Вербальная арифметика

Вербальная арифметика , также известная как букваметика , криптоарифметика , криптоарифм или сложение слов , представляет собой тип математической игры, состоящей из математического уравнения среди неизвестных чисел , цифры которого представлены буквами алфавита. Цель: определить значение каждой буквы. Название можно распространить на головоломки, в которых вместо букв используются неалфавитные символы.

Уравнение обычно представляет собой базовую арифметическую операцию , такую как сложение , умножение или деление . Классический пример, опубликованный Генри Дьюдени в июльском номере журнала Strand Magazine за 1924 год : ^{[ 1 ]} является:

${\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}$

Решение этой головоломки: O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8 и S = 9.

Традиционно каждая буква должна представлять отдельную цифру, и (как в обычной арифметической записи) первая цифра многозначного числа не должна быть нулем. Хорошая головоломка должна иметь одно уникальное решение, а буквы должны составлять фразу (как в примере выше).

Словесная арифметика может быть полезна как мотивация и источник упражнений при преподавании элементарной алгебры .

История

Криптарифмические головоломки довольно старые, и их изобретатель неизвестен. Пример 1864 года в журнале «Американский агроном». ^{[ 2 ]} опровергает распространенное мнение о том, что его изобрел Сэм Лойд . Название «криптарифм» было придумано головоломкой Миносом (псевдоним Саймона Ватрикванта ) в майском номере бельгийского журнала развлекательной математики Sphinx за 1931 год и было переведено как «криптарифметика» Морисом Крайчиком в 1942 году. ^{[ 3 ]} В 1955 году Дж. Хантер ввел слово «алфаметический» для обозначения крипторифмов, таких как крипторифм Дудени, буквы которого образуют значимые слова или фразы. ^{[ 4 ]}

Виды крипторифмов

Типы крипторитмов включают буквенное, дигиметическое и скелетное деление.

алфавитный: Разновидность криптоарифма, в котором набор слов записывается в виде длинного сложения суммы или какой-либо другой математической задачи. Цель состоит в том, чтобы заменить буквы алфавита десятичными цифрами, чтобы получить действительную арифметическую сумму.
цифровой: Криптарифм, в котором цифры используются для обозначения других цифр.

Скелетный отдел: Длинное деление, в котором большая часть или все цифры заменяются символами (обычно звездочками), образующими крипторифм.

Решение крипторифмов

Решение криптоарифма вручную обычно включает в себя сочетание умозаключений и исчерпывающих проверок возможностей. Например, следующая последовательность выводов решает головоломку Дюдени «ОТПРАВИТЬ + БОЛЬШЕ = ДЕНЬГИ», приведенную выше (столбцы пронумерованы справа налево):

${\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}$

Из столбца 5: M = 1 , поскольку это единственный возможный перенос суммы двух однозначных чисел в столбце 4.
Поскольку в столбце 5 имеется перенос, O должно быть меньше или равно M (из столбца 4). Но O не может быть равно M, поэтому O меньше M. Следовательно, O = 0 .
Поскольку O на 1 меньше, чем M, S равно либо 8, либо 9 в зависимости от того, есть ли перенос в столбце 4. Но если бы в столбце 4 был перенос (созданный добавлением столбца 3), N было бы меньше или равен O. Это невозможно, поскольку O = 0. Следовательно, в столбце 4 нет переноса и S = 9 .
Если бы в столбце 3 не было переноса, то E = N, что невозможно. Следовательно, существует перенос и N = E + 1.
Если в столбце 2 не было переноса, то ( N + R ) mod 10 = E и N = E + 1, поэтому ( E + 1 + R ) mod 10 = E что означает ( 1 + R ) mod 10 = 0 , поэтому R = 9. Но S = 9, поэтому в столбце 2 должен быть перенос, поэтому R = 8 .
Чтобы создать перенос в столбце 2, мы должны иметь D + E = 10 + Y.
Y не менее 2, поэтому D + E не менее 12.
Единственные две пары доступных чисел, сумма которых не менее 12, — это (5,7) и (6,7), поэтому либо E = 7, либо D = 7.
Поскольку N = E + 1, E не может быть равно 7, потому что тогда N = 8 = R, поэтому D = 7 .
E не может быть 6, потому что тогда N = 7 = D, поэтому E = 5 и N = 6 .
D + E = 12, поэтому Y = 2 .

Другой пример TO+GO=OUT (источник неизвестен):

${\begin{matrix}&&{\text{T}}&{\text{O}}\\+&&{\text{G}}&{\text{O}}\\\hline =&{\text{O}}&{\text{U}}&{\text{T}}\\\end{matrix}}$

Сумма двух самых больших двузначных чисел равна 99+99=198. Итак, O=1 и в столбце 3 есть перенос.
Поскольку столбец 1 находится справа от всех остальных столбцов, перенос в нем невозможен. Следовательно, 1+1=T и T=2 .
Поскольку столбец 1 был рассчитан на последнем шаге, известно, что в столбце 2 переноса нет. Но также известно, что на первом шаге в столбце 3 есть перенос. Следовательно, 2+G≥10. Если G равно 9, U будет равно 1, но это невозможно, поскольку O также равно 1. Таким образом, возможно только G=8 , а при 2+8=10+U U=0 .

