Введение в тропическую геометрию
«Введение в тропическую геометрию» — книга по тропической геометрии , написанная Дайаной Маклаган и Берндом Штурмфельсом . Он был опубликован Американским математическим обществом в 2015 году как 161-й том « Аспирантуры по математике» .
Темы
[ редактировать ]Тропическое полукольцо представляет собой алгебраическую структуру действительных чисел , в которой обычное место умножения занимает сложение, а обычное место сложения — минимизация. [1] Эта комбинация двух операций сложения и минимизации естественным образом возникает, например, в задаче о кратчайшем пути , где объединение путей приводит к добавлению их расстояний и где кратчайшим из двух параллельных путей является путь минимальной длины, и где некоторые Алгоритмы кратчайшего пути можно интерпретировать как умножение тропической матрицы . [2] Тропическая геометрия применяет к этой системе аппарат алгебраической геометрии , определяя полиномы с использованием сложения и минимизации вместо умножения и сложения (что дает кусочно-линейные функции ) и изучая «корни» этих многочленов, точки останова, где они не могут быть линейными. [1] Месторождение названо в честь бразильского дома одного из исследователей-первопроходцев Имре Симона . [2] [3] Хотя в предыдущих работах в этой области она изучалась с помощью методов перечислительной комбинаторики , эта книга вместо этого сосредоточена на явных вычислениях, связанных с тропикизацией классических многообразий. [2] [4] Хотя она гораздо более полна, чем две предыдущие вводные книги в этой области, написанные Итенбергом и др., [3] некоторые темы тропической геометрии (намеренно) опущены, включая перечислительную геометрию и зеркальную симметрию . [4]
В книге шесть глав. Первая глава знакомит с предметом и дает обзор некоторых важных результатов, после чего вторая глава представляет справочный материал о неархимедовых упорядоченных полях , алгебраических многообразиях , выпуклых многогранниках и базисах Грёбнера . Третья глава посвящена тропическим многообразиям, определенным несколькими различными способами, соответствиям между классическими многообразиями и их тропикализациями, «Фундаментальной теореме тропической геометрии», доказывающей эквивалентность этих определений, и теории тропических пересечений . В четвертой главе изучаются тропические связи с грассманианом , соединение соседей в пространстве метрических деревьев и матроиды . в пятой главе рассматриваются тропические аналоги некоторых важных понятий линейной алгебры , а в шестой главе тропические многообразия соединяются с торическими многообразиями и многогранной геометрией. [1] [2] [3]
Аудитория и прием
[ редактировать ]Эта книга написана как учебник, с задачами на проверку понимания читателями материала. [1] [3] Рецензент Патрик Попеску-Пампу утверждает, что, хотя это серия книг для выпускников, студенты с достаточным опытом в области алгебраической геометрии должны иметь доступ к ней. [3] Рецензент Фелипе Залдивар пишет, что это «делает предмет доступным и приятным» и является «прекрасным дополнением» к серии книг. [1] Рецензент Майкл Йосвиг заключает, что « Введение в тропическую геометрию » «станет стандартным справочником в этой области на долгие годы». [4]
Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и Залдивар, Фелипе (август 2015 г.). «Обзор введения в тропическую геометрию » . Обзоры МАА .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Драйсма, Январь (2017). «Обзор введения в тропическую геометрию » (PDF) . Новый архив по математике . 5-й сер. (на голландском языке). 18 (2): 145–146.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и Попеску-Пампу, Патрик. «Обзор введения в тропическую геометрию ». Математические обзоры . МР 3287221 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Йосвиг, Майкл (февраль 2016 г.). «Обзор введения в тропическую геометрию » (PDF) . Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 118 (3): 233–237. дои : 10.1365/s13291-016-0133-6 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Элизабет Келли, 2020. Фундаментальная теорема тропической геометрии . Введение в формулировку теоремы после рассмотрения Маклагана и Штурмфельса с упором на коммутативную алгебру .