Стохастическое доминирование

Чтобы узнать о других значениях, см. «Доминирование» .

Стохастическое доминирование — это частичный порядок между случайными величинами . Это форма стохастического упорядочения . Эта концепция возникает в теории принятия решений и анализе решений в ситуациях, когда одна игра ( распределение вероятностей возможных результатов, также известное как перспективы) может быть оценена как более выгодная, чем другая игра для широкого класса лиц, принимающих решения. Он основан на общих предпочтениях относительно наборов возможных результатов и связанных с ними вероятностей. Для определения доминирования требуется лишь ограниченное знание предпочтений. Неприятие риска является фактором только стохастического доминирования второго порядка.

Стохастическое доминирование не дает полного порядка , а скорее лишь частичный порядок : для некоторых пар игр ни одна из них стохастически не доминирует над другой, поскольку разные члены широкого класса лиц, принимающих решения, будут различаться относительно того, какая игра в целом предпочтительнее без них. считаются одинаково привлекательными.

На протяжении всей статьи $\rho ,\nu$ обозначают распределения вероятностей на $\mathbb {R}$, пока $A,B,X,Y,Z$ обозначают конкретные случайные величины на $\mathbb {R}$. Обозначения $X\sim \rho$ означает, что $X$ имеет распространение $\rho$.

Существует последовательность стохастических порядков доминирования, начиная с $\succeq _{1}$, на секунду $\succeq _{2}$, к более высоким порядкам $\succeq _{n}$. Последовательность становится все более инклюзивной. То есть, если $\rho \succeq _{n}\nu$, затем $\rho \succeq _{k}\nu$ для всех $n\leq k$. Далее, существует $\rho ,\nu$ такой, что $\rho \succeq _{n+1}\nu$ но не $\rho \succeq _{n}\nu$.

Стохастическое доминирование может быть связано с (Blackwell, 1953): но он не был разработан до 1969–1970 годов.

Государственное доминирование (Нулевой порядок)

Простейшим случаем стохастического доминирования является доминирование по штатам (также известное как доминирование по штатам ), определяемое следующим образом:

Случайная величина A является доминирующей по состоянию над случайной величиной B, если A дает по крайней мере такой же хороший результат в каждом состоянии (каждом возможном наборе результатов) и строго лучший результат хотя бы в одном состоянии.

Например, если доллар добавляется к одному или нескольким призам в лотерее, новая лотерея доминирует по штату над старой, поскольку она дает более высокие выплаты независимо от конкретных чисел, выигранных в лотерее. Аналогичным образом, если полис страхования рисков имеет меньшую премию и лучшее покрытие, чем другой полис, то с ущербом или без него результат будет лучше. Любой, кто предпочитает больше меньшему (в стандартной терминологии, любой, кто имеет монотонно возрастающие предпочтения), всегда будет предпочитать игру с доминированием в государственном отношении.

Первый порядок

$F_{B\sim N(0,1)}(x)\geq F_{A\sim N(0.75,1)}(x)\forall x$ $\implies B(black)\leq A(red)$

$F_{X\sim N(0,1)}$ и $F_{Y\sim N(0.25,1.5)}$, X и Y несопоставимы из-за стохастического доминирования первого порядка.

Государственное доминирование подразумевает стохастическое доминирование первого порядка (FSD) . который определяется как:

Случайная величина A имеет стохастическое доминирование первого порядка над случайной величиной B, если для любого результата x A дает по крайней мере такую ​​же высокую вероятность получения хотя бы x, как и B, а для некоторого x A дает более высокую вероятность получения хотя бы x. х . В форме записи $P[A\geq x]\geq P[B\geq x]$ для всех x и для некоторых x , $P[A\geq x]>P[B\geq x]$.

С точки зрения кумулятивных функций распределения двух случайных величин, A доминирует над B означает, что $F_{A}(x)\leq F_{B}(x)$ для всех x со строгим неравенством в некотором x .

В случае непересекающихся функции распределения, критерий суммы рангов Уилкоксона для проверки стохастического доминирования первого порядка.

