Случайная полезная модель

В экономике и психологии случайная полезная модель ^[1]^[2] также называемая стохастической полезной моделью , ^[3] представляет собой математическое описание предпочтений человека, выбор которого не является детерминированным, а зависит от случайной переменной состояния.

Предыстория [ править ]

Основное предположение классической экономической теории состоит в том, что выбор рационального человека определяется отношением предпочтений , которое обычно можно описать функцией полезности . Столкнувшись с несколькими альтернативами, человек выберет ту, которая имеет наибольшую полезность. Функция полезности не видна; однако, наблюдая за выбором, сделанным человеком, мы можем «перепроектировать» его функцию полезности. Это цель теории выявленных предпочтений .

Однако на практике люди не рациональны. Обширные эмпирические данные показывают, что, столкнувшись с одним и тем же набором альтернатив, люди могут сделать разный выбор. ^[4]^[5]^[6]^[7]^[8] Стороннему наблюдателю их выбор может показаться случайным.

Один из способов моделирования такого поведения называется стохастической рациональностью . Предполагается, что у каждого агента есть ненаблюдаемое состояние , которое можно считать случайной величиной. В этом состоянии агент ведет себя рационально. Другими словами: каждый агент имеет не одно отношение предпочтения, а распределение по отношениям предпочтения (или функциям полезности).

Проблема представления [ править ]

Блок и Маршак ^[9] представил следующую проблему. Предположим, нам на входе дан набор вероятностей выбора P _a,B , описывающий вероятность того, что агент выберет альтернативу a из множества B . Мы хотим рационализировать поведение агента с помощью распределения вероятностей по отношениям предпочтений. То есть: мы хотим найти распределение такое, что для всех пар a,B, заданных во входных данных, Pa _,B = Prob[a слабо предпочтительнее всех альтернатив в B]. Какие условия на множестве вероятностей P _a,B гарантируют существование такого распределения?

Фальмань ^[10] решил эту проблему для случая, когда набор альтернатив конечен: он доказал, что распределение вероятностей существует тогда и только тогда, когда набор полиномов, полученных из вероятностей выбора, обозначенных полиномами Блока-Маршака, неотрицательен. Его решение конструктивно и предоставляет алгоритм вычисления распределения.

Барбера и Паттанаик ^[11] распространите этот результат на условия, в которых агент может выбирать наборы альтернатив, а не только одиночные варианты.

Уникальность [ править ]

Блок и Маршак ^[9] доказал, что при наличии не более 3 альтернатив случайная полезная модель уникальна («идентифицирована»); однако, когда существует 4 или более альтернатив, модель может быть неуникальной. ^[11] Например, ^[12] мы можем вычислить вероятность того, что агент предпочитает w вместо x (w>x), и вероятность того, что y>z, но мы не можем знать вероятность того, что и w>x, и y>z. Существуют даже распределения с непересекающимися носителями, которые вызывают один и тот же набор вероятностей выбора.

Некоторые условия единственности были даны Фальманем . ^[10] Турансик ^[13] представлены две характеристики существования уникального представления случайной полезности.

Модели [ править ]

Существуют различные модели случайной полезности, которые различаются предположениями о вероятностном распределении полезности агента. Популярная модель случайной полезности была разработана Люсом. ^[14] и Плакетт. ^[15] Они предполагают, что случайные члены полезности генерируются в соответствии с распределениями Гамбеля с фиксированным параметром формы. В модели Плакетта – Люса функция правдоподобия имеет простое аналитическое решение, поэтому оценку максимального правдоподобия можно выполнить за полиномиальное время.

Модель Плакетта-Люса применялась в эконометрике . ^[16] например, для анализа цен на автомобили в условиях рыночного равновесия . ^[17] Он также применялся в машинном обучении и поиске информации . ^[18] Его также применяли в сфере социального выбора для анализа опроса общественного мнения, проведенного во время президентских выборов в Ирландии . ^[19] эффективные методы ожидания-максимизации и распространения ожиданий . Для модели Плакетта-Люса существуют ^[20]^[21]^[22]

Азари, Паркс и Ся ^[23] расширяют модель Плакетта-Люса: они рассматривают модели случайной полезности, в которых случайные полезности могут быть получены из любого распределения экспоненциального семейства . Они доказывают условия, при которых логарифмическая функция правдоподобия является вогнутой, а набор решений с глобальными максимумами ограничен для семейства случайных моделей полезности, где форма каждого распределения фиксирована, а единственными скрытыми переменными являются средние значения.

