Гармоническое распределение

Гармонический
	Функция плотности вероятности
	Кумулятивная функция распределения
Обозначения
Параметры	м ≥ 0, а ≥ 0
Поддерживать	х > 0
PDF
Иметь в виду
медиана	м
Режим
Дисперсия
асимметрия
Избыточный эксцесс	(см. текст)

В теории вероятностей и статистике гармоническое распределение представляет собой непрерывное распределение вероятностей . Его обнаружил Этьен Халфен , который заинтересовался статистическим моделированием природных явлений. Его практический опыт в анализе данных побудил его разработать новую систему распределений, которая обеспечивала достаточную гибкость для работы с большим разнообразием наборов данных. Халфен ограничил свой поиск распределениями, параметры которых можно было оценить с помощью простых статистических подходов. Затем Халфен впервые представил то, что он назвал гармоническим распределением или гармоническим законом. Гармонический закон является частным случаем семейства обобщенного обратного гауссова распределения, когда $\gamma =0$ .

История

Одной из задач Халфена, когда он работал статистиком в компании Electricité de France, было моделирование ежемесячного расхода воды на гидроэлектростанциях. Халфен понял, что систему вероятностных распределений Пирсона невозможно решить; несмотря на свои замечательные свойства, он не подходил для его целей. Поэтому целью Халфена было получить распределение вероятностей с двумя параметрами, подверженное экспоненциальному затуханию как для больших, так и для малых потоков.

В 1941 году Халфен решил, что в подходящих единицах измерения плотность X должна быть такой же, как плотность 1/ X . ^{[ 1 ]} Приняв это во внимание, Халфен нашел функцию плотности гармоник. В настоящее время известное как гиперболическое распределение , оно изучалось Рухиным (1974) и Барндорффом-Нильсеном (1978). ^{[ 2 ]}

Гармонический закон — единственное двухпараметрическое семейство распределений, замкнутое при изменении масштаба. и при обратных величинах, так что оценкой максимального правдоподобия генерального среднего является выборка среднее значение (принцип Гаусса). ^{[ 3 ]}

В 1946 году Халфен понял, что введением дополнительного параметра можно улучшить гибкость. Его усилия привели его к обобщению гармонического закона для получения обобщенной обратной плотности распределения Гаусса . ^{[ 1 ]}

Определение

Обозначения

Гармоническое распределение будем обозначать через $\theta (m,a)$ . В результате, когда случайная величина X распределяется по гармоническому закону, параметром масштаба m является медиана совокупности, а a параметром формы является параметр .

X\ \sim \operatorname {Harm} (m,a)\,

Функция плотности вероятности

Плотность функции гармонического закона, зависящая от двух параметров: ^{[ 3 ]} имеет форму,

f(x;m,a)={\frac {1}{2xK_{0}(a)}}\exp \left(-{\frac {a}{2}}\left({\frac {x}{m}}+{\frac {m}{x}}\right)\right)

где

$K_{0}(a)$ обозначает третий вид модифицированной функции Бесселя с индексом 0,
$m\geq 0,$
$a\geq 0.$

Характеристики

Моменты

Для получения выражения для нецентрального момента порядка r интегральное представление функции Бесселя . можно использовать ^{[ 4 ]}

\mu '_{r}=\int _{0}^{\infty }x^{r}f(x;m,a)\,dx=m^{r}{\frac {K_{r}(a)}{K_{0}(a)}}

где:

r обозначает порядок момента .

Следовательно, среднее значение и последующие три момента относительно него равны