Часто помогает использование модульной арифметики . Например, использование арифметики mod-10 позволяет рассматривать столбцы задачи сложения как одновременные уравнения , а использование арифметики mod-2 позволяет делать выводы, основанные на четности переменных.

В информатике иллюстрирующие метод грубой силы , а также алгоритмы, которые генерируют все перестановки m крипторифмы представляют собой хорошие примеры , вариантов из n возможностей. Например, описанную выше головоломку Дьюдени можно решить, проверив все присвоения восьми значений между цифрами от 0 до 9 и восемью буквами S,E,N,D,M,O,R,Y, что дает 1 814 400 возможностей. Они также предоставляют хорошие примеры возврата к парадигме разработки алгоритмов .

Другая информация

При обобщении на произвольные базы проблема определения того, имеет ли крипторифм решение, является NP-полной . ^{[ 6 ]} (Обобщение необходимо для определения твердости, поскольку в системе счисления 10 существует только 10! возможных присвоений цифр буквам, и их можно проверить с помощью головоломки за линейное время.)

Алфавитные головоломки можно комбинировать с другими головоломками с числами, такими как судоку и какуро, для создания загадочных судоку и какуро .

Самая длинная буква

Антон Павлис в 1983 году построил алфавитную систему с 41 дополнением:

ТАК+МНОГИЕ+БОЛЬШЕ+МУЖЧИН+КАЖУТЬСЯ+ГОВОРИТЬ+ТО+

ОНИ+МОГУТ+СКОРО+ПЫТАТЬСЯ+ОСТАТЬСЯ+ДОМА+

ТАК+КАК+ВИДЕТЬ+ИЛИ+СЛЫШАТЬ+ТО+ТО ЖЕ+ОДИН+

ЧЕЛОВЕК+ПОПРОБОВАТЬ+ВСТРЕТИТЬ+С+КОМАНДОЙ+НА+THE+

ЛУНА+КАК+ОН+НА+НА+ДРУГИХ+ДЕСЯТИ

=ТЕСТЫ

(Ответ: MANYOTHERS=2764195083.) ^{[ 7 ]}

См. также

Диофантово уравнение
Математические головоломки
перестановка
Пазлы
Sideways Arithmetic From Wayside School - книга, сюжет которой вращается вокруг этих головоломок.
Криптограмма

Ссылки

^ HE Dudeney , в Strand Magazine vol. 68 (июль 1924 г.), стр. 97 и 214.
^ «№109 Математическая головоломка» . Американский агроном . Том. 23, нет. 12. Декабрь 1864 г. с. 349.
^ Морис Крайчик , Математические развлечения (1953), стр. 79-80.
^ JAH Hunter, в Toronto Globe and Mail (27 октября 1955 г.), стр. 27.
^ Фейнман, Ричард П. (август 2008 г.). Совершенно разумные отклонения от проторенной дорожки: письма Ричарда П. Фейнмана . Основные книги. ISBN 9780786722426 .
^ Дэвид Эппштейн (1987). «О NP-полноте крипторифмов» (PDF) . Новости СИГАКТ . 18 (3): 38–40. дои : 10.1145/24658.24662 . S2CID 2814715 .
^ Павлис, Антон. «Математический крест» (PDF) . математическое общество Канадское п. 115 . Проверено 14 декабря 2016 г.

Мартин Гарднер , Математика, магия и тайна . Дувр (1956)
В журнале развлекательной математики велась регулярная колонка по алфавиту.
Джек ван дер Эльсен, Alphametics . Маастрихт (1998)
Кахан С., Нужно решить несколько задач: Полная книга по алфавиту, Baywood Publishing, (1978).
Брук М. Сто пятьдесят головоломок в криптоарифметике. Нью-Йорк: Дувр, (1963)
Хитеш Тикамчанд Джайн, Азбука крипторифметики/алфаметики. Индия (2017)

Внешние ссылки

Алфавитные решатели

[1] HE Dudeney , в Strand Magazine vol. 68 (июль 1924 г.), стр. 97 и 214.

[agriculturist-2] «№109 Математическая головоломка» . Американский агроном . Том. 23, нет. 12. Декабрь 1864 г. с. 349.

[3] Морис Крайчик , Математические развлечения (1953), стр. 79-80.

[4] JAH Hunter, в Toronto Globe and Mail (27 октября 1955 г.), стр. 27.

[5] Фейнман, Ричард П. (август 2008 г.). Совершенно разумные отклонения от проторенной дорожки: письма Ричарда П. Фейнмана . Основные книги. ISBN 9780786722426 .

[6] Дэвид Эппштейн (1987). «О NP-полноте крипторифмов» (PDF) . Новости СИГАКТ . 18 (3): 38–40. дои : 10.1145/24658.24662 . S2CID 2814715 .

[7] Павлис, Антон. «Математический крест» (PDF) . математическое общество Канадское п. 115 . Проверено 14 декабря 2016 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]