к социальному Применение выбору

Случайные модели полезности можно использовать не только для моделирования поведения отдельного агента, но и для принятия решений в обществе агентов. ^[23] Один из подходов к социальному выбору , впервые формализованный теоремой присяжных Кондорсе , заключается в том, что существует «основная истина» – истинное ранжирование альтернатив. Каждый агент в обществе получает шумный сигнал об этом истинном рейтинге. Лучший способ приблизиться к истине — использовать оценку максимального правдоподобия : построить социальный рейтинг, который максимизирует вероятность набора индивидуальных рейтингов.

Исходная модель Кондорсе предполагает, что вероятности ошибок агентов при парных сравнениях независимы и одинаково распределены : все ошибки имеют одинаковую вероятность p . Данная модель имеет ряд недостатков:

Он игнорирует силу выраженных предпочтений агентов. С агентом, который предпочитает «намного больше, чем» b, и с агентом, который предпочитает «немного больше, чем b», обращаются одинаково.
Это позволяет использовать циклические предпочтения. Существует положительная вероятность того, что агент предпочтет a перед b, b перед c и с перед a.
Оценщик максимального правдоподобия – метод Кемени – Янга – трудно вычислить (это $\Theta _{2}^{P}$ -полный). ^[24]

Случайные модели полезности предоставляют альтернативу: существует основной вектор полезности; каждый агент рисует полезность для каждой альтернативы на основе распределения вероятностей, среднее значение которого является основной истиной. Эта модель отражает силу предпочтений и исключает циклические предпочтения. Более того, для некоторых распространенных распределений вероятностей (в частности, модели Плакетта – Люса) можно эффективно вычислить оценки максимального правдоподобия.

Обобщения [ править ]

Уокер и Бен-Акива ^[25] обобщить классическую модель случайной полезности несколькими способами, стремясь повысить точность прогнозов:

Гибкие возмущения : позволяют использовать более богатую ковариационную структуру , оценивать ненаблюдаемую неоднородность и случайные параметры;
Скрытые переменные : явно представляющие формирование и влияние невидимых конструкций, таких как восприятие и отношение;
Скрытые классы: фиксация скрытой сегментации с точки зрения вкусовых параметров, наборов вариантов и протоколов принятия решений;
Объединение выявленных и заявленных предпочтений: объединить преимущества этих двух типов данных.

Блаватская ^[26] изучает стохастическую теорию полезности, основанную на выборе между лотереями. Входные данные представляют собой набор вероятностей выбора , которые указывают вероятность того, что агент выберет одну лотерею вместо другой. Желаемый результат — это стохастическое представление полезности : запись вероятностей выбора как неубывающей функции разницы в ожидаемых полезностях лотерей. Он доказывает, что вероятности выбора допускают стохастическое представление полезности тогда и только тогда, когда они полны, сильно транзитивны, непрерывны, не зависят от общих последствий и взаимозаменяемы.

Ссылки [ править ]

