Теорема Альфорса о конечности

В математической теории клейновых групп теорема конечности Альфорса описывает фактор области разрыва по конечно порожденной клейновой группе. Теорема была доказана Ларсом Альфорсом ( 1964 , 1965 ), за исключением пробела, который был заполнен Гринбергом (1967) .

Теорема Альфорса о конечности утверждает, что если Γ — конечно порожденная клейнова группа с областью разрыва Ω, тоΩ/Γ имеет конечное число компонент, каждая из которых представляет собой компактную риманову поверхность с конечным числом удаленных точек.

Неравенство

Неравенство площади Берса представляет собой количественное уточнение теоремы о конечности Альфорса, доказанной Липманом Берсом ( 1967a ). Он утверждает, что если Γ — неэлементарная конечно порожденная клейнова группа с N образующими и областью разрыва Ω, то

Площадь(Ом/С) ≤ 4π( N - 1)

с равенством только для групп Шоттки . (Площадь определяется метрикой Пуанкаре в каждом компоненте.)Более того, если Ω ₁ — инвариантная компонента, то

Площадь (Ом/Кл) ≤ 2 Площадь (Ом ₁ /Кл)

с равенством только для фуксовых групп первого рода (поэтому, в частности, может быть не более двух инвариантных компонент).

Ссылки

• Альфорс, Ларс В. (1964), «Конечно порожденные клейновы группы», American Journal of Mathematics , 86 (2): 413–429, doi : 10.2307/2373173 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373173 , MR   0167618
• Альфорс, Ларс (1965), «Поправка к «Конечно порожденным клейнианским группам» », American Journal of Mathematics , 87 (3): 759, doi : 10.2307/2373073 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373073 , MR   0180675
• Берс, Липман (1967a), «Неравенства для конечно порожденных клейновых групп», Journal d'Analyse Mathématique , 18 : 23–41, doi : 10.1007/BF02798032 , ISSN   0021-7670 , MR   0229817
• Берс, Липман (1967b), «О теореме о конечности Альфорса», American Journal of Mathematics , 89 (4): 1078–1082, doi : 10.2307/2373419 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373419 , MR   0222282
• Гринберг, Л. (1967), «Об одной теореме Альфорса и сопряженных подгруппах клейновых групп», American Journal of Mathematics , 89 (1): 56–68, doi : 10.2307/2373096 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2373096 , МР   0209471