Эквивалентные определения

Позволять $\rho ,\nu$ быть двумя распределениями вероятностей на $\mathbb {R}$, такой, что $\mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]$ оба конечны, то следующие условия эквивалентны, поэтому все они могут служить определением стохастического доминирования первого порядка:

• Для любого $u:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ это не убывает, $\mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]$

• $F_{\rho }(t)\leq F_{\nu }(t),\quad \forall t\in \mathbb {R} .$
• Существует две случайные величины $X\sim \rho ,Y\sim \nu$, такой, что $X=Y+\delta$, где $\delta \geq 0$.

Первое определение гласит, что азартная игра $\rho$ первый порядок стохастически доминирует над азартной игрой $\nu$ тогда и только тогда, когда каждый максимизатор ожидаемой полезности с возрастающей функцией полезности предпочитает азартную игру. $\rho$ чрезмерная игра $\nu$.

Третье определение гласит, что мы можем построить пару азартных игр. $X,Y$ с дистрибутивами $\rho ,\nu$, такой, что азартная игра $X$ всегда платит как минимум столько же, сколько и азартная игра $Y$. Более конкретно, сначала постройте равномерно распределенную $Z\sim \mathrm {Uniform} (0,1)$, затем используйте выборку обратного преобразования, чтобы получить $X=F_{X}^{-1}(Z),Y=F_{Y}^{-1}(Z)$, затем $X\geq Y$ для любого $Z$.

Графически второе и третье определения эквивалентны, потому что мы можем перейти от графической функции плотности A к функции B, толкая ее вверх и влево.

Расширенный пример

Рассмотрим три азартные игры, сделанные при одном броске справедливого шестигранного кубика:

${\begin{array}{rcccccc}{\text{State (die result)}}&1&2&3&4&5&6\\\hline {\text{gamble A wins }}\$&1&1&2&2&2&2\\{\text{gamble B wins }}\$&1&1&1&2&2&2\\{\text{gamble C wins }}\$&3&3&3&1&1&1\\\hline \end{array}}$

Игра А доминирует над игрой Б, поскольку игра А дает по крайней мере такой же хороший доход во всех возможных состояниях (результатах броска кубика) и дает строго лучший доход в одном из них (состояние 3). Поскольку A по состоянию доминирует над B, оно также доминирует в первом порядке над B.

Игра C не доминирует над B по состояниям, потому что B дает лучший доход в состояниях с 4 по 6, но игра C первого порядка стохастически доминирует над B, потому что Pr(B ≥ 1) = Pr(C ≥ 1) = 1, Pr(B ≥ 2) = Pr(C ≥ 2) = 3/6 и Pr(B ≥ 3) = 0, а Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(B ≥ 3).

Азартные игры A и C не могут быть упорядочены друг относительно друга на основе стохастического доминирования первого порядка, поскольку Pr(A ≥ 2) = 4/6 > Pr(C ≥ 2) = 3/6, в то время как, с другой стороны, Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Пр(А ≥ 3) = 0.

В общем, хотя когда одна игра первого порядка стохастически доминирует над второй игрой, ожидаемое значение выигрыша при первой игре будет больше, чем ожидаемое значение выигрыша при второй игре, обратное неверно: нельзя заказывать лотереи с рассмотреть стохастическое доминирование, просто сравнив средние значения их вероятностных распределений. Например, в приведенном выше примере C имеет более высокое среднее значение (2), чем A (5/3), однако C не доминирует над A первого порядка.

второго порядка

Другим часто используемым типом стохастического доминирования является стохастическое доминирование второго порядка . Грубо говоря, на две игры $\rho$ и $\nu$, азартная игра $\rho$ имеет стохастическое доминирование второго порядка над азартной игрой $\nu$ если первый более предсказуем (т.е. предполагает меньший риск) и имеет по крайней мере такое же высокое среднее значение. Все не склонные к риску максимизаторы ожидаемой полезности, (то есть те, у которых есть возрастающие и вогнутые функции полезности), предпочитают игру второго порядка со стохастической доминантой доминируемой игре. Доминирование второго порядка описывает общие предпочтения меньшего класса лиц, принимающих решения (тех, для кого больше — лучше и кто не склонен к риску, а не всех тех, для кого больше — лучше), чем доминирование первого порядка.

