Список форм с известной константой упаковки

Константа упаковки геометрического тела — это наибольшая средняя плотность, достигаемая за счет упаковки конгруэнтных копий тела. Для большинства тел значение константы упаковки неизвестно. ^[1] Ниже приводится список тел в евклидовых пространствах, константа упаковки которых известна. ^[1] Фейес Тот доказал, что на плоскости точечно-симметричное тело имеет константу упаковки, равную его константе поступательной упаковки и константе решеточной упаковки. ^[2] Следовательно, любое такое тело, для которого константа упаковки решетки была ранее известна, например любой эллипс , следовательно, имеет известную константу упаковки. Помимо этих тел, константы упаковки гиперсфер в 8- и 24-мерном измерениях. почти точно известны ^[3]

Описание	Измерение	Константа упаковки	Комментарии
Моноэдральные прототипы	все	1	Формы, такие, что конгруэнтные копии могут образовывать мозаику пространства.
Круг , Эллипс	2	$π / \sqrt 12 \approx 0,906900$	Доказательство, приписываемое Туэ ^[4]
Правильный пятиугольник	2	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{3}}\approx 0.92131$	Томас Хейлз и Воден Куснер ^[5]
Сглаженный восьмиугольник	2	$\eta _{so}={\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.902414$	Рейнхардт ^[6]
Все двукратно симметричные выпуклые многоугольники	2		Алгоритм линейного времени (по количеству вершин), предложенный Маунтом и Рут Сильверман. ^[7]
Сфера	3	$π / \sqrt 18 \approx 0,7404805$	См. гипотезу Кеплера.
Би-бесконечный цилиндр	3	$π / \sqrt 12 \approx 0,906900$	Бездек и Куперберг ^[8]
Полубесконечный цилиндр	3	$π / \sqrt 12 \approx 0,906900$	Воден Куснер ^[9]
Все формы, содержащиеся в ромбододекаэдре, вписанная сфера которого содержится в форме	3	Доля объема ромбододекаэдра, заполненная формой	Следствие гипотезы Кеплера . На фото примеры: ромбокубооктаэдр и ромбический эннеаконтаэдр .
Гиперсфера	8	${\frac {({\frac {\pi }{2}})^{4}}{4!}}\approx 0.2536695$	См. упаковку гиперсферы. ^[10]^[11]
Гиперсфера	24	${\frac {({\frac {\pi }{2}})^{12}}{12!}}\approx 0.000000471087$	См. упаковку гиперсферы.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Бездек, Андраш; Куперберг, Влодзимеж (2010). «Плотная упаковка пространства различными выпуклыми телами». arXiv : 1008.2398v1 [ math.MG ].
^ Фейеш Тот, Ласло (1950). «Некоторые теоремы об упаковке и покрытии». Акта Математика. Сегед . 12 .
^ Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2009). «Оптимальность и единственность решетки Лича среди решеток». Анналы математики . 170 (3): 1003–1050. arXiv : math/0403263 . дои : 10.4007/анналы.2009.170.1003 . S2CID 10696627 .
^ Чанг, Хай-Чау; Ван, Ли-Чунг (2010). «Простое доказательство теоремы Туэ об упаковке кругов». arXiv : 1009.4322v1 [ math.MG ].
^ Хейлз, Томас; Куснер, Веден (2016). «Упаковки правильных пятиугольников на плоскости». arXiv : 1602.07220 [ math.MG ].
^ Рейнхардт, Карл (1934). «О плотнейшем решеточном носителе конгруэнтных областей на плоскости и особом виде выпуклых кривых». Деф. Гамбург . 10 :216-230. дои : 10.1007/bf02940676 . S2CID 120336230 .
^ Маунт, Дэвид М.; Сильверман, Рут (1990). «Упаковка и покрытие плоскости трансляциями выпуклого многоугольника». Журнал алгоритмов . 11 (4): 564–580. дои : 10.1016/0196-6774(90)90010-C .
^ Бездек, Андраш; Куперберг, Влодзимеж (1990). «Пространственная упаковка максимальной плотности с конгруэнтными круглыми цилиндрами бесконечной длины». Математика . 37 : 74–80. дои : 10.1112/s0025579300012808 .
^ Куснер, Веден (2014). «Верхние границы плотности упаковки для круглых цилиндров с большим удлинением» . Дискретная и вычислительная геометрия . 51 (4): 964–978. arXiv : 1309.6996 . дои : 10.1007/s00454-014-9593-6 . S2CID 38234737 .
^ Кларрайх, Эрика (30 марта 2016 г.), «Упаковка сфер решена в более высоких измерениях» , журнал Quanta
^ Вязовская, Марина (2016). «Задача упаковки сфер в размерности 8». Анналы математики . 185 (3): 991–1015. arXiv : 1603.04246 . дои : 10.4007/анналы.2017.185.3.7 . S2CID 119286185 .

[KB10-1] Jump up to: ^а ^б Бездек, Андраш; Куперберг, Влодзимеж (2010). «Плотная упаковка пространства различными выпуклыми телами». arXiv : 1008.2398v1 [ math.MG ].

[LFT-2] Фейеш Тот, Ласло (1950). «Некоторые теоремы об упаковке и покрытии». Акта Математика. Сегед . 12 .

[CohnKumar-3] Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2009). «Оптимальность и единственность решетки Лича среди решеток». Анналы математики . 170 (3): 1003–1050. arXiv : math/0403263 . дои : 10.4007/анналы.2009.170.1003 . S2CID 10696627 .

[Thue-4] Чанг, Хай-Чау; Ван, Ли-Чунг (2010). «Простое доказательство теоремы Туэ об упаковке кругов». arXiv : 1009.4322v1 [ math.MG ].

[HalesKusner-5] Хейлз, Томас; Куснер, Веден (2016). «Упаковки правильных пятиугольников на плоскости». arXiv : 1602.07220 [ math.MG ].

[Reinhardt-6] Рейнхардт, Карл (1934). «О плотнейшем решеточном носителе конгруэнтных областей на плоскости и особом виде выпуклых кривых». Деф. Гамбург . 10 :216-230. дои : 10.1007/bf02940676 . S2CID 120336230 .

[MountSilverman-7] Маунт, Дэвид М.; Сильверман, Рут (1990). «Упаковка и покрытие плоскости трансляциями выпуклого многоугольника». Журнал алгоритмов . 11 (4): 564–580. дои : 10.1016/0196-6774(90)90010-C .

[KB90-8] Бездек, Андраш; Куперберг, Влодзимеж (1990). «Пространственная упаковка максимальной плотности с конгруэнтными круглыми цилиндрами бесконечной длины». Математика . 37 : 74–80. дои : 10.1112/s0025579300012808 .

[Kusner1-9] Куснер, Веден (2014). «Верхние границы плотности упаковки для круглых цилиндров с большим удлинением» . Дискретная и вычислительная геометрия . 51 (4): 964–978. arXiv : 1309.6996 . дои : 10.1007/s00454-014-9593-6 . S2CID 38234737 .

[quanta-10] Кларрайх, Эрика (30 марта 2016 г.), «Упаковка сфер решена в более высоких измерениях» , журнал Quanta

[11] Вязовская, Марина (2016). «Задача упаковки сфер в размерности 8». Анналы математики . 185 (3): 991–1015. arXiv : 1603.04246 . дои : 10.4007/анналы.2017.185.3.7 . S2CID 119286185 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]