Имманант

В математике имманант матрицы как был определен Дадли Э. Литтлвудом и Арчибальдом Ридом Ричардсоном обобщение понятий детерминанта и постоянного .

Позволять $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )$ быть частью целого числа $n$ и пусть $\chi _{\lambda }$ — соответствующий неприводимый теоретико-представленный характер симметрической группы $S_{n}$ . Имманант $n\times n$ матрица $A=(a_{ij})$ связанный с персонажем $\chi _{\lambda }$ определяется как выражение

\operatorname {Imm} _{\lambda }(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i\sigma (i)}.

Примеры

Определитель является частным случаем иммананта, когда $\chi _{\lambda }$ это альтернативный персонаж $\operatorname {sgn}$ , из , _Sn определяемый четностью перестановки .

Перманент – это тот случай, когда $\chi _{\lambda }$ — тривиальный символ , тождественно равный 1.

Например, для $3\times 3$ матриц, существуют три неприводимых представления $S_{3}$ , как показано в таблице символов:

$S_{3}$	$e$	$(1\ 2)$	$(1\ 2\ 3)$
$\chi _{1}$	1	1	1
$\chi _{2}$	1	−1	1
$\chi _{3}$	2	0	−1

Как указано выше, $\chi _{1}$ производит постоянные и $\chi _{2}$ дает определитель, но $\chi _{3}$ производит операцию, которая отображается следующим образом:

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}

Характеристики

Имманант имеет несколько общих свойств с детерминантом и постоянным. В частности, имманант полилинейен по строкам и столбцам матрицы; а имманант инвариантен относительно одновременных перестановок строк или столбцов одним и тем же элементом симметрической группы .

Литтлвуд и Ричардсон изучали связь иммананта с функциями Шура в теории представлений симметрической группы .

Необходимые и достаточные условия, чтобы иммананта матрицы Грама была $0$ задаются теоремой Гамаса .

Ссылки

Д.Э. Литтлвуд ; А. Р. Ричардсон (1934). «Групповые характеры и алгебры». Философские труды Королевского общества А. 233 (721–730): 99–124. Бибкод : 1934RSPTA.233...99L . дои : 10.1098/rsta.1934.0015 .
Д. Э. Литтлвуд (1950). Теория групповых характеров и матричные представления групп (2-е изд.). Оксфордский университет. Пресса (перепечатано AMS, 2006 г.). п. 81.