Теорема Шура о произведении

В математике , особенно в линейной алгебре , теорема Шура о произведении утверждает, что произведение Адамара двух положительно определенных матриц также является положительно определенной матрицей.Результат назван в честь Иссая Шура. (Шур 1911, стр. 14, Теорема VII) (обратите внимание, что Шур подписался как Дж. Шур в Журнале чистой и прикладной математики . )

Заметим, что обращение теоремы справедливо в следующем смысле. Если $M$ является симметричной матрицей и произведением Адамара $M\circ N$ положительно определен для всех положительно определенных матриц $N$, затем $M$ сама по себе положительно определена.

Доказательство

Доказательство с использованием формулы следа

Для любых матриц $M$ и $N$, произведение Адамара $M\circ N$ рассматриваемая как билинейная форма, действует на векторы $a,b$ как

$a^{*}(M\circ N)b=\operatorname {tr} \left(M^{\textsf {T}}\operatorname {diag} \left(a^{*}\right)N\operatorname {diag} (b)\right)$

где $\operatorname {tr}$ – матричный след и $\operatorname {diag} (a)$ - диагональная матрица, имеющая в качестве диагональных элементов элементы $a$.

Предполагать $M$ и $N$ положительно определены и, следовательно, эрмитовы . Мы можем рассмотреть их квадратные корни $M^{\frac {1}{2}}$ и $N^{\frac {1}{2}}$, которые также являются эрмитовыми, и напишем

$\operatorname {tr} \left(M^{\textsf {T}}\operatorname {diag} \left(a^{*}\right)N\operatorname {diag} (b)\right)=\operatorname {tr} \left({\overline {M}}^{\frac {1}{2}}{\overline {M}}^{\frac {1}{2}}\operatorname {diag} \left(a^{*}\right)N^{\frac {1}{2}}N^{\frac {1}{2}}\operatorname {diag} (b)\right)=\operatorname {tr} \left({\overline {M}}^{\frac {1}{2}}\operatorname {diag} \left(a^{*}\right)N^{\frac {1}{2}}N^{\frac {1}{2}}\operatorname {diag} (b){\overline {M}}^{\frac {1}{2}}\right)$

Тогда для $a=b$, это пишется как $\operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)$ для $A=N^{\frac {1}{2}}\operatorname {diag} (a){\overline {M}}^{\frac {1}{2}}$ и поэтому является строго положительным для $A\neq 0$, что происходит тогда и только тогда, когда $a\neq 0$. Это показывает, что $(M\circ N)$ является положительно определенной матрицей.

Доказательство с использованием гауссовского интегрирования.

Случай M = N

Позволять $X$ быть $n$-мерная центрированная гауссова случайная величина с ковариацией $\langle X_{i}X_{j}\rangle =M_{ij}$. Тогда ковариационная матрица $X_{i}^{2}$ и $X_{j}^{2}$ является

$\operatorname {Cov} \left(X_{i}^{2},X_{j}^{2}\right)=\left\langle X_{i}^{2}X_{j}^{2}\right\rangle -\left\langle X_{i}^{2}\right\rangle \left\langle X_{j}^{2}\right\rangle$

Использование теоремы Вика для разработки $\left\langle X_{i}^{2}X_{j}^{2}\right\rangle =2\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle ^{2}+\left\langle X_{i}^{2}\right\rangle \left\langle X_{j}^{2}\right\rangle$ у нас есть

$\operatorname {Cov} \left(X_{i}^{2},X_{j}^{2}\right)=2\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle ^{2}=2M_{ij}^{2}$

Поскольку ковариационная матрица положительно определена, это доказывает, что матрица с элементами $M_{ij}^{2}$ является положительно определенной матрицей.

