Теорема Мортона

Не путать с теоремой Нортона .

Теорема Мортона — это принцип покера , сформулированный Энди Мортоном в Usenet по покеру группе новостей . В нем говорится, что в многосторонних банках игрока ожидание может быть максимизировано, если оппонент примет правильное решение.

Наиболее распространенное применение теоремы Мортона происходит, когда у одного игрока лучшая рука, но при дро есть два или более оппонентов . В этом случае игрок с лучшей рукой может заработать больше денег в долгосрочной перспективе, когда оппонент сбросит карты в ответ на ставку, даже если этот оппонент сбрасывает карты правильно и совершит личную ошибку, уравняв ставку. Ситуацию такого типа иногда называют неявным сговором .

Теорема Мортона контрастирует с фундаментальной теоремой покера , которая гласит, что игрок хочет, чтобы его оппоненты принимали решения, которые минимизируют его собственные ожидания. Эти две теоремы различаются наличием более чем одного противника: хотя фундаментальная теорема всегда применяется в хедз-апе (один противник), она не всегда применима в многосторонних банках.

Область применения теоремы Мортона в ситуациях с несколькими путями является предметом споров. Мортон выразил вера в то, что его теорема в целом применима в многосторонних банках, так что фундаментальная теорема применяется редко, за исключением ситуаций хедз-ап.

Пример

Следующий пример принадлежит Мортону: кто первый выложил эту версию в группе новостей Usenet Rec.gambling.poker.

Предположим, в лимитном холдеме у игрока по имени Арнольд A♦ K♣ , а на флопе K♠ 9♥3♥ , что дает ему топ-пару с лучшим кикером . Когда ставки на флопе завершены, у Арнольда остаются два противника: Бренда и Чарльз. Арнольд уверен, что у Бренды натсовый флеш-дро (например, A♥J♥ , что дает ей 9 аутов ), и он считает, что у Чарльза вторая пара со случайным кикером (например, Q♣9♣ , 4 аута, а не Q). ♥ ). Остальная часть колоды приводит к победе Арнольда. Карта терна представляет собой кажущуюся пустую карту (например, 6♦ ), а размер банка в этот момент равен P , выраженному в больших ставках.

Когда Арнольд делает ставку на терне, Бренда, имея флеш-дро, обязательно уравняет и почти наверняка получит правильные шансы банка для этого . Как только Бренда уравняет, Чарльз должен решить, уравнять или сбросить карты. Чтобы выяснить, какое действие ему следует выбрать, мы вычисляем его ожидание в каждом случае. Это зависит от количества карт среди оставшихся 42, которые дадут ему лучшую руку, и текущего размера банка. (Здесь, как и в рассуждениях, связанных с фундаментальной теоремой, мы предполагаем, что каждый игрок обладает полной информацией о картах своих оппонентов.)

$\operatorname {E} \left[{\mbox{ Charles }}|{\mbox{ folding }}\right]=0$

$\operatorname {E} \left[{\mbox{ Charles }}|{\mbox{ calling }}\right]={\frac {4}{42}}\cdot (P+2)-{\frac {38}{42}}\cdot 1$

Чарльз ничего не выиграет и не проиграет, сбросив карты. При колле он выигрывает банк в 4/42 случаях и проигрывает одну большую ставку в оставшуюся часть времени. Приравнивая эти два ожидания и находя решение для P, мы можем определить размер банка, при котором он безразличен к коллу или фолду:

$\operatorname {E} \left[{\mbox{ Charles }}|{\mbox{ folding }}\right]=\operatorname {E} \left[{\mbox{ Charles }}|{\mbox{ calling }}\right]$

$\Rightarrow P=7.5{\mbox{ big bets }}$

Когда банк станет больше этого размера, Чарльзу следует продолжить; в противном случае в его интересах сбросить карты.

