Глубина (теория колец)

В коммутативной и гомологической алгебре глубина является важным инвариантом колец и модулей . Хотя глубину можно определить в более общем смысле, наиболее распространенным рассматриваемым случаем является случай модулей над коммутативным нетеровым локальным кольцом . В этом случае глубина модуля связана с его проективной размерностью формулой Ауслендера–Бухсбаума . Более элементарным свойством глубины является неравенство

$\mathrm {depth} (M)\leq \dim(M),$

где $\dim M$ обозначает размерность Крулля модуля $M$. Глубина используется для определения классов колец и модулей с хорошими свойствами, например колец и модулей Коэна-Маколея , для которых имеет место равенство.

Определение

Позволять $R$ быть коммутативным кольцом, $I$ идеал $R$ и $M$ сгенерированный конечно $R$-модуль со свойством, которое $IM$ правильно содержится в $M$. (То есть некоторые элементы $M$ не в $IM$.) Тогда $I$- глубина ​ $M$, также обычно степенью называемый $M$, определяется как

$\mathrm {depth} _{I}(M)=\min\{i:\operatorname {Ext} ^{i}(R/I,M)\neq 0\}.$

По определению глубина локального кольца $R$ с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$ это его ${\mathfrak {m}}$-глубина как модуль над собой. Если $R$ — локальное кольцо Коэна-Маколея , тогда глубина $R$ равен размерности $R$.

По теореме Дэвида Риса глубину можно также охарактеризовать, используя понятие регулярной последовательности .

Теорема (Риса)

Предположим, что $R$ — коммутативное нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$ и $M$ является конечно порожденным $R$-модуль. Тогда все максимальные регулярные последовательности $x_{1},\ldots ,x_{n}$ для $M$, где каждый $x_{i}$ принадлежит ${\mathfrak {m}}$, имеют одинаковую длину $n$ равный ${\mathfrak {m}}$-глубина $M$.

Глубина и проективный размер

Проективная размерность и глубина модуля над коммутативным нетеровым локальным кольцом дополняют друг друга. Таково содержание формулы Ауслендера-Бухсбаума, которая имеет не только фундаментальное теоретическое значение, но и обеспечивает эффективный способ расчета глубины модуля. Предположим, что $R$ — коммутативное нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$ и $M$ является конечно порожденным $R$-модуль. Если проективная размерность $M$ конечен, то формула Ауслендера–Бухсбаума утверждает

$\mathrm {pd} _{R}(M)+\mathrm {depth} (M)=\mathrm {depth} (R).$

Кольца нулевой глубины

Коммутативное нётерово локальное кольцо. $R$ имеет нулевую глубину тогда и только тогда, когда его максимальный идеал ${\mathfrak {m}}$ является ассоциированным простым числом или, что то же самое, когда существует ненулевой элемент $x$ из $R$ такой, что $x{\mathfrak {m}}=0$ (то есть, $x$ уничтожает ${\mathfrak {m}}$). По сути, это означает, что закрытая точка является встроенным компонентом .

Например, кольцо $k[x,y]/(x^{2},xy)$ (где $k$ — это поле), которое представляет собой строку ( $x=0$) со встроенной двойной точкой в ​​начале координат, имеет нулевую глубину в начале координат, но размерность один: это дает пример кольца, которое не является кольцом Коэна – Маколея .

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-94269-8 , МР   1322960
• Винфрид Брунс; Юрген Херцог, кольца Коэна-Маколея . Кембриджские исследования по высшей математике, 39. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1993. xii+403 стр. ISBN   0-521-41068-1