С точки зрения кумулятивных функций распределения $F_{\rho }$ и $F_{\nu }$, $\rho$ стохастически доминирует второго порядка над $\nu$ тогда и только тогда, когда $\int _{-\infty }^{x}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\geq 0$ для всех $x$, со строгим неравенством в некоторых $x$. Эквивалентно, $\rho$ доминирует $\nu$ во втором порядке тогда и только тогда, когда $\mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]$ для всех неубывающих и вогнутых функций полезности $u(x)$.

Стохастическое доминирование второго порядка также можно выразить следующим образом: $\rho$ второй порядок стохастически доминирует $\nu$ тогда и только тогда, когда существуют некоторые азартные игры $y$ и $z$ такой, что $x_{\nu }{\overset {d}{=}}(x_{\rho }+y+z)$, с $y$ всегда меньше или равно нулю, и при этом $\mathbb {E} (z\mid x_{\rho }+y)=0$ для всех значений $x_{\rho }+y$. Здесь введение случайной величины $y$ делает $\nu$ первого порядка, в котором стохастически доминируют $\rho$ (изготовление $\nu$ не нравится тем, у кого функция полезности возрастает), и введение случайной величины $z$ вводит сохраняющий среднее значение разброс в $\nu$ что не нравится тем, у кого вогнутая полезность. Обратите внимание, что если $\rho$ и $\nu$ имеют одинаковое среднее значение (так что случайная величина $y$ вырождается до фиксированного числа 0), тогда $\nu$ представляет собой сохраняющее среднее распространение $\rho$.

Эквивалентные определения

Позволять $\rho ,\nu$ быть двумя распределениями вероятностей на $\mathbb {R}$, такой, что $\mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]$ оба конечны, то следующие условия эквивалентны, поэтому все они могут служить определением стохастического доминирования второго порядка:

• Для любого $u:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ неубывающая и (не обязательно строго) вогнутая, $\mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]$

• $\int _{-\infty }^{t}F_{\rho }(x)dx\leq \int _{-\infty }^{t}F_{\nu }(x)dx,\quad \forall t\in \mathbb {R} .$
• Существует две случайные величины $X\sim \rho ,Y\sim \nu$, такой, что $Y=X-\delta +\epsilon$, где $\delta \geq 0$ и $\mathbb {E} [\epsilon |X-\delta ]=0$.

Они аналогичны эквивалентным определениям стохастического доминирования первого порядка, данным выше.

Достаточные условия

• первого порядка Стохастическое доминирование A над B является достаточным условием доминирования A над B второго порядка .
• Если B является сохраняющим среднее распространение A , то A второго порядка стохастически доминирует над B .

Необходимые условия

• $\mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)$ является необходимым условием для того, чтобы A стохастически доминировал во втором порядке над B .
• $\min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)$ является необходимым условием для того, чтобы A доминировал во втором порядке над B . Условие подразумевает, что левый хвост $F_{\nu }$ должен быть толще левого хвоста $F_{\rho }$.

третьего порядка

Позволять $F_{\rho }$ и $F_{\nu }$ быть кумулятивными функциями распределения двух различных инвестиций. $\rho$ и $\nu$. $\rho$ доминирует $\nu$ в третьем порядке тогда и только тогда, когда оба

• $\int _{-\infty }^{x}\left(\int _{-\infty }^{z}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\right)dz\geq 0{\text{ for all }}x,$
• $\mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)$.

Эквивалентно, $\rho$ доминирует $\nu$ в третьем порядке тогда и только тогда, когда $\mathbb {E} _{\rho }U(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }U(x)$ для всех $U\in D_{3}$.

Набор $D_{3}$ имеет два эквивалентных определения:

• набор неубывающих вогнутых функций полезности, которые имеют положительную асимметрию (т. е. имеют неотрицательную третью производную повсюду).
• набор неубывающих вогнутых функций полезности, таких что для любой случайной величины $Z$, премии за риск функция $\pi _{u}(x,Z)$ является монотонно невозрастающей функцией $x$.

Здесь, $\pi _{u}(x,Z)$ определяется как решение проблемы $$u(x+\mathbb {E} [Z]-\pi )=\mathbb {E} [u(x+Z)].$$Более подробную информацию см. на странице премии за риск .

Достаточное условие

• Доминирование второго порядка является достаточным условием.