Чтобы выяснить, какое действие со стороны Чарльза предпочтет Арнольд, мы вычисляем ожидание Арнольда таким же образом:

$\operatorname {E} \left[{\mbox{ Arnold }}|{\mbox{ Charles folds }}\right]={\frac {42-9}{42}}\cdot (P+2)={\frac {33}{42}}\cdot (P+2)$

$\operatorname {E} \left[{\mbox{ Arnold }}|{\mbox{ Charles calls }}\right]={\frac {42-9-4}{42}}\cdot (P+3)={\frac {29}{42}}\cdot (P+3)$

Ожидание Арнольда в каждом случае зависит от размера банка (другими словами, шансы банка, которые Чарльз получает при рассмотрении своего колла). Приравняв эти два значения, мы вычислим размер банка P, при котором Арнольду безразлично, уравняет ли Чарльз или сбросит карты:

$\operatorname {E} \left[{\mbox{ Arnold }}|{\mbox{ Charles calls }}\right]=\operatorname {E} \left[{\mbox{ Arnold }}|{\mbox{ Charles folds }}\right]$

$\Rightarrow P=5.25{\mbox{ big bets }}$

Когда банк меньше этого значения, Арнольд получает прибыль, когда Чарльз преследует его, но когда банк больше этого значения, ожидание Арнольда выше, когда Чарльз сбрасывает карты, а не преследует их.

Следовательно, существует диапазон размеров банка, в котором оба:

(а) для Чарльза правильно сбросить карты, и (б) Арнольд зарабатывает больше денег, когда Чарльз (правильно) сбрасывает карты, чем когда он (неправильно) преследует.

Это можно увидеть графически ниже.

                              |
                C SHOULD FOLD | C SHOULD CALL
                              |
                              v
                     |
     WANTS C TO CALL | WANTS C TO FOLD
                     |
                     v
+---+---+---+---+---+---+---+---+---> pot size P in big bets
0   1   2   3   4   5   6   7   8
                     XXXXXXXXXX
                         ^
                "PARADOXICAL REGION"

Диапазон размеров банка, отмеченный крестиками, - это тот диапазон, в котором Арнольд хочет, чтобы Чарльз (C) сбросил карты правильно, потому что он теряет ожидание, когда Чарльз коллирует неправильно.

Анализ

По сути, в приведенном выше примере, когда Чарльз делает колл в «парадоксальной области», он платит слишком высокую цену за свое слабое дро, но Арнольд больше не является единственным получателем этой высокой цены — теперь Бренда забирает деньги Чарльза. те времена, когда Бренда собирает флеш-дро. По сравнению со случаем, когда Арнольд играет один на один с Чарльзом, Арнольд по-прежнему рискует потерять весь банк, но он больше не получает 100% компенсации от лузовых коллов Чарльза.

Именно существование этой средней области размеров банка, когда игрок хочет, чтобы хотя бы некоторые из его оппонентов сбросили карты правильно, объясняет стандартную покерную стратегию, заключающуюся в максимальном уменьшении поля всякий раз, когда игрок думает, что у него лучшая рука. Даже оппоненты с неправильными дро стоят игроку денег, когда они уравнивают свои ставки, потому что часть этих коллов попадает в стеки других оппонентов, которые делают дро против них.

Поскольку Арнольд теряет ожидание от звонка Чарльза, из этого следует, что совокупность всех остальных оппонентов (т. е. Бренды и Чарльза) должна выиграть от звонка Чарльза. Другими словами, если бы Бренда и Чарльз встретились на парковке после игры и разделили прибыль, они бы вступили в сговор против Арнольда. Иногда это называют неявным сговором . Его следует противопоставить тому, что иногда называют школьным обучением . Обучение происходит, когда многие оппоненты правильно коллируют против игрока с лучшей рукой, тогда как неявный сговор возникает, когда оппонент неправильно коллирует против игрока с лучшей рукой.

Один из выводов теоремы Мортона заключается в том, что в лузовой игре в холдем ценность одномастных рук возрастает, потому что это именно тот тип рук, который выиграет от неявного сговора.

См. также

• Покерная стратегия