Теорема Фридлендера – Иванца

Джон Фридлендер

Хенрик Изанец

В аналитической теории чисел теорема Фридлендера – Иванца утверждает, что существует бесконечно много простых чисел вида $a^{2}+b^{4}$. Первые несколько таких простых чисел

2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977, … (последовательность A028916 в OEIS ).

Трудность этого утверждения заключается в очень разреженной природе этой последовательности: количество целых чисел вида $a^{2}+b^{4}$ меньше, чем $X$ примерно порядка $X^{3/4}$.

История

Теорема была доказана в 1997 году Джоном Фридлендером и Генриком Иванцем . Иванец был награжден премией Островского 2001 года частично за вклад в эту работу.

Уточнения

Теорема была уточнена Д. Р. Хит-Брауном и Сяннаном Ли в 2017 году. В частности, они доказали, что полином $a^{2}+b^{4}$ представляет бесконечное количество простых чисел, когда переменная $b$ также обязан быть простым. А именно, если $f(n)$ простые числа меньше $n$ в форме $a^{2}+b^{4},$ затем

$f(n)\sim v{\frac {x^{3/4}}{\log {x}}}$

где

$v=2{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (5/4)}{\Gamma (7/4)}}\prod _{p\equiv 1{\bmod {4}}}{\frac {p-2}{p-1}}\prod _{p\equiv 3{\bmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}.$

Особый случай

Когда b = 1 , простые числа Фридлендера – Иванца имеют вид $a^{2}+1$, образуя множество

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 153 77, … (последовательность A002496 в ОЭИС ).

Высказано предположение (одна из проблем Ландау ), что это множество бесконечно. Однако это не следует из теоремы Фридлендера – Иванца.

Дальнейшее чтение

• Ципра, Барри Артур (1998), «Просеивание простых чисел из тонкой руды», Science , 279 (5347): 31, doi : 10.1126/science.279.5347.31 , S2CID   118322959 .