^ Мански, Чарльз Ф. (июль 1977 г.). «Структура случайных полезных моделей». Теория и решение . 8 (3): 229–254. дои : 10.1007/BF00133443 . S2CID 120718598 . ПроКвест 1303217712 .
^ Каскетта, Эннио (2009). «Теория случайной полезности». Анализ транспортных систем . Оптимизация Springer и ее приложения. Том. 29. стр. 89–167. дои : 10.1007/978-0-387-75857-2_3 . ISBN 978-0-387-75856-5 .
^ Мански, Чарльз Ф. (август 1975 г.). «Оценка максимального балла выбранной стохастической полезной модели». Журнал эконометрики . 3 (3): 205–228. дои : 10.1016/0304-4076(75)90032-9 .
^ Камерер, Колин Ф. (апрель 1989 г.). «Экспериментальная проверка нескольких обобщенных теорий полезности». Журнал риска и неопределенности . 2 (1): 61–104. дои : 10.1007/BF00055711 . S2CID 154335530 .
^ Стармер, Крис; Сагден, Роберт (июнь 1989 г.). «Эффекты вероятности и сопоставления: экспериментальное исследование эффекта общего отношения». Журнал риска и неопределенности . 2 (2): 159–178. дои : 10.1007/BF00056135 . S2CID 153567599 .
^ Привет, Джон Д.; Орм, Крис (1994). «Исследование обобщений теории ожидаемой полезности с использованием экспериментальных данных». Эконометрика . 62 (6): 1291–1326. дои : 10.2307/2951750 . JSTOR 2951750 . S2CID 120069179 .
^ Ву, Джордж (1994). «Эмпирический тест порядковой независимости». Журнал риска и неопределенности . 9 (1): 39–60. дои : 10.1007/BF01073402 . S2CID 153558846 .
^ Баллинджер, Т. Паркер; Уилкокс, Натаниэль Т. (июль 1997 г.). «Решения, ошибки и неоднородность». Экономический журнал . 107 (443): 1090–1105. дои : 10.1111/j.1468-0297.1997.tb00009.x . S2CID 153823510 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Блок, HD (1974). «Случайные порядки и стохастические теории ответов (1960)». Экономическая информация, решения и прогнозы . стр. 172–217. дои : 10.1007/978-94-010-9276-0_8 . ISBN 978-90-277-1195-3 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Фальмань, JC (август 1978 г.). «Теорема о представлении систем конечного случайного масштаба». Журнал математической психологии . 18 (1): 52–72. дои : 10.1016/0022-2496(78)90048-2 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Барбера, Сальвадор; Паттанаик, Прасанта К. (1986). «Фальмань и рационализация стохастического выбора с точки зрения случайного порядка». Эконометрика . 54 (3): 707–715. дои : 10.2307/1911317 . JSTOR 1911317 .
^ https://scholar.harvard.edu/files/tomasz/files/lisbon32-post.pdf ^{[ нужна полная цитата ]}^{[ самостоятельно опубликованный источник? ]}
^ Турансик, Кристофер (июль 2022 г.). «Идентификация в случайной полезной модели». Журнал экономической теории . 203 : 105489. arXiv : 2102.05570 . дои : 10.1016/j.jet.2022.105489 . S2CID 231861383 .
^ Люс, Р. Дункан (2012). Поведение индивидуального выбора: теоретический анализ . Курьерская компания. ISBN 978-0-486-15339-1 . ^{[ нужна страница ]}
^ Плакетт, Р.Л. (1975). «Анализ перестановок». Прикладная статистика . 24 (2): 193–202. дои : 10.2307/2346567 . JSTOR 2346567 .
^ Макфадден, Дэниел (1974). «Условно-логитный анализ поведения качественного выбора». В Зарембке, Павел (ред.). Границы в эконометрике . Академическая пресса. стр. 105–142. ISBN 978-0-12-776150-3 .
^ Берри, Стивен; Левинсон, Джеймс; Пейкс, Ариэль (1995). «Цены на автомобили в условиях рыночного равновесия». Эконометрика . 63 (4): 841–890. дои : 10.2307/2171802 . JSTOR 2171802 .
^ Лю, Те-Янь (2007). «Учимся ранжировать поиск информации». Основы и тенденции в области информационного поиска . 3 (3): 225–331. дои : 10.1561/1500000016 .
^ Гормли, Изобель Клэр; Мерфи, Томас Брендан (июнь 2009 г.). «Уровень модели членства для ранговых данных» . Байесовский анализ . 4 (2). дои : 10.1214/09-BA410 . hdl : 10197/7121 . S2CID 53559452 .
^ Карон, Франсуа; Дусе, Арно (январь 2012 г.). «Эффективный байесовский вывод для обобщенных моделей Брэдли – Терри». Журнал вычислительной и графической статистики . 21 (1): 174–196. arXiv : 1011.1761 . дои : 10.1080/10618600.2012.638220 . S2CID 42955305 .
^ Хантер, Дэвид Р. (февраль 2004 г.). «Алгоритмы ММ для обобщенных моделей Брэдли-Терри» . Анналы статистики . 32 (1). дои : 10.1214/aos/1079120141 .
^ Гивер, Джон; Снельсон, Эдвард (2009). «Байесовский вывод для моделей ранжирования Плакетта – Люса». Материалы 26-й ежегодной международной конференции по машинному обучению . стр. 377–384. дои : 10.1145/1553374.1553423 . ISBN 978-1-60558-516-1 . S2CID 16965626 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Азари, Хосейн; Паркс, Дэвид; Ся, Лижун (2012). «Теория случайной полезности для социального выбора» . Достижения в области нейронных систем обработки информации . 25 . Curran Associates, Inc. arXiv : 1211.2476 .
^ Хемаспаандра, Эдит; Спаковски, Хольгер; Фогель, Йорг (декабрь 2005 г.). «Сложность выборов в Кемени» . Теоретическая информатика . 349 (3): 382–391. дои : 10.1016/j.tcs.2005.08.031 .
^ Уокер, Джоан; Бен-Акива, Моше (июль 2002 г.). «Обобщенная случайная полезная модель». Математические социальные науки . 43 (3): 303–343. дои : 10.1016/S0165-4896(02)00023-9 .
^ Блаватская, Павел Р. (декабрь 2008 г.). «Теорема стохастической полезности» (PDF) . Журнал математической экономики . 44 (11): 1049–1056. дои : 10.1016/j.jmateco.2007.12.005 .

