-231-12662-5 .
• Джон Бриггс и Дэвид Пит, Турбулентное зеркало: Иллюстрированное руководство по теории хаоса и науке о целостности , Harper Perennial 1990, 224 стр.
• Джон Бриггс и Дэвид Пит, Семь жизненных уроков хаоса: духовная мудрость науки перемен , Harper Perennial 2000, 224 стр.
• Каннингем, Лоуренс А. (1994). «От случайных блужданий к хаотическим крахам: линейная генеалогия гипотезы эффективного рынка капитала». Обзор права Джорджа Вашингтона . 62 : 546.
• Предраг Цвитанович , Универсальность в хаосе , Адам Хилгер, 1989, 648 стр.
• Леон Гласс и Майкл К. Макки, От часов к хаосу: ритмы жизни, Princeton University Press, 1988, 272 стр.
• Джеймс Глейк , Хаос: Создание новой науки , Нью-Йорк: Penguin, 1988. 368 стр.
• Джон Гриббин. Глубокая простота . Пингвин Пресс Сайенс. Книги о пингвинах.
• Л. Дуглас Киль, Юэл В. Эллиотт (редактор), Теория хаоса в социальных науках: основы и приложения , University of Michigan Press, 1997, 360 стр.
• Арвинд Кумар, Хаос, фракталы и самоорганизация; Новые взгляды на сложность природы , Национальный книжный фонд, 2003.
• Ганс Лауверье, Фракталы , Princeton University Press, 1991.
• Эдвард Лоренц , Сущность хаоса , Университет Вашингтона, 1996.
• Маршалл, Алан (2002). Единство природы – целостность и дезинтеграция в экологии и науке . дои : 10.1142/9781860949548 . ISBN  9781860949548 .
• Дэвид Пик и Майкл Фрейм, Хаос под контролем: искусство и наука о сложности , Фриман, 1994.
• Хайнц-Отто Пейтген и Дитмар Саупе (ред.), «Наука фрактальных изображений» , Springer 1988, 312 стр.
• Нурия Перпинья , Хаос, вирус, спокойствие. Теория хаоса в применении к художественным, социальным и политическим беспорядкам , Páginas de Espuma, 2021.
• Клиффорд А. Пиковер , Компьютеры, узор, хаос и красота: графика из невидимого мира , Сент-Мартинс, 1991.
• Клиффорд А. Пиковер , Хаос в стране чудес: визуальные приключения во фрактальном мире , Сент-Мартинс, 1994.
• Илья Пригожин и Изабель Стенгерс , Порядок из хаоса , Бантам, 1984.
• Пейтген, Хайнц-Отто; Рихтер, Питер Х. (1986). Красота фракталов . дои : 10.1007/978-3-642-61717-1 . ISBN  978-3-642-61719-5 .
• Дэвид Рюэль , Случайность и хаос , Princeton University Press, 1993.
• Иварс Петерсон , Часы Ньютона: Хаос в Солнечной системе , Фримен, 1993.
• Ян Роулстон; Джон Норбери (2013). Невидимый во время шторма: роль математики в понимании погоды . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0691152721 .
• Рюэль, Д. (1989). Хаотическая эволюция и странные аттракторы . дои : 10.1017/CBO9780511608773 . ISBN  9780521362726 .
• Манфред Шредер, Фракталы, хаос и степенные законы , Фриман, 1991.
• Смит, Питер (1998). Объяснение хаоса . дои : 10.1017/CBO9780511554544 . ISBN  9780511554544 .
• Ян Стюарт , Играет ли Бог в кости?: Математика хаоса , Blackwell Publishers, 1990.
• Стивен Строгац , Синхронизация: новая наука о спонтанном порядке , Гиперион, 2003.
• Ёсисуке Уэда, Дорога к хаосу , Aerial Pr, 1993.
• М. Митчелл Уолдроп, Сложность: новая наука на грани порядка и хаоса , Simon & Schuster, 1992.
• Антонио Савайя, Анализ финансовых временных рядов: подход хаоса и нейродинамики , Ламберт, 2012.

Внешние ссылки

• «Хаос» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Группа исследования нелинейной динамики с анимацией во Flash
• Группа Хаос в Университете Мэриленда
• Гиперучебник Хаоса . Вводный курс по хаосу и фракталам
• ChaosBook.org Продвинутый учебник по хаосу (без фракталов) для выпускников.
• Общество теории хаоса в психологии и науках о жизни
• Группа исследования нелинейной динамики CSDC , Флоренция , Италия
• Нелинейная динамика: как наука постигает хаос , доклад Санни Ауян, 1998.
• Нелинейная динамика . Модели бифуркации и хаоса Элмера Г. Винса
• Глейка Хаос (отрывок). Архивировано 2 февраля 2007 г. в Wayback Machine.
• Группа системного анализа, моделирования и прогнозирования Оксфордского университета
• Страница об уравнении Макки-Гласса
• Высокие тревоги - Математика хаоса (2008), документальный фильм BBC, режиссер Дэвид Мэлоун
• Теория эволюции хаоса - статья, опубликованная в журнале Newscientist, показывающая сходство эволюции и нелинейных систем, включая фрактальную природу жизни и хаоса.
• Хос Лейс, Этьен Гис и Орельен Альварес, Хаос, математическое приключение . Девять фильмов о динамических системах, эффекте бабочки и теории хаоса, рассчитанных на широкую аудиторию.
• «Теория хаоса» , дискуссия на BBC Radio 4 со Сьюзен Гринфилд, Дэвидом Папино и Нилом Джонсоном ( «В наше время» , 16 мая 2002 г.)
• Хаос: наука об эффекте бабочки (2019), объяснение, представленное Дереком Мюллером

Примечание об авторских правах

• В эту статью включен текст из бесплатного контента . Лицензия CC-BY ( лицензионное заявление/разрешение ). Текст взят из книги «Три вида эффектов бабочки в моделях Лоренца» , Бо-Вэнь Шен, Роджер А. Пилке-старший, Сюбин Цзэн, Цзялин Цуй, Сара Фаги-Наини, Вэй Паксон и Роберт Атлас, MDPI. Энциклопедия.