Расстояние от точки до плоскости

В евклидовом пространстве расстояние от точки до плоскости — это расстояние между данной точкой и ее ортогональной проекцией на плоскость, расстояние по перпендикуляру до ближайшей точки на плоскости.

Его можно найти, начиная с замены переменных , которая перемещает начало координат так, чтобы оно совпадало с заданной точкой, а затем находя точку на сдвинутой плоскости. $ax+by+cz=d$ то, что ближе всего к источнику . Полученная точка имеет декартовы координаты. $(x,y,z)$:

$\displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$.

Расстояние между началом координат и точкой $(x,y,z)$ является ${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$.

Преобразование общей проблемы в проблему расстояния от начала координат

Предположим, мы хотим найти ближайшую точку на плоскости к точке ( $X_{0},Y_{0},Z_{0}$), где плоскость определяется выражением $aX+bY+cZ=D$. Мы определяем $x=X-X_{0}$, $y=Y-Y_{0}$, $z=Z-Z_{0}$, и $d=D-aX_{0}-bY_{0}-cZ_{0}$, чтобы получить $ax+by+cz=d$ как плоскость, выраженная через преобразованные переменные. Теперь проблема стала заключаться в поиске ближайшей точки на этой плоскости к началу координат и ее расстоянии от начала координат. Точку на плоскости в исходных координатах можно найти из этой точки, используя приведенные выше соотношения между $x$ и $X$, между $y$ и $Y$и между $z$ и $Z$; расстояние в исходных координатах такое же, как расстояние в пересмотренных координатах.

Переформулировка с использованием линейной алгебры

Формулу для ближайшей точки к началу координат можно выразить более кратко, используя обозначения линейной алгебры . Выражение $ax+by+cz$ в определении плоскость - это скалярное произведение $(a,b,c)\cdot (x,y,z)$, и выражение $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ в решении появляется квадрат нормы $|(a,b,c)|^{2}$. Таким образом, если $\mathbf {v} =(a,b,c)$ — заданный вектор, плоскость можно описать как набор векторов $\mathbf {w}$ для чего $\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =d$ и ближайшей точкой на этой плоскости к началу координат является вектор

$\mathbf {p} ={\frac {\mathbf {v} d}{|\mathbf {v} |^{2}}}$.

Евклидово расстояние от начала координат до плоскости является нормой этой точки,

${\frac {|d|}{|\mathbf {v} |}}={\frac {|d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

Почему это самая близкая точка

Как в координатной, так и в векторной формулировке можно проверить, что данная точка лежит на заданной плоскости, подставив ее в уравнение плоскости.

Чтобы увидеть, что это ближайшая точка к началу координат на плоскости, заметим, что $\mathbf {p}$ является скалярным кратным вектора $\mathbf {v}$ определяющий плоскость и, следовательно, ортогональный плоскости.Таким образом, если $\mathbf {q}$ любая точка плоскости, отличная от $\mathbf {p}$ себя, то сегменты линии от начала координат до $\mathbf {p}$ и из $\mathbf {p}$ к $\mathbf {q}$ образуют прямоугольный треугольник , а по теореме Пифагора расстояние от начала координат до $q$ является

${\sqrt {|\mathbf {p} |^{2}+|\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}}}$.

С $|\mathbf {p} -\mathbf {q} |^{2}$ должно быть положительным числом, это расстояние больше, чем $|\mathbf {p} |$, расстояние от начала координат до $\mathbf {p}$.

Альтернативно, можно переписать уравнение плоскости, используя скалярное произведение с $\mathbf {p}$ вместо исходного скалярного произведения с $\mathbf {v}$ (поскольку эти два вектора скалярно кратны друг другу), после чего тот факт, что $\mathbf {p}$ является ближайшей точкой, становится непосредственным следствием неравенства Коши – Шварца .

Ближайшая точка и расстояние для гиперплоскости и произвольной точки

Векторное уравнение гиперплоскости в $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ через точку $\mathbf {p}$ с нормальным вектором $\mathbf {a} \neq \mathbf {0}$ является $(\mathbf {x} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} =0$ или $\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =d$ где $d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a}$. Соответствующая декартова форма $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=d$ где $d=\mathbf {p} \cdot \mathbf {a} =a_{1}p_{1}+a_{2}p_{2}+\cdots a_{n}p_{n}$.

Ближайшая точка на этой гиперплоскости к произвольной точке $\mathbf {y}$ является

$\mathbf {x} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} =\mathbf {y} -\left[{\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a}$

и расстояние от $\mathbf {y}$ на гиперплоскость

$\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|=\left\|\left[{\dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} \right\|={\dfrac {\left|(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} \right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\dfrac {\left|\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d\right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}$.

Написанная в декартовой форме, ближайшая точка определяется выражением $x_{i}=y_{i}-ka_{i}$ для $1\leq i\leq n$ где

$k={\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\dfrac {a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}$,

и расстояние от $\mathbf {y}$ на гиперплоскость

${\dfrac {\left|a_{1}y_{1}+a_{2}y_{2}+\cdots a_{n}y_{n}-d\right|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots a_{n}^{2}}}}$.

Таким образом, в $\mathbb {R} ^{3}$ точка на плоскости $ax+by+cz=d$ ближайший к произвольной точке $(x_{1},y_{1},z_{1})$ является $(x,y,z)$ данный

$\left.{\begin{array}{l}x=x_{1}-ka\\y=y_{1}-kb\\z=z_{1}-kc\end{array}}\right\}$

где

$k={\dfrac {ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$,

а расстояние от точки до плоскости равно

${\dfrac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

См. также

• Расстояние от точки до линии
• Гессенская нормальная форма
• Наклонные линии § Расстояние