[1] Мански, Чарльз Ф. (июль 1977 г.). «Структура случайных полезных моделей». Теория и решение . 8 (3): 229–254. дои : 10.1007/BF00133443 . S2CID 120718598 . ПроКвест 1303217712 .

[2] Каскетта, Эннио (2009). «Теория случайной полезности». Анализ транспортных систем . Оптимизация Springer и ее приложения. Том. 29. стр. 89–167. дои : 10.1007/978-0-387-75857-2_3 . ISBN 978-0-387-75856-5 .

[3] Мански, Чарльз Ф. (август 1975 г.). «Оценка максимального балла выбранной стохастической полезной модели». Журнал эконометрики . 3 (3): 205–228. дои : 10.1016/0304-4076(75)90032-9 .

[4] Камерер, Колин Ф. (апрель 1989 г.). «Экспериментальная проверка нескольких обобщенных теорий полезности». Журнал риска и неопределенности . 2 (1): 61–104. дои : 10.1007/BF00055711 . S2CID 154335530 .

[5] Стармер, Крис; Сагден, Роберт (июнь 1989 г.). «Эффекты вероятности и сопоставления: экспериментальное исследование эффекта общего отношения». Журнал риска и неопределенности . 2 (2): 159–178. дои : 10.1007/BF00056135 . S2CID 153567599 .

[6] Привет, Джон Д.; Орм, Крис (1994). «Исследование обобщений теории ожидаемой полезности с использованием экспериментальных данных». Эконометрика . 62 (6): 1291–1326. дои : 10.2307/2951750 . JSTOR 2951750 . S2CID 120069179 .

[7] Ву, Джордж (1994). «Эмпирический тест порядковой независимости». Журнал риска и неопределенности . 9 (1): 39–60. дои : 10.1007/BF01073402 . S2CID 153558846 .

[8] Баллинджер, Т. Паркер; Уилкокс, Натаниэль Т. (июль 1997 г.). «Решения, ошибки и неоднородность». Экономический журнал . 107 (443): 1090–1105. дои : 10.1111/j.1468-0297.1997.tb00009.x . S2CID 153823510 .

[:1-9] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Блок, HD (1974). «Случайные порядки и стохастические теории ответов (1960)». Экономическая информация, решения и прогнозы . стр. 172–217. дои : 10.1007/978-94-010-9276-0_8 . ISBN 978-90-277-1195-3 .

[:2-10] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Фальмань, JC (август 1978 г.). «Теорема о представлении систем конечного случайного масштаба». Журнал математической психологии . 18 (1): 52–72. дои : 10.1016/0022-2496(78)90048-2 .

