Фермион Вильсона

В решеточной теории поля фермионы Вильсона представляют собой фермионную дискретизацию, которая позволяет избежать проблемы удвоения фермионов, предложенной Кеннетом Уилсоном в 1974 году. Они широко используются, например, в расчетах решеточной КХД .

Дополнительный так называемый термин Вильсона

$S_{W}=-a^{d+1}\sum _{x,\mu }{\frac {i}{2a^{2}}}\left({\bar {\psi }}_{x}\psi _{x+{\hat {\mu }}}+{\bar {\psi }}_{x+{\hat {\mu }}}\psi _{x}-2{\bar {\psi }}_{x}\psi _{x}\right)$

вводится в дополнение к наивно дискретизированному действию Дирака в $d$-мерное евклидово пространство-время с шагом решетки $a$, поля Дирака $\psi _{x}$ в каждой точке решетки $x$, а векторы ${\hat {\mu }}$ являющиеся единичными векторами в $\mu$ направление. Обратный пропагатор свободных фермионов в импульсном пространстве теперь имеет вид

$D(p)=m+{\frac {i}{a}}\sum _{\mu }\gamma _{\mu }\sin \left(p_{\mu }a\right)+{\frac {1}{a}}\sum _{\mu }\left(1-\cos \left(p_{\mu }a\right)\right)\,$

где последнее слагаемое снова соответствует члену Вильсона. Он изменяет массу $m$ дублеров ​ на

$m+{\frac {2l}{a}}\,$

где $l$ – число компонент импульса с $p_{\mu }=\pi /a$. В пределе континуума $a\rightarrow 0$ дублеры становятся очень тяжелыми и теряют связь с теорией.

Фермионы Вильсона не противоречат теореме Нильсена-Ниномии , поскольку они явно нарушают киральную симметрию , поскольку член Вильсона не является антикоммутирующим с $\gamma _{5}$.