Эксперимент Хейнса-Шокли

В физике полупроводников эксперимент Хейнса -Шокли был экспериментом, который продемонстрировал, что диффузия неосновных носителей в полупроводнике может привести к образованию тока . Об эксперименте сообщили в короткой статье Хейнса и Шокли в 1948 году. с более подробной версией, опубликованной Шокли, Пирсоном и Хейнсом в 1949 году. Эксперимент может быть использован для измерения подвижности носителей , времени их жизни и коэффициента диффузии .

В эксперименте на кусок полупроводника попадает импульс дырок , например, индуцированный напряжением или коротким лазерным импульсом.

Уравнения

Чтобы увидеть эффект, рассмотрим полупроводник n-типа длиной d . Нас интересует определение подвижности носителей, константы диффузии и времени релаксации . Далее мы сведем проблему к одному измерению.

Уравнения для электронных и дырочных токов:

$j_{e}=+\mu _{n}nE+D_{n}{\frac {\partial n}{\partial x}}$

$j_{p}=+\mu _{p}pE-D_{p}{\frac {\partial p}{\partial x}}$

где j s – плотности тока электронов ( e ) и дырок ( p ), µ s – подвижности носителей заряда, E – электрическое поле , n и p – плотности носителей заряда, D s – коэффициенты диффузии , и x - позиция. Первый член уравнений представляет собой дрейфовый ток , а второй член — диффузионный ток .

Вывод

Рассмотрим уравнение неразрывности :

${\frac {\partial n}{\partial t}}={\frac {-(n-n_{0})}{\tau _{n}}}+{\frac {\partial j_{e}}{\partial x}}$

${\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {-(p-p_{0})}{\tau _{p}}}-{\frac {\partial j_{p}}{\partial x}}$

Индексы 0 указывают равновесные концентрации. Электроны и дырки рекомбинируют с временем жизни носителей τ.

Мы определяем

$p_{1}=p-p_{0}\,,\quad n_{1}=n-n_{0}$

поэтому верхние уравнения можно переписать как:

${\frac {\partial p_{1}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}p_{1}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p_{1}}{\partial x}}-{\frac {p_{1}}{\tau _{p}}}$

${\frac {\partial n_{1}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{1}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{1}}{\partial x}}-{\frac {n_{1}}{\tau _{n}}}$

В простом приближении можно считать электрическое поле постоянным между левым и правым электродами и пренебречь ∂ E /∂ x . Однако, поскольку электроны и дырки диффундируют с разными скоростями, материал имеет локальный электрический заряд, создающий неоднородное электрическое поле, которое можно рассчитать с помощью закона Гаусса :

${\frac {\partial E}{\partial x}}={\frac {\rho }{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}((p-p_{0})-(n-n_{0}))}{\epsilon \epsilon _{0}}}={\frac {e_{0}(p_{1}-n_{1})}{\epsilon \epsilon _{0}}}$

где ε — диэлектрическая проницаемость, ε _{0 —} диэлектрическая проницаемость свободного пространства, ρ — плотность заряда и e _{0 —} элементарный заряд.

Далее измените переменные путем подстановок:

$p_{1}=n_{\text{mean}}+\delta \,,\quad n_{1}=n_{\text{mean}}-\delta \,,$

и предположим, что δ намного меньше, чем $n_{\text{mean}}$. Два исходных уравнения записывают:

${\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D_{p}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu _{p}p{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{p}}}$

${\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D_{n}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}+\mu _{n}n{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau _{n}}}$

Используя соотношение Эйнштейна $\mu =e\beta D$, где β — обратное произведение температуры и постоянной Больцмана , эти два уравнения можно объединить:

${\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial t}}=D^{*}{\frac {\partial ^{2}n_{\text{mean}}}{\partial x^{2}}}-\mu ^{*}E{\frac {\partial n_{\text{mean}}}{\partial x}}-{\frac {n_{\text{mean}}}{\tau ^{*}}},$

где для D *, µ* и τ* выполнено:

$D^{*}={\frac {D_{n}D_{p}(n+p)}{pD_{p}+nD_{n}}}$, $\mu ^{*}={\frac {\mu _{n}\mu _{p}(n-p)}{p\mu _{p}+n\mu _{n}}}$ и ${\frac {1}{\tau ^{*}}}={\frac {p\mu _{p}\tau _{p}+n\mu _{n}\tau _{n}}{\tau _{p}\tau _{n}(p\mu _{p}+n\mu _{n})}}.$

Учитывая n >> p или p → 0 (это хорошее приближение для полупроводника с небольшим количеством инжектированных дырок), мы видим, что D * → D _p , µ* → µ _p и 1/τ* → 1/τ _p . Полупроводник ведет себя так, как будто в нем путешествуют только дырки.

Окончательное уравнение для перевозчиков:

$n_{\text{mean}}(x,t)=A{\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{*}t}}}e^{-t/\tau ^{*}}e^{-{\frac {(x+\mu ^{*}Et-x_{0})^{2}}{4D^{*}t}}}$

Это можно интерпретировать как дельта-функцию Дирака , которая создается сразу после импульса. Затем дырки начинают двигаться к электроду, где мы их и обнаруживаем. Тогда сигнал имеет форму кривой Гаусса .

Параметры μ, D и τ можно получить из формы сигнала.

$\mu ^{*}={\frac {d}{Et_{0}}}$

$D^{*}=(\mu ^{*}E)^{2}{\frac {(\delta t)^{2}}{16ln(2)t_{0}}}$

где d — расстояние, пройденное за время t0 _— , а δt импульса ширина .

См. также

• Переменный ток
• Зона проводимости
• Уравнение конвекции-диффузии
• Постоянный ток
• Дрейфовый ток
• Модель свободных электронов
• Случайное блуждание

Внешние ссылки

• Апплет, имитирующий эксперимент Хейнса-Шокли. Архивировано 19 марта 2017 г. на Wayback Machine.
• Видео, объясняющее оригинальный эксперимент
• Образовательный подход к эксперименту HS