Теорема Брюна – Титчмарша

В аналитической теории чисел теорема Брюна -Титчмарша , названная в честь Вигго Брюна и Эдварда Чарльза Титчмарша , является верхней границей распределения простых чисел в арифметической прогрессии .

Заявление

Позволять $\pi (x;q,a)$ подсчитайте количество простых чисел p, по модулю конгруэнтных q с p ≤ x . Затем

$\pi (x;q,a)\leq {2x \over \varphi (q)\log(x/q)}$

для всех q < x .

История

Результат был доказан ситовыми методами Монтгомери и Воганом; более ранний результат Брюна и Титчмарша позволил получить более слабую версию этого неравенства с дополнительным мультипликативным множителем $1+o(1)$.

Улучшения

Если q относительно мало, например, $q\leq x^{9/20}$, то существует лучшая оценка:

$\pi (x;q,a)\leq {(2+o(1))x \over \varphi (q)\log(x/q^{3/8})}$

Это принадлежит Ю. Мотохаши (1973). Он использовал билинейную структуру в члене ошибки в решете Сельберга , открытом им самим. Позже эта идея использования структур при ошибках просеивания превратилась в основной метод аналитической теории чисел благодаря расширению Х. Иванека комбинаторного сита.

Сравнение с теоремой Дирихле.

Напротив, теорема Дирихле об арифметических прогрессиях дает асимптотический результат, который можно выразить в виде

$\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)$

но можно доказать, что это справедливо только для более ограниченного диапазона q < (log x ) ^с для константы c : это теорема Зигеля-Вальфиса .

Ссылки

• Мотохаси, Йоичи (1983), Ситовые методы и теория простых чисел , Tata IFR и Springer-Verlag, ISBN  3-540-12281-8
• Хули, Кристофер (1976), Приложения ситовых методов к теории чисел , Cambridge University Press, стр. 10, ISBN  0-521-20915-3
• Микава, Х. (2001) [1994], «Теорема Брюна-Титчмарша» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Монтгомери, HL ; Воан, Р.К. (1973), «Большое сито», Mathematika , 20 (2): 119–134, doi : 10.1112/s0025579300004708 , hdl : 2027.42/152543 .