Уравнения Дена – Соммервилля

В математике уравнения Дена–Соммервилля представляют собой полный набор линейных отношений между количеством граней разной размерности симплициального многогранника . Для многогранников размерности 4 и 5 они были найдены Максом Деном в 1905 году. Их общий вид был установлен Дунканом Соммервиллем в 1927 году. Уравнения Дена – Соммервилля можно переформулировать как условие симметрии для h -вектора симплициального многогранника и это стало стандартной формулировкой в ​​современной литературе по комбинаторике. В силу двойственности аналогичные уравнения справедливы и для простых многогранников .

Заявление

Пусть P — d -мерный симплициальный многогранник . Для i = 0, 1, ..., d 1 пусть f _i обозначает количество i -мерных граней P − . Последовательность

$f(P)=(f_{0},f_{1},\ldots ,f_{d-1})$

называется f -вектором многогранника P . Дополнительно установите

$f_{-1}=1,f_{d}=1.$

Тогда для любого k = −1, 0, ..., d − 2 справедливо следующее уравнение Дена – Соммервилля :

$\sum _{j=k}^{d-1}(-1)^{j}{\binom {j+1}{k+1}}f_{j}=(-1)^{d-1}f_{k}.$

Когда k = −1, это выражает тот факт, что эйлерова характеристика ( d − 1)-мерной симплициальной сферы равна 1 + (−1) ^{д - 1} .

Уравнения Дена–Соммервилля с разными k не являются независимыми. Существует несколько способов выбрать максимальное независимое подмножество, состоящее из ${\textstyle \left[{\frac {d+1}{2}}\right]}$ уравнения. Если d четно, то уравнения с k = 0, 2, 4, ..., d − 2 независимы. Другой независимый набор состоит из уравнений с k = −1, 1, 3, ..., d − 3. Если d нечетно, то уравнения с k = −1, 1, 3, ..., d − 2 образуют одно независимое множество, а уравнения с k = −1, 0, 2, 4, ..., d − 3 образуют другое.

Эквивалентные составы

Основная статья: h-вектор

Соммервилль нашел другой способ сформулировать эти уравнения:

$\sum _{i=-1}^{k-1}(-1)^{d+i}{\binom {d-i-1}{d-k}}f_{i}=\sum _{i=-1}^{d-k-1}(-1)^{i}{\binom {d-i-1}{k}}f_{i},$

где 0 ≤ k ≤ 1 ⁄ 2 (д−1). Этому можно еще больше облегчить введение понятия h -вектора P . Для k = 0, 1, ..., d пусть

$h_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {d-i}{k-i}}f_{i-1}.$

Последовательность

$h(P)=(h_{0},h_{1},\ldots ,h_{d})$

называется h - P . вектором f -вектор -вектор и h однозначно определяют друг друга соотношением

$\sum _{i=0}^{d}f_{i-1}(t-1)^{d-i}=\sum _{k=0}^{d}h_{k}t^{d-k}.$

Тогда уравнения Дена – Соммервилля можно просто переформулировать как

$h_{k}=h_{d-k}\quad {\text{ for }}0\leq k\leq d.$

Уравнения с 0 ≤ k ≤ 1 ⁄ 2 (d−1) независимы, а остальные явно эквивалентны им.

Ричард Стэнли дал интерпретацию компонентов h -вектора симплициального выпуклого многогранника P в терминах проективного торического многообразия X, ассоциированного с (двойственным) P . А именно, это размерности когомологий четных пересечений групп X :

$h_{k}=\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {IH} ^{2k}(X,\mathbb {Q} )$

когомологий нечетных пересечений (все группы X равны нулю). На этом языке последняя форма уравнений Дена–Соммервилля, симметрия h -вектора, является проявлением двойственности Пуанкаре в когомологиях пересечения X .

Ссылки

• Бранко Грюнбаум , Выпуклые многогранники . Второе издание. Тексты для аспирантов по математике, Vol. 221, Спрингер, 2003 г. ISBN   0-387-00424-6
• Ричард П. Стэнли , Комбинаторика и коммутативная алгебра . Второе издание. Прогресс в математике, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1996. ISBN   0-8176-3836-9
• ДМИ Соммервилль (1927) Отношения, связывающие суммы углов и объем многогранника в пространстве n измерений . Proceedings of the Royal Society Series A, 115:103–19, веб-ссылка из JSTOR .
• Гюнтер М. Циглер , Лекции по многогранникам . Спрингер , 1998. ISBN   0-387-94365-X