Заказ	Момент	кумулятивный
1	$\mu _{1}=m{\frac {K_{1}(a)}{K_{0}(a)}}$	$\mu$
2	$\mu _{2}=m^{2}\left({\frac {K_{2}(a)}{K_{0}(a)}}-{\frac {K_{1}^{2}(a)}{K_{0}^{2}(a)}}\right)$	$\sigma ^{2}$
3	$\mu _{3}=m^{3}\left({\frac {K_{3}(a)}{K_{0}(a)}}-3{\frac {K_{1}(a)K_{2}(a)}{K_{0}^{2}(a)}}+2+{\frac {K_{1}^{2}(a)}{K_{0}^{3}(a)}}\right)$	$k_{3}$
4	$\mu _{4}=m^{4}\left({\frac {K_{4}(a)}{K_{0}(a)}}-4{\frac {K_{1}(a)K_{3}(a)}{K_{0}^{2}(a)}}+6{\frac {K_{1}^{2}(a)K_{2}(a)}{K_{0}^{3}(a)}}-3{\frac {K_{1}^{4}(a)}{K_{0}^{4}(a)}}\right)$	$k_{4}$

асимметрия

Асимметрия — это третий стандартизированный момент вокруг среднего значения, деленный на степень 3/2 стандартного отклонения , с которым мы работаем, ^{[ 4 ]}

\gamma _{1}={\frac {\mu _{3}}{\mu _{2}^{3/2}}}={\frac {K_{0}^{2}(a)K_{3}(a)-3K_{0}(a)K_{1}(a)K_{2}(a)+2K_{1}^{3}(a)}{(K_{0}(a)K_{2}(a)-K_{1}^{2}(a))^{3/2}}}

Всегда $\gamma _{1}>0$ , поэтому масса распределения сосредоточена слева.

Куртозис

Коэффициент эксцесса — это четвертый стандартизированный момент, деленный на квадрат дисперсии. Для гармонического распределения он равен ^{[ 4 ]}

\gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}={\frac {K_{0}^{3}(a)K_{4}(a)-4K_{0}^{2}(a)K_{1}(a)K_{3}(a)+6K_{0}(a)K_{1}^{2}(a)K_{2}(a)-3K_{1}^{4}(a)}{(K_{0}(a)K_{2}(a)-K_{1}^{2}(a))^{2}}}

Всегда $\gamma _{2}>0$ распределение имеет высокий острый пик вокруг среднего и более толстых хвостов.

Оценка параметров

Оценка максимального правдоподобия

Функция правдоподобия

L(a,m)=\prod _{i=1}^{n}f(x_{i}\mid a,m)=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{2x_{i}K_{0}(a)}}\exp \left[-{\frac {a}{2}}\left({\frac {x_{i}}{m}}+{\frac {m}{x_{i}}}\right)\right].

После этого логарифмического правдоподобия функция будет равна

\ell (a,m)=\ln L(a,m)=-n\ln(2K_{0}(a))-\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}+{\frac {a}{2m}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+{\frac {am}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}.

Из логарифмической функции правдоподобия уравнения правдоподобия имеют вид

{\frac {\partial \ell }{\partial a}}=-n{\frac {K_{0}'(a)}{K_{0}(a)}}+{\frac {1}{2m}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+{\frac {m}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}=0,

{\frac {\partial \ell }{\partial m}}={\frac {1}{2m^{2}}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+{\frac {a}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}=0.

Эти уравнения допускают только численное решение относительно a , но мы имеем

{\hat {m}}={\sqrt {\frac {\bar {H}}{{\bar {H}}_{-1}}}};\qquad {\sqrt {{\bar {H}}{\bar {H}}_{-1}}}={\frac {K_{1}({\hat {a}})}{K_{0}({\hat {a}})}}.

Метод моментов

и Среднее значение дисперсия гармонического распределения равны: ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

{\begin{cases}\mu =m{\frac {K_{1}(a)}{K_{0}(a)}}\\\sigma ^{2}=m^{2}\left(1+{\frac {2K_{1}(a)}{K_{0}(a)a}}-{\frac {K_{1}^{2}(a)}{K_{0}^{2}(a)}}\right)\end{cases}}

Обратите внимание, что

\sigma ^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {2K_{0}(a)}{K_{1}(a)}}\right)^{2}+{\frac {2K_{0}(a)\mu ^{2}}{K_{1}(a)a}}-\mu ^{2}

Метод моментов заключается в решении следующих уравнений:

{\begin{cases}{\bar {H}}=m{\frac {K_{1}(a)}{K_{0}(a)}}\\s^{2}={\bar {H}}^{2}\left({\frac {2K_{0}(a)}{K_{1}(a)}}\right)^{2}+{\frac {2K_{0}(a){\bar {H}}^{2}}{K_{1}(a)a}}-{\bar {H}}^{2}\end{cases}}

где $s^{2}$ - выборочная дисперсия и ${\bar {H}}$ – выборочное среднее. Решая второе уравнение, получаем ${\hat {a}}$ , а затем вычисляем ${\hat {m}}$ с использованием

{\hat {m}}={\frac {{\bar {H}}K_{0}({\hat {a}})}{K_{1}({\hat {a}})}}.

Связанные дистрибутивы

Гармонический закон является подсемейством обобщенного обратного распределения Гаусса . Плотность семейства ГИГ имеет вид

f(x\mid m,\gamma )={\frac {x^{\gamma -1}}{2m^{\gamma }K_{\gamma }(a)}}\exp \left[-{\frac {a}{2}}\left({\frac {x}{m}}+{\frac {m}{x}}\right)\right]

Плотность семейства обобщенных обратных распределений Гаусса соответствует гармоническому закону, когда $\gamma =0$ . ^{[ 3 ]}

Когда $a$ стремится к бесконечности, гармонический закон можно аппроксимировать нормальным распределением . На это указывает демонстрация того, что если $a$ стремится к бесконечности, то $U={\sqrt {a}}\left({\frac {X}{m}}-1\right)$ , которое является линейным преобразованием X , стремится к нормальному распределению ( $N(0,1)$ ).

Это объясняет, почему нормальное распределение можно успешно использовать для определенных наборов данных о соотношениях. ^{[ 4 ]}

Другое родственное распределение — это логарифмический закон, который представляет собой распределение вероятностей случайной величины , логарифм которой подчиняется гармоническому закону.

Это семейство обладает интересным свойством: оценка Питмана параметра местоположения не зависит от выбора функции потерь. Только две статистические модели удовлетворяют этому свойству: одна представляет собой нормальное семейство распределений, а другая представляет собой трехпараметрическую статистическую модель, содержащую закон логарифмической гармоники. ^{[ 2 ]}

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Котс, Сэмюэл Л. (1982–1989). Энциклопедия статистических наук . Том. 5. С. 3059–3061, 3069–3072.
^ Перейти обратно: ^а ^б Рухин А.Л. (1978). «Сильно симметричные семейства и статистический анализ их параметров». Журнал советской математики . 9 (6): 886–910. дои : 10.1007/BF01092900 . S2CID 123063626 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Пуч, Пере (2008). «Заметки о гармоническом законе: двухпараметрическое семейство распределений отношений». Статистика и вероятностные буквы . 78 (3): 320–326. дои : 10.1016/j.spl.2007.07.024 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Перро, Л.; Бобе, Б.; Расмуссен, П.Ф. (1999). «Система распределения Халфена. I: Математические и статистические свойства». Журнал гидрологической техники . 4 (3): 189–199. дои : 10.1061/(ASCE)1084-0699(1999)4:3(189) .

[kots-1] Перейти обратно: ^а ^б Котс, Сэмюэл Л. (1982–1989). Энциклопедия статистических наук . Том. 5. С. 3059–3061, 3069–3072.

[rukhin-2] Перейти обратно: ^а ^б Рухин А.Л. (1978). «Сильно симметричные семейства и статистический анализ их параметров». Журнал советской математики . 9 (6): 886–910. дои : 10.1007/BF01092900 . S2CID 123063626 .

[puig-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Пуч, Пере (2008). «Заметки о гармоническом законе: двухпараметрическое семейство распределений отношений». Статистика и вероятностные буквы . 78 (3): 320–326. дои : 10.1016/j.spl.2007.07.024 .

[per1-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Перро, Л.; Бобе, Б.; Расмуссен, П.Ф. (1999). «Система распределения Халфена. I: Математические и статистические свойства». Журнал гидрологической техники . 4 (3): 189–199. дои : 10.1061/(ASCE)1084-0699(1999)4:3(189) .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]