Теорема о максимальной передаче мощности

В электротехнике теорема о максимальной передаче мощности , что для получения максимальной внешней мощности от источника питания с внутренним сопротивлением сопротивление если нагрузки гласит должно равняться сопротивлению источника, смотреть со стороны его выходных клемм. Мориц фон Якоби опубликовал теорему о максимальной мощности (передаче) примерно в 1840 году; его также называют « законом Якоби ». ^[1]

Теорема эффективности приводит к максимальной передаче мощности от источника питания к нагрузке, но не к максимальной полезной мощности от общей потребляемой мощности. Если сопротивление нагрузки сделать большим, чем сопротивление источника, то эффективность возрастает (поскольку больший процент мощности источника передается в нагрузку), но величина мощности нагрузки уменьшается (поскольку увеличивается общее сопротивление цепи). ^[2] Если сопротивление нагрузки сделать меньше сопротивления источника, то эффективность уменьшится (поскольку большая часть мощности рассеивается в источнике). Хотя общая рассеиваемая мощность увеличивается (из-за более низкого общего сопротивления), количество, рассеиваемое в нагрузке, уменьшается.

Теорема гласит, как выбрать (чтобы максимизировать передачу мощности) сопротивление нагрузки, если задано сопротивление источника. Распространенным заблуждением является применение теоремы в противоположном сценарии. Здесь не сказано, как выбрать сопротивление источника при заданном сопротивлении нагрузки. Фактически, сопротивление источника, которое максимизирует передачу мощности от источника напряжения, всегда равно нулю (гипотетический идеальный источник напряжения ), независимо от значения сопротивления нагрузки.

Теорема может быть распространена на цепи переменного тока , которые включают реактивное сопротивление нагрузки , и утверждает, что максимальная передача мощности происходит, когда полное сопротивление равно комплексно-сопряженному сопротивлению источника.

Математика теоремы также применима к другим физическим взаимодействиям, таким как: ^[2]^[3]

механические столкновения между двумя объектами,
распределение заряда между двумя конденсаторами,
поток жидкости между двумя цилиндрами,
пропускание и отражение света на границе двух сред.

Максимизация передачи мощности по сравнению с энергоэффективностью

Первоначально теорема была неправильно понята (в частности, Джоулем ^[4]), подразумевая, что система, состоящая из электродвигателя, приводимого в движение батареей, не более 50% может иметь КПД , поскольку мощность, рассеиваемая в виде тепла в батарее, всегда будет равна мощности, подаваемой на двигатель при согласовании импедансов.

доказали ложность этого предположения В 1880 году Эдисон или его коллега Фрэнсис Роббинс Аптон , которые поняли, что максимальная эффективность — это не то же самое, что максимальная передача мощности.

Для достижения максимальной эффективности сопротивление источника (будь то батарея или динамо-машина ) можно (или следует) сделать максимально близким к нулю. Используя это новое понимание, они получили КПД около 90% и доказали, что электродвигатель является практической альтернативой тепловому двигателю .

КПД $η$ представляет собой отношение мощности, рассеиваемой на сопротивлении нагрузки $R L,$ полной мощности, рассеиваемой цепью (которая включает сопротивление источника напряжения RS $, к$ а также $R L$ ):

$\eta ={\frac {P_{\mathrm {L} }}{P_{\mathrm {Total} }}}={\frac {I^{2}\cdot R_{\mathrm {L} }}{I^{2}\cdot (R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} })}}={\frac {R_{\mathrm {L} }}{R_{\mathrm {L} }+R_{\mathrm {S} }}}={\frac {1}{1+R_{\mathrm {S} }/R_{\mathrm {L} }}}\,.$

Рассмотрим три частных случая (обратите внимание, что источники напряжения должны иметь некоторое сопротивление):

Если $R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }\to 0$ , затем $\eta \to 0.$ КПД приближается к 0%, если сопротивление нагрузки приближается к нулю ( короткое замыкание ), поскольку вся мощность потребляется в источнике и никакая мощность не потребляется при коротком замыкании.
Если $R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }=1$ , затем $\eta ={\tfrac {1}{2}}.$ КПД составляет всего 50%, если сопротивление нагрузки равно сопротивлению источника (что является условием максимальной передачи мощности).
Если $R_{\mathrm {L} }/R_{\mathrm {S} }\to \infty$ , затем $\eta \to 1.$ КПД приближается к 100%, если сопротивление нагрузки приближается к бесконечности (хотя общий уровень мощности стремится к нулю) или если сопротивление источника приближается к нулю. Использование большого коэффициента называется мостовым сопротивлением .

Согласование импеданса

Связанная с этим концепция — безотражательное согласование импедансов .

В радиочастотных антенны линиях передачи и другой электронике часто требуется согласовать полное сопротивление источника (в передатчике) с сопротивлением нагрузки (например, ) , чтобы избежать отражений в линии передачи .