Необходимые условия

• $\mathbb {E} _{\rho }(\log(x))\geq \mathbb {E} _{\nu }(\log(x))$ является необходимым условием. Условие подразумевает, что среднее геометрическое $\rho$ должно быть больше или равно среднему геометрическому $\nu$.
• $\min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)$ является необходимым условием. Условие подразумевает, что левый хвост $F_{\nu }$ должен быть толще левого хвоста $F_{\rho }$.

высшего порядка

Также были проанализированы более высокие порядки стохастического доминирования, а также обобщения двойственных отношений между порядками стохастического доминирования и классами функций предпочтения. Вероятно, самый мощный критерий доминирования основан на общепринятом экономическом предположении о снижении абсолютного неприятия риска . Это связано с рядом аналитических задач, и в настоящее время проводятся исследования для их решения.

Формально стохастическое доминирование n-го порядка определяется как

• Для любого распределения вероятностей $\rho$ на $[0,\infty )$, определим функции индуктивно:

$$F_{\rho }^{1}(t)=F_{\rho }(t),\quad F_{\rho }^{2}(t)=\int _{0}^{t}F_{\rho }^{1}(x)dx,\quad \cdots$$

• Для любых двух распределений вероятностей $\rho ,\nu$ на $[0,\infty )$, нестрогое и строгое стохастическое доминирование n-го порядка определяется как $$\rho \succeq _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad F_{\rho }^{n}\leq F_{\nu }^{n}{\text{ on }}[0,\infty )$$$$\rho \succ _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad \rho \succeq _{n}\nu {\text{ and }}\rho \neq \nu$$

Эти отношения носят транзитивный характер и становятся все более инклюзивными. То есть, если $\rho \succeq _{n}\nu$, затем $\rho \succeq _{k}\nu$ для всех $k\geq n$. Далее, существует $\rho ,\nu$ такой, что $\rho \succeq _{n+1}\nu$ но не $\rho \succeq _{n}\nu$.

Определим n-й момент по $\mu _{k}(\rho )=\mathbb {E} _{X\sim \rho }[X^{k}]=\int x^{k}dF_{\rho }(x)$, затем

Теорема — Если $\rho \succ _{n}\nu$ включены $[0,\infty )$ с конечными моментами $\mu _{k}(\rho ),\mu _{k}(\nu )$ для всех $k=1,2,...,n$, затем $(\mu _{1}(\rho ),...,\mu _{n}(\rho ))\succ _{n}^{*}(\mu _{1}(\nu ),\mu _{n}(\nu ))$.

Здесь частичный порядок $\succ _{n}^{*}$ определяется на $\mathbb {R} ^{n}$ к $v\succ _{n}^{*}w$ если только $v\neq w$, и, позволяя $k$ быть наименьшим таким, что $v_{k}\neq w_{k}$, у нас есть $(-1)^{k-1}v_{k}>(-1)^{k-1}w_{k}$

Ограничения

Стохастические отношения доминирования могут использоваться в качестве ограничений в задачах математической оптимизации , в частности стохастического программирования . В задаче максимизации вещественного функционала $f(X)$ над случайными величинами $X$ в наборе $X_{0}$ мы можем дополнительно потребовать, чтобы $X$ стохастически доминирует над фиксированным случайным эталоном $B$. В этих задачах функции полезности играют роль множителей Лагранжа, связанных с стохастические ограничения доминирования. При соответствующих условиях решение задачи является также (возможно, локальным) решением задачи максимизации $f(X)+\mathbb {E} [u(X)-u(B)]$ над $X$ в $X_{0}$, где $u(x)$ – это определенная функция полезности. Еслииспользуется стохастическое ограничение доминирования первого порядка, функция полезности $u(x)$ убывает не ; если используется ограничение стохастического доминирования второго порядка, $u(x)$ неубывающая ​ и вогнутая . Система линейных уравнений может проверить, эффективно ли данное решение для любой такой функции полезности. С ограничениями стохастического доминирования третьего порядка можно справиться с помощью выпуклого программирования с квадратичными ограничениями (QCP).

См. также

• Современная теория портфеля
• Маргинальное условное стохастическое доминирование
• Отзывчивое расширение набора - эквивалент стохастического доминирования в контексте отношений предпочтения.
• Квантовый катализатор
• Порядковая эффективность Парето
• Лексикографическое доминирование