Общий случай

Позволять $X$ и $Y$ быть $n$-мерные центрированные гауссовы случайные величины с ковариациями $\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle =M_{ij}$, $\left\langle Y_{i}Y_{j}\right\rangle =N_{ij}$ и независимы друг от друга, так что у нас есть

$\left\langle X_{i}Y_{j}\right\rangle =0$ для любого $i,j$

Тогда ковариационная матрица $X_{i}Y_{i}$ и $X_{j}Y_{j}$ является

$\operatorname {Cov} \left(X_{i}Y_{i},X_{j}Y_{j}\right)=\left\langle X_{i}Y_{i}X_{j}Y_{j}\right\rangle -\left\langle X_{i}Y_{i}\right\rangle \left\langle X_{j}Y_{j}\right\rangle$

Использование теоремы Вика для разработки

$\left\langle X_{i}Y_{i}X_{j}Y_{j}\right\rangle =\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle \left\langle Y_{i}Y_{j}\right\rangle +\left\langle X_{i}Y_{i}\right\rangle \left\langle X_{j}Y_{j}\right\rangle +\left\langle X_{i}Y_{j}\right\rangle \left\langle X_{j}Y_{i}\right\rangle$

а также используя независимость $X$ и $Y$, у нас есть

$\operatorname {Cov} \left(X_{i}Y_{i},X_{j}Y_{j}\right)=\left\langle X_{i}X_{j}\right\rangle \left\langle Y_{i}Y_{j}\right\rangle =M_{ij}N_{ij}$

Поскольку ковариационная матрица положительно определена, это доказывает, что матрица с элементами $M_{ij}N_{ij}$ является положительно определенной матрицей.

Доказательство с использованием собственного разложения.

Доказательство положительной полуопределенности

Позволять $M=\sum \mu _{i}m_{i}m_{i}^{\textsf {T}}$ и $N=\sum \nu _{i}n_{i}n_{i}^{\textsf {T}}$. Затем

$M\circ N=\sum _{ij}\mu _{i}\nu _{j}\left(m_{i}m_{i}^{\textsf {T}}\right)\circ \left(n_{j}n_{j}^{\textsf {T}}\right)=\sum _{ij}\mu _{i}\nu _{j}\left(m_{i}\circ n_{j}\right)\left(m_{i}\circ n_{j}\right)^{\textsf {T}}$

Каждый $\left(m_{i}\circ n_{j}\right)\left(m_{i}\circ n_{j}\right)^{\textsf {T}}$ положительно полуопределена (но, за исключением одномерного случая, не положительно определена, поскольку они являются матрицами ранга 1). Также, $\mu _{i}\nu _{j}>0$ таким образом, сумма $M\circ N$ также положительно полуопределена.

Доказательство определенности

Чтобы показать, что результат положительно определен, требуются еще дополнительные доказательства. Покажем, что для любого вектора $a\neq 0$, у нас есть $a^{\textsf {T}}(M\circ N)a>0$. Продолжая, как указано выше, каждый $a^{\textsf {T}}\left(m_{i}\circ n_{j}\right)\left(m_{i}\circ n_{j}\right)^{\textsf {T}}a\geq 0$, поэтому осталось показать, что существуют $i$ и $j$ для которого соответствующий член выше не равен нулю. Для этого мы наблюдаем, что

$a^{\textsf {T}}(m_{i}\circ n_{j})(m_{i}\circ n_{j})^{\textsf {T}}a=\left(\sum _{k}m_{i,k}n_{j,k}a_{k}\right)^{2}$

С $N$ положительно определена, существует $j$ для чего $n_{j}\circ a\neq 0$ (поскольку в противном случае $n_{j}^{\textsf {T}}a=\sum _{k}(n_{j}\circ a)_{k}=0$ для всех $j$), и аналогично, поскольку $M$ положительно определена, существует $i$ для чего $\sum _{k}m_{i,k}(n_{j}\circ a)_{k}=m_{i}^{\textsf {T}}(n_{j}\circ a)\neq 0.$ Однако эта последняя сумма всего лишь $\sum _{k}m_{i,k}n_{j,k}a_{k}$. Следовательно, его квадрат положителен. Это завершает доказательство.

Внешние ссылки

• Замечания о теории ограниченных билинейных форм с бесконечным числом переменных в EUDML