Расчетное доказательство для чисто резистивных цепей

В упрощенной модели питания нагрузки сопротивлением $R L$ от источника с напряжением $V$ и сопротивлением источника $R S$ тогда по закону Ома результирующий ток $I$ представляет собой просто напряжение источника, деленное на общее сопротивление цепи: $I={\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.$

Мощность $P L,$ рассеиваемая в нагрузке, равна квадрату тока, умноженному на сопротивление: $P_{\mathrm {L} }=I^{2}R_{\mathrm {L} }=\left({\frac {V}{R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}\right)^{2}R_{\mathrm {L} }={\frac {V^{2}}{R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}}.$

Значение $RL,$ для которого данное выражение является максимальным, можно вычислить путем его дифференцирования, но проще вычислить значение $RL,$ у которого знаменатель: $R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }$ это минимум. Результат будет одинаковым в любом случае. по $RL :$ Дифференцируя знаменатель ${\frac {d}{dR_{\mathrm {L} }}}\left(R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }\right)=-R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}+1.$

Для максимума или минимума первая производная равна нулю, поэтому $R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }^{2}=1$ или $R_{\mathrm {L} }=\pm R_{\mathrm {S} }.$

В практических резистивных цепях $RS оба положительны, поэтому$ и $R L$ положительный знак в приведенном выше примере является правильным решением.

Чтобы выяснить, является ли это решение минимумом или максимумом, выражение знаменателя снова дифференцируется:

${\frac {d^{2}}{dR_{\mathrm {L} }^{2}}}\left({R_{\mathrm {S} }^{2}/R_{\mathrm {L} }+2R_{\mathrm {S} }+R_{\mathrm {L} }}\right)={2R_{\mathrm {S} }^{2}}/{R_{\mathrm {L} }^{3}}.$

Это всегда положительно для положительных значений $R_{\mathrm {S} }$ и $R_{\mathrm {L} }$ , показывая, что знаменатель равен минимуму, а степень, следовательно, равна максимуму, когда: $R_{\mathrm {S} }=R_{\mathrm {L} }.$

Приведенное выше доказательство предполагает фиксированное сопротивление источника. $R_{\mathrm {S} }$ . Когда сопротивление источника можно изменять, мощность, передаваемую в нагрузку, можно увеличить за счет уменьшения $R_{\textrm {S}}$ . Например, источник 100 Вольт с $R_{\textrm {S}}$ из $10\,\Omega$ будет выдавать мощность 250 Вт на $10\,\Omega$ нагрузка; сокращение $R_{\textrm {S}}$ к $0\,\Omega$ увеличивает подаваемую мощность до 1000 Вт.

Обратите внимание, что это показывает, что максимальную передачу мощности можно также интерпретировать как напряжение нагрузки, равное половине эквивалентного напряжения Тевенина источника. ^[5]

В реактивных цепях

Теорема о передаче мощности также применима, когда источник и/или нагрузка не являются чисто резистивными.

Уточнение теоремы о максимальной мощности гласит, что любые реактивные компоненты источника и нагрузки должны иметь одинаковую величину, но противоположный знак. ( Вывод см. ниже. )

Это означает, что импедансы источника и нагрузки должны быть комплексно сопряженными друг другу.
В случае чисто резистивных цепей эти две концепции идентичны.

Физически реализуемые источники и нагрузки обычно не являются чисто резистивными и имеют некоторые индуктивные или емкостные компоненты, поэтому практические применения этой теоремы под названием комплексно-сопряженного согласования импедансов действительно существуют.

Если источник является полностью индуктивным (емкостным), то полностью емкостная (индуктивная) нагрузка при отсутствии резистивных потерь получит 100% энергии от источника, но отправит ее обратно после четверти цикла.

Результирующая цепь представляет собой не что иное, как резонансный LC-контур, в котором энергия продолжает колебаться взад и вперед. Это колебание называется реактивной мощностью .

Коррекция коэффициента мощности (когда индуктивное реактивное сопротивление используется для «уравновешивания» емкостного сопротивления) по сути представляет собой ту же идею, что и согласование комплексного сопряженного импеданса, хотя это делается по совершенно другим причинам.

Для фиксированного реактивного источника теорема о максимальной мощности максимизирует реальную мощность (P), передаваемую в нагрузку посредством комплексного сопряжения, согласующего нагрузку с источником.

Для фиксированной реактивной нагрузки коррекция коэффициента мощности минимизирует полную мощность (S) (и ненужный ток), проводимую по линиям передачи, сохраняя при этом ту же величину передачи реальной мощности.

Это делается путем добавления реактивного сопротивления к нагрузке, чтобы сбалансировать собственное реактивное сопротивление нагрузки, изменяя сопротивление реактивной нагрузки на сопротивление резистивной нагрузки.

