Фактор Гамова

Фактор Гамова , фактор Зоммерфельда или фактор Гамова – Зоммерфельда , названный в честь своего первооткрывателя Георгия Гамова или в честь Арнольда Зоммерфельда , является фактором вероятности того, что две ядерные частицы преодолеют кулоновский барьер и вступят в ядерные реакции, например, при ядерном синтезе . Согласно классической физике , у протонов почти нет возможности сливаться, пересекая кулоновский барьер друг друга при температурах, которые обычно вызывают синтез, например, на Солнце . Когда Джордж Гамов вместо этого применил к проблеме квантовую механику , он обнаружил, что существует значительная вероятность термоядерного синтеза из-за туннелирования .

Вероятность преодоления двумя ядерными частицами своих электростатических барьеров определяется следующим уравнением:

$P_{\text{G}}(E)=e^{-{\sqrt {{E_{\text{G}}}/{E}}}}$

где $E_{\text{G}}$ – энергия Гамова,

$E_{\text{G}}\equiv 2m_{\text{r}}c^{2}(\pi \alpha Z_{\text{a}}Z_{\text{b}})^{2}$

Здесь, $m_{\text{r}}={\frac {m_{\text{a}}m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$ - приведенная масса двух частиц. Константа $\alpha$ – константа тонкой структуры , $c$ это скорость света , а $Z_{\text{a}}$ и $Z_{\text{b}}$ — соответствующие атомные номера каждой частицы.

Хотя вероятность преодоления кулоновского барьера быстро возрастает с увеличением энергии частицы, для данной температуры вероятность того, что частица будет иметь такую ​​энергию, очень быстро падает, как это описано распределением Максвелла-Больцмана . Гамов обнаружил, что в совокупности эти эффекты означают, что при любой заданной температуре сливающиеся частицы в основном находятся в зависящем от температуры узком диапазоне энергий, известном как окно Гамова .

Вывод

Гамов впервые решил одномерный случай квантового туннелирования, используя приближение ВКБ . Рассматривая волновую функцию частицы массы m , примем область 1 за место испускания волны, область 2 за потенциальный барьер, имеющий высоту V и ширину l (при $0<x<l$), а область 3 — с другой стороны, куда приходит волна, частично прошедшая и частично отраженная. Для волнового числа k и энергии E получим:

$\Psi _{1}=Ae^{i(kx+\alpha )}e^{-i{Et}/{\hbar }}$

$\Psi _{2}=B_{1}e^{-k'x}+B_{2}e^{k'x}$

$\Psi _{3}=(C_{1}e^{-i(kx+\beta )}+C_{2}e^{i(kx+\beta ')})e^{-i{Et}/{\hbar }}$

где $k={\sqrt {2mE}}$ и ${\textstyle k'={\sqrt {2m(V-E)}}}$. Эта задача решается для заданных A и α путем принятия граничных условий на обоих краях барьера, при $x=0$ и $x=l$, где оба $\Psi$ и его производная должна быть равна с обеих сторон. Для $k'l\gg 1$, это легко решить, игнорируя экспоненту времени и рассматривая только действительную часть (мнимая часть ведет себя так же). Получаем с точностью до множителей в зависимости от фаз, которые обычно имеют порядок 1, и с точностью до множителей порядка ${\textstyle {k}/{k'}={\sqrt {{E}/{(V-E)}}}}$ (предполагается не очень большим, поскольку V не незначительно больше, чем E ):

$B_{1},B_{2}\approx A$

$C_{1},C_{2}\approx {\frac {1}{2}}A\cdot {\frac {k'}{k}}\cdot e^{k'l}$

Затем Гамов смоделировал альфа-распад как симметричную одномерную задачу со стоячей волной между двумя симметричными потенциальными барьерами при $q_{0}<x<q_{0}+l$ и $-(q_{0}+l)<x<-q_{0}$и излучает волны по обеим внешним сторонам барьеров. Решить эту задачу в принципе можно, взяв решение первой задачи и переведя ее с помощью $q_{0}$ и приклеиваем его к идентичному решению, отраженному вокруг $x=0$.

В силу симметрии задачи излучающие волны с обеих сторон должны иметь равные амплитуды ( А ), но их фазы ( α ) могут быть разными. Это дает один дополнительный параметр; однако, склеивая два решения в $x=0$ требует двух граничных условий (как для волновой функции, так и для ее производной), поэтому, как правило, решения нет. В частности, переписывание $\Psi _{3}$ (после перевода $q_{0}$) как сумму косинуса и синуса $kx$, каждый из которых имеет свой множитель, зависящий от k и α , множитель синуса должен исчезнуть, чтобы решение можно было приклеить симметрично к его отражению. Поскольку множитель, как правило, является сложным (следовательно, его исчезновение накладывает два ограничения, представляющие два граничных условия), в общем, эту проблему можно решить, добавив мнимую часть k , что дает необходимый дополнительный параметр. Таким образом, E также будет иметь мнимую часть.

Физический смысл этого состоит в том, что стоячая волна в середине затухает; следовательно, вновь излучаемые волны имеют меньшую амплитуду, так что их амплитуда затухает во времени, но растет с расстоянием. Константа распада, обозначаемая λ , считается малой по сравнению с $E/\hbar$.