[:3-11] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Барбера, Сальвадор; Паттанаик, Прасанта К. (1986). «Фальмань и рационализация стохастического выбора с точки зрения случайного порядка». Эконометрика . 54 (3): 707–715. дои : 10.2307/1911317 . JSTOR 1911317 .

[12] ttps://scholar.harvard.edu/files/tomasz/files/lisbon32-post.pdf ^{[ нужна полная цитата ]}^{[ самостоятельно опубликованный источник? ]}

[:0-13] Турансик, Кристофер (июль 2022 г.). «Идентификация в случайной полезной модели». Журнал экономической теории . 203 : 105489. arXiv : 2102.05570 . дои : 10.1016/j.jet.2022.105489 . S2CID 231861383 .

[14] Люс, Р. Дункан (2012). Поведение индивидуального выбора: теоретический анализ . Курьерская компания. ISBN 978-0-486-15339-1 . ^{[ нужна страница ]}

[15] Плакетт, Р.Л. (1975). «Анализ перестановок». Прикладная статистика . 24 (2): 193–202. дои : 10.2307/2346567 . JSTOR 2346567 .

[16] Макфадден, Дэниел (1974). «Условно-логитный анализ поведения качественного выбора». В Зарембке, Павел (ред.). Границы в эконометрике . Академическая пресса. стр. 105–142. ISBN 978-0-12-776150-3 .

[17] Берри, Стивен; Левинсон, Джеймс; Пейкс, Ариэль (1995). «Цены на автомобили в условиях рыночного равновесия». Эконометрика . 63 (4): 841–890. дои : 10.2307/2171802 . JSTOR 2171802 .

[18] Лю, Те-Янь (2007). «Учимся ранжировать поиск информации». Основы и тенденции в области информационного поиска . 3 (3): 225–331. дои : 10.1561/1500000016 .

[19] Гормли, Изобель Клэр; Мерфи, Томас Брендан (июнь 2009 г.). «Уровень модели членства для ранговых данных» . Байесовский анализ . 4 (2). дои : 10.1214/09-BA410 . hdl : 10197/7121 . S2CID 53559452 .

[20] Карон, Франсуа; Дусе, Арно (январь 2012 г.). «Эффективный байесовский вывод для обобщенных моделей Брэдли – Терри». Журнал вычислительной и графической статистики . 21 (1): 174–196. arXiv : 1011.1761 . дои : 10.1080/10618600.2012.638220 . S2CID 42955305 .

[21] Хантер, Дэвид Р. (февраль 2004 г.). «Алгоритмы ММ для обобщенных моделей Брэдли-Терри» . Анналы статистики . 32 (1). дои : 10.1214/aos/1079120141 .

[22] Гивер, Джон; Снельсон, Эдвард (2009). «Байесовский вывод для моделей ранжирования Плакетта – Люса». Материалы 26-й ежегодной международной конференции по машинному обучению . стр. 377–384. дои : 10.1145/1553374.1553423 . ISBN 978-1-60558-516-1 . S2CID 16965626 .

[:4-23] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Азари, Хосейн; Паркс, Дэвид; Ся, Лижун (2012). «Теория случайной полезности для социального выбора» . Достижения в области нейронных систем обработки информации . 25 . Curran Associates, Inc. arXiv : 1211.2476 .

[24] Хемаспаандра, Эдит; Спаковски, Хольгер; Фогель, Йорг (декабрь 2005 г.). «Сложность выборов в Кемени» . Теоретическая информатика . 349 (3): 382–391. дои : 10.1016/j.tcs.2005.08.031 .

[25] Уокер, Джоан; Бен-Акива, Моше (июль 2002 г.). «Обобщенная случайная полезная модель». Математические социальные науки . 43 (3): 303–343. дои : 10.1016/S0165-4896(02)00023-9 .

[26] Блаватская, Павел Р. (декабрь 2008 г.). «Теорема стохастической полезности» (PDF) . Журнал математической экономики . 44 (11): 1049–1056. дои : 10.1016/j.jmateco.2007.12.005 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]