Изменение формы тензора

В полилинейной алгебре изменение формы тензоров — это любая биекция множеством индексов порядка — между $M$ тензор и набор индексов порядка- $L$ тензор, где $L<M$. Использование индексов предполагает наличие тензоров в координатном представлении относительно базиса. Координатное представление тензора можно рассматривать как многомерный массив, и поэтому биекция одного набора индексов в другой представляет собой перестановку элементов массива в массив другой формы. Такая перестановка представляет собой особый вид линейного отображения между векторным пространством порядка- $M$ тензоры и векторное пространство порядка- $L$ тензоры.

Определение

Учитывая положительное целое число $M$, обозначение $[M]$ относится к набору $\{1,\dots ,M\}$ первых M положительных целых чисел.

Для каждого целого числа $m$ где $1\leq m\leq M$ для положительного целого числа $M$, позволять $V_{m}$ обозначают $I_{m}$- размерное векторное пространство над полем $F$. Тогда существуют изоморфизмы векторного пространства (линейные отображения)

$${\begin{aligned}V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{M}&\simeq F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}I_{\pi _{2}}}\otimes F^{I_{\pi _{3}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\simeq F^{I_{\pi _{1}}I_{\pi _{3}}}\otimes F^{I_{\pi _{2}}}\otimes F^{I_{\pi _{4}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi _{M}}}\\&\,\,\,\vdots \\&\simeq F^{I_{1}I_{2}\ldots I_{M}},\end{aligned}}$$

где $\pi \in {\mathfrak {S}}_{M}$ любая перестановка и ${\mathfrak {S}}_{M}$ является симметрической группой на $M$ элементы. Благодаря этим (и другим) изоморфизмам векторного пространства тензор можно интерпретировать несколькими способами как порядковый номер. $L$ тензор где $L\leq M$.

Координатное представление

Первый изоморфизм векторного пространства в списке выше: $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{M}\simeq F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}$, дает координатное представление абстрактного тензора. Предположим, что каждый из $M$ векторные пространства $V_{m}$ имеет основу $\{v_{1}^{m},v_{2}^{m},\ldots ,v_{I_{m}}^{m}\}$. Выражение тензора относительно этого базиса имеет вид $${\mathcal {A}}=\sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}v_{i_{1}}^{1}\otimes v_{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes v_{i_{M}}^{M},$$ где коэффициенты $a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}$ являются элементами $F$. Координатное представление ${\mathcal {A}}$ является $$\sum _{i_{1}=1}^{I_{1}}\ldots \sum _{i_{M}=1}^{I_{M}}a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}\mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \mathbf {e} _{i_{2}}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M},$$где $\mathbf {e} _{i}^{m}$ это $i^{\text{th}}$ стандартный базисный вектор $F^{I_{m}}$. Это можно рассматривать как M -массив, элементами которого являются коэффициенты $a_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M}}$.

Общие выравнивания

Для любой перестановки $\pi \in {\mathfrak {S}}_{M}$ существует канонический изоморфизм между двумя тензорными произведениями векторных пространств $V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{M}$ и $V_{\pi (1)}\otimes V_{\pi (2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (M)}$. Круглые скобки в таких произведениях обычно опускаются из-за естественного изоморфизма между $V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})$ и $(V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}$, но, конечно, может быть введен вновь, чтобы подчеркнуть определенную группу факторов. В группировке, $$(V_{\pi (1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{1})})\otimes (V_{\pi (r_{1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{2})})\otimes \cdots \otimes (V_{\pi (r_{L-1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{L})}),$$есть $L$ группы с $r_{l}-r_{l-1}$ факторы в $l^{\text{th}}$ группа (где $r_{0}=0$ и $r_{L}=M$).

Сдача в аренду $S_{l}=(\pi (r_{l-1}+1),\pi (r_{l-1}+2),\ldots ,\pi (r_{l}))$ для каждого $l$ удовлетворяющий $1\leq l\leq L$, $(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})$-сплющивание тензора ${\mathcal {A}}$, обозначенный ${\mathcal {A}}_{(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{L})}$, получается путем применения двух вышеописанных процессов в каждом из $L$ группы факторов. То есть координатное представление $l^{\text{th}}$ группа факторов получается с помощью изоморфизма $(V_{\pi (r_{l-1}+1)}\otimes V_{\pi (r_{l-1}+2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{l})})\simeq (F^{I_{\pi (r_{l-1}+1)}}\otimes F^{I_{\pi (r_{l-1}+2)}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{\pi (r_{l})}})$, что требует указания баз для всех векторных пространств $V_{k}$. Затем результат векторизуется с использованием биекции. $\mu _{l}:[I_{\pi (r_{l-1}+1)}]\times [I_{\pi (r_{l-1}+2)}]\times \cdots \times [I_{\pi (r_{l})}]\to [I_{S_{l}}]$ чтобы получить элемент $F^{I_{S_{l}}}$, где ${\textstyle I_{S_{l}}:=\prod _{i=r_{l-1}+1}^{r_{l}}I_{\pi (i)}}$, произведение размерностей векторных пространств в $l^{\text{th}}$ группа факторов. Результатом применения этих изоморфизмов внутри каждой группы факторов является элемент $F^{I_{S_{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{S_{L}}}$, который является тензором порядка $L$.