λ можно оценить без явного решения, отметив его влияние на закон сохранения вероятностного тока . Поскольку вероятность течет от середины к сторонам, имеем:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{-(q_{0}+l)}^{(q_{0}+l)}\Psi ^{*}\Psi \ dx=2\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{1}^{*}{\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}-\Psi _{1}{\frac {\partial \Psi _{1}^{*}}{\partial x}}\right),$

Обратите внимание, что коэффициент 2 обусловлен наличием двух излучаемых волн.

принимая $\Psi \sim e^{-\lambda t}$, это дает:

$\lambda \cdot {\frac {1}{4}}\cdot 2(q_{0}+l)A^{2}{\frac {k'^{2}}{k^{2}}}\cdot e^{2k'l}\approx 2{\frac {\hbar }{m}}A^{2}k,$

Поскольку квадратичная зависимость в $k'l$ пренебрежимо мал по сравнению с его экспоненциальной зависимостью, мы можем написать:

$\lambda \approx {\frac {\hbar k}{m(q_{0}+l)}}{\frac {k^{2}}{k'^{2}}}\cdot e^{-2k'l}$

Помня, что мнимая часть, добавленная к k , намного меньше действительной части, теперь мы можем пренебречь ею и получить:

$\lambda \approx {\frac {\hbar k}{m2(q_{0}+l)}}\cdot 8{\frac {E}{V-E}}\cdot e^{-2{\sqrt {2m(V-E)}}l/\hbar }$

Обратите внимание, что ${\frac {\hbar k}{m}}$ — скорость частицы, поэтому первый фактор — это классическая скорость, с которой частица, захваченная между барьерами, сталкивается с ними.

Наконец, переходя к трехмерной задаче, сферически-симметричное уравнение Шредингера имеет вид (разлагая волновую функцию $\psi (r,\theta ,\phi )=\chi (r)u(\theta ,\phi )$ в сферических гармониках и глядя на n-й член):

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d^{2}\chi }{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d\chi }{dr}}\right)=\left(V(r)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {n(n+1)}{r^{2}}}-E\right)\chi$

С $n>0$ сводится к увеличению потенциала и, следовательно, к существенному уменьшению скорости затухания (учитывая ее экспоненциальную зависимость от ${\sqrt {V-E}}$), мы ориентируемся на $n=0$и получим задачу, очень похожую на предыдущую, с $\chi (r)=\Psi (r)/r$, за исключением того, что теперь потенциал как функция r не является ступенчатой ​​функцией.

Основное влияние этого на амплитуды состоит в том, что мы должны заменить аргумент в показателе степени, взяв интеграл от ${\textstyle 2{\sqrt {2m(V-E)}}/\hbar }$ на расстоянии, где $V(r)>E$ вместо того, чтобы умножать на l . Возьмем кулоновский потенциал :

$V(r)={\frac {z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}$

где $\varepsilon _{0}$ - электрическая проницаемость вакуума , e - , заряд электрона z = 2 - число заряда альфа-частицы и Z - число заряда ядра ( Z - z после испускания частицы). Тогда пределы интегрирования равны $r_{2}={\frac {z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}E}}$, где мы предполагаем, что ядерная потенциальная энергия все еще относительно мала, и $r_{1}$, где отрицательная потенциальная энергия ядра достаточно велика, так что общий потенциал меньше E . Таким образом, аргумент показателя степени по λ равен:

$2{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {{\frac {V(r)}{E}}-1}}\,dr=2{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\sqrt {{\frac {r_{2}}{r}}-1}}\,dr$

Это можно решить заменой $t={\sqrt {r/r_{2}}}$ а потом $t=cos(\theta )$ и решение для θ, давая:

$2\cdot r_{2}{\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\cdot (\cos ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}})=2{\frac {{\sqrt {2m}}z(Z-z)e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar {\sqrt {E}}}}\cdot (\cos ^{-1}({\sqrt {x}})-{\sqrt {x}}{\sqrt {1-x}})$

где $x=r_{1}/r_{2}$. Поскольку x мало, фактор, зависящий от x, имеет порядок 1.

Гамов предположил $x\ll 1$, заменяя таким образом зависящий от x фактор на $\pi /2$, давая: $\lambda \sim e^{-{\sqrt {{E_{g}}/{E}}}}$ с:

$E_{g}={\frac {2\pi ^{2}m\left[z(Z-z)e^{2}\right]^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}}$

что совпадает с формулой, приведенной в начале статьи с $Z_{\text{a}}=z$, $Z_{\text{b}}=Z-z$ и константа тонкой структуры $\alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}$.

Для радия альфа-распада Z = 88, z = 2 и m = 4 m _p , E _G составляет примерно 50 ГэВ . Гамов рассчитал наклон $\log(\lambda )$ по отношению к E при энергии 5 МэВ составит ~ 10 ¹⁴ Дж ⁻¹ , по сравнению с экспериментальным значением 0,7 × 10 ¹⁴ Дж ⁻¹ .

Внешние ссылки

• Моделирование периода полураспада альфа (Университет штата Джорджия)