Проективное векторное поле

Проективное векторное поле ( проектив ) представляет собой плавное векторное поле на полу риманском многообразии (P.Ex. SpaceTime ) $M$ чей поток сохраняет геодезисную структуру $M$ без обязательно сохраняя аффинный параметр любой геодезии. Более интуитивно, поток проективных карт Геодезики плавно в геодезике, не сохраняя аффинный параметр.

Разложение

В работе с векторным полем $X$ На полу -риманском многообразии (P.Ex. в целом относительности ) часто полезно разложить ковариантную производную на его симметричные и симметричные части: симметричные части:

$X_{a;b}={\frac {1}{2}}h_{ab}+F_{ab}$

где

$h_{ab}=({\mathcal {L}}_{X}g)_{ab}=X_{a;b}+X_{b;a}$

и

$F_{ab}={\frac {1}{2}}(X_{a;b}-X_{b;a})$

Обратите внимание, что $X_{a}$ являются ковариантными компонентами $X$.

Эквивалентные условия

Математически условие для векторного поля $X$ Быть проективным эквивалентно существованию одной формы $\psi$ удовлетворительный

$X_{a;bc}\,=R_{abcd}X^{d}+2g_{a(b}\psi _{c)}$

что эквивалентно

$h_{ab;c}\,=2g_{ab}\psi _{c}+g_{ac}\psi _{b}+g_{bc}\psi _{a}$

Набор всех глобальных проективных векторных полей над подключенным или компактным коллектором образует конечную алгебра Lie, обозначаемая $P(M)$ ( Проективная алгебра ) и удовлетворяет подключенным коллекторам условия: $\dim P(M)\leq n(n+2)$Полем Здесь поле проективного векторного поля уникально определяется путем указания значений $X$, $\nabla X$ и $\nabla \nabla X$ (эквивалентно, указание $X$, $h$, $F$ и $\psi$) в любой точке $M$Полем (Для не связанных коллекторов вам необходимо указать эти 3 в одной точке на подключенный компонент.) Проективы также удовлетворяют свойствам:

${\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=\delta ^{a}{}_{d}\psi _{b;c}-\delta ^{a}{}_{c}\psi _{b;d}$

${\mathcal {L}}_{X}R_{ab}=-3\psi _{a;b}$

Субальгебра

Может возникнуть несколько важных особых случаев проективных векторных полей, и они образуют лжи. $P(M)$Полем Эти субальгебры полезны, например, в классификации пространств в общей относительности.

Аффинная алгебра

Аффинные векторные поля (аффины) удовлетворяют $\nabla h=0$ (эквивалентно, $\psi =0$) и, следовательно, каждая аффина - это проектив. Аффинны сохраняют геодезисную структуру полу -римма. Medifold (читайте пространство -время), также сохраняя аффинный параметр. Набор всех аффин $M$ образует субальгебры ложь $P(M)$ обозначен $A(M)$ ( аффинная алгебра ) и удовлетворяет подключению M , $\dim A(M)\leq n(n+1)$Полем Аффинный вектор уникально определяется путем указания значений векторного поля и его первого ковариатного производного (эквивалентно, указание $X$, $h$ и $F$) в любой точке $M$Полем Affines также сохраняют Riemann, Ricci и Weyl Tensors, т.е.

${\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=0$, ${\mathcal {L}}_{X}R_{ab}=0$, ${\mathcal {L}}_{X}C^{a}{}_{bcd}=0$

Гомотетическая алгебра

Гомотетические векторные поля (гомотети) сохраняют метрику до постоянного фактора, т.е. $h={\mathcal {L}}_{X}g=2cg$Полем Как $\nabla h=0$, каждая гомотети - это аффина и набор всех гомотети на $M$ образует ложь субальгебры $A(M)$ обозначен $H(M)$ ( гомотетическая алгебра ) и удовлетворяет подключению M

$\dim H(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)+1$.

Поле гомотетического вектора уникально определяется путем указания значений векторного поля и его первого ковариатного производного (эквивалентно, указание $X$, $F$ и $c$) в любой точке многообразия.

Убийство алгебры

Убивание векторных полей (убийства) сохраняет метрику, т.е. $h={\mathcal {L}}_{X}g=0$Полем Принимающий $c=0$ В определяющей собственности гомотети видно, что каждое убийство - гомотети (и, следовательно, аффинная) и набор всех векторных полей убийства $M$ образует ложь субальгебры $H(M)$ обозначен $K(M)$ ( Убийшаяся алгебра ) и удовлетворяет подключению M

$\dim K(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)$.

Векторное поле убийства однозначно определяется путем указания значений векторного поля и его первого ковариатного производного (эквивалентно, указание $X$ и $F$) в любой точке (для каждого подключенного компонента) $M$.

Приложения

В целом относительность, многие космические времена обладают определенными симметриями, которые могут характеризоваться векторными полей в пространстве -времени. Например, пространство Минковского ${\mathbb {M} }$ признает максимальную проективную алгебру, т.е. $\dim P({\mathbb {M} })=24$.

Многие другие применения векторных полей симметрии в общей теории относительности могут быть обнаружены в Холле (2004), которая также содержит обширную библиографию, включая многие исследовательские работы в области симметрии в общей относительности .

Ссылки

• Бедный, В. (1981). Дифференциальные геометрические структуры . Нью -Йорк: МакГроу Хилл. ISBN  0-07-050435-0 .
• Яно, К. (1970). Интегральные формулы в римановой геометрии . Нью -Йорк: Марсель Деккер. ISBN ???.
• Холл, Грэм (2004). Симметрия и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирная научная лекция примечания по физике) . Сингапур: World Scientific Pub. ISBN  981-02-1051-5 .