Векторизация

С помощью биективного отображения $\mu :[I_{1}]\times \cdots \times [I_{M}]\to [I_{1}\cdots I_{M}]$, изоморфизм векторного пространства между $F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}$ и $F^{I_{1}\cdots I_{M}}$ строится посредством отображения $\mathbf {e} _{i_{1}}^{1}\otimes \cdots \mathbf {e} _{i_{m}}^{m}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{M}}^{M}\mapsto \mathbf {e} _{\mu (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{M})},$ где для каждого натурального числа $i$ такой, что $1\leq i\leq I_{1}\cdots I_{M}$, вектор $\mathbf {e} _{i}$ обозначает i -й стандартный базисный вектор $F^{i_{1}\cdots i_{M}}$. При таком преобразовании тензор просто интерпретируется как вектор в $F^{I_{1}\cdots I_{M}}$. Это известно как векторизация и аналогично векторизации матриц . Стандартный выбор биекции $\mu$ таков, что

$$\operatorname {vec} ({\mathcal {A}})={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},1,\ldots ,1}&a_{1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}^{T},$$

что соответствует тому, как оператор двоеточия в Matlab и GNU Octave преобразует тензор более высокого порядка в вектор. В общем, векторизация ${\mathcal {A}}$ вектор $[a_{\mu ^{-1}(i)}]_{i=1}^{I_{1}\cdots I_{M}}$.

Векторизация ${\mathcal {A}}$ обозначается $vec({\mathcal {A}})$ или ${\mathcal {A}}_{[:]}$ это $[S_{1},S_{2}]$- переформирование, где $S_{1}=(1,2,\ldots ,M)$ и $S_{2}=\emptyset$.

Mode- m Сглаживание/Mode- m Матрица

Позволять ${\mathcal {A}}\in F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}$ быть координатным представлением абстрактного тензора относительно базиса. Модное матричное преобразование (также известное как сведение ) ${\mathcal {A}}$ это $[S_{1},S_{2}]$-перестройка, при которой $S_{1}=(m)$ и $S_{2}=(1,2,\ldots ,m-1,m+1,\ldots ,M)$. Обычно стандартное матричное преобразование обозначается

$${\mathbf {A} }_{[m]}={\mathcal {A}}_{[S_{1},S_{2}]}$$

Это изменение формы иногда называют матризацией , матризацией , сглаживанием или развертыванием в литературе . Стандартный выбор для биекций $\mu _{1},\ \mu _{2}$ это тот, который совместим с функцией изменения формы в Matlab и GNU Octave, а именно

$${\mathbf {A} }_{[m]}:={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},1,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\a_{1,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},2,I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{1,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,I_{m},1,\ldots ,1}&\cdots &a_{I_{1},I_{2},\ldots ,I_{m-1},I_{m},I_{m+1},\ldots ,I_{M}}\end{bmatrix}}$$

определения Режим – матризация: $$[{\mathbf {A} }_{[m]}]_{jk}=a_{i_{1}\dots i_{m}\dots i_{M}},\;\;{\text{ where }}j=i_{m}{\text{ and }}k=1+\sum _{n=0 \atop n\neq m}^{M}(i_{n}-1)\prod _{l=0 \atop l\neq m}^{n-1}I_{l}.$$Модная матрица тензора ${\mathcal {A}}\in F^{I_{1}\times ...I_{M}},$ определяется как матрица ${\mathbf {A} }_{[m]}\in F^{I_{m}\times (I_{1}\dots I_{m-1}I_{m+1}\dots I_{M})}$. Как указывает порядок в скобках, векторы-столбцы мод- m располагаются по следующему принципу:просматривая все остальные индексы режима через их диапазоны,при этом меньшие индексы мод изменяются быстрее, чем большие; таким образом