Доказательство

Диаграмма импеданса источника и нагрузки — source and load impedance diagram

На этой диаграмме мощность переменного тока передается от источника с векторной величиной напряжения $|V_{\text{S}}|$ (положительное пиковое напряжение) и фиксированное сопротивление источника $Z_{\text{S}}$ (S для источника), к нагрузке с сопротивлением $Z_{\text{L}}$ (L для нагрузки), что приводит к (положительной) величине $|I|$ текущего вектора $I$ . Эта величина $|I|$ получается в результате деления величины напряжения источника на величину полного сопротивления цепи: $|I|={|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}.$

Средняя мощность $P_{\text{L}}$ рассеиваемое в нагрузке значение равно квадрату тока, умноженному на резистивную часть (действительную часть) $R_{\text{L}}$ сопротивления нагрузки $Z_{\text{L}}$ : ${\begin{aligned}P_{\text{L}}&=I_{\text{rms}}^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}|I|^{2}R_{\text{L}}\\&={1 \over 2}\left({|V_{\text{S}}| \over |Z_{\text{S}}+Z_{\text{L}}|}\right)^{2}R_{\text{L}}={1 \over 2}{|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}} \over (R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}},\end{aligned}}$ где $R_{\text{S}}$ и $R_{\text{L}}$ обозначают сопротивления, то есть действительные части, и $X_{\text{S}}$ и $X_{\text{L}}$ обозначают реактивные сопротивления, то есть мнимые части, соответственно импеданса источника и нагрузки. $Z_{\text{S}}$ и $Z_{\text{L}}$ .

Чтобы определить для данного источника напряжение $V_{\text{S}}$ и импеданс $Z_{\text{S}},$ значение сопротивления нагрузки $Z_{\text{L}},$ для которого это выражение мощности дает максимум, сначала обнаруживают для каждого фиксированного положительного значения $R_{\text{L}}$ , значение реактивного члена $X_{\text{L}}$ для которого знаменатель: $(R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}+(X_{\text{S}}+X_{\text{L}})^{2}$ это минимум. Поскольку реактивные сопротивления могут быть отрицательными, это достигается путем адаптации реактивного сопротивления нагрузки к: $X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}.$

Это сводит приведенное выше уравнение к: $P_{\text{L}}={\frac {1}{2}}{\frac {|V_{\text{S}}|^{2}R_{\text{L}}}{(R_{\text{S}}+R_{\text{L}})^{2}}}$ и осталось найти значение $R_{\text{L}}$ что максимизирует это выражение. Эта задача имеет тот же вид, что и в чисто резистивном случае, поэтому условие максимизации имеет вид $R_{\text{L}}=R_{\text{S}}.$

Два условия максимизации:

$R_{\text{L}}=R_{\text{S}}$
$X_{\text{L}}=-X_{\text{S}}$

описывают комплексное сопряжение импеданса источника, обозначаемое $^{*},$ и, таким образом, может быть кратко объединено с: $Z_{\text{L}}=Z_{\text{S}}^{*}.$

См. также

Отслеживание точки максимальной мощности

Примечания

^ Томпсон Филлипс (30 мая 2009 г.), Dynamo-Electric Machinery; Пособие для студентов-электротехников , ООО «БиблиоБазар», ISBN 978-1-110-35104-6
^ Jump up to: ^а ^б Харрисон, Марк (22 февраля 2013 г.). «Физические столкновения и теорема о максимальной мощности: аналогия между механическими и электрическими ситуациями». Физическое образование . 48 (2): 207–211. дои : 10.1088/0031-9120/48/2/207 . ISSN 0031-9120 . S2CID 120330420 .
^ Аткин, Кейт (22 августа 2013 г.). «Передача энергии и повторяющаяся математическая функция». Физическое образование . 48 (5): 616–620. дои : 10.1088/0031-9120/48/5/616 . ISSN 0031-9120 . S2CID 122189586 .
^ Магнетика, Триада. «Понимание теоремы о максимальной мощности» . info.triadMagnetics.com . Проверено 8 июня 2022 г.
^ «Учебные пособия по основам электроники и повторения для новичков и продвинутых учащихся» .

Ссылки

HW Джексон (1959) Введение в электронные схемы, Прентис-Холл.

Внешние ссылки

[1] Томпсон Филлипс (30 мая 2009 г.), Dynamo-Electric Machinery; Пособие для студентов-электротехников , ООО «БиблиоБазар», ISBN 978-1-110-35104-6

[harrison2013-2] Jump up to: ^а ^б Харрисон, Марк (22 февраля 2013 г.). «Физические столкновения и теорема о максимальной мощности: аналогия между механическими и электрическими ситуациями». Физическое образование . 48 (2): 207–211. дои : 10.1088/0031-9120/48/2/207 . ISSN 0031-9120 . S2CID 120330420 .

[3] Аткин, Кейт (22 августа 2013 г.). «Передача энергии и повторяющаяся математическая функция». Физическое образование . 48 (5): 616–620. дои : 10.1088/0031-9120/48/5/616 . ISSN 0031-9120 . S2CID 122189586 .

[4] Магнетика, Триада. «Понимание теоремы о максимальной мощности» . info.triadMagnetics.com . Проверено 8 июня 2022 г.

[5] «Учебные пособия по основам электроники и повторения для новичков и продвинутых учащихся» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]