n -вектор
( Представление n -вектора также называемое геодезической нормалью или вектором нормали эллипсоида ) — это трехпараметрическое неособое представление, хорошо подходящее для замены геодезических координат ( широты и долготы ) для представления горизонтального положения в математических расчетах и компьютерных алгоритмах.
Геометрически n -вектор для данной позиции на эллипсоиде - это направленный наружу единичный вектор , который в этом положении нормален к эллипсоиду. Для представления горизонтальных положений на Земле эллипсоид является эталонным эллипсоидом , а вектор разлагается в геоцентрической фиксированной на Земле системе координат . Он ведет себя плавно во всех положениях Земли и сохраняет математическое свойство «один к одному» .
В более общем смысле, эта концепция может применяться для представления позиций на границе строго выпуклого ограниченного подмножества при k -мерного евклидова пространства условии, что эта граница является дифференцируемым многообразием . В этом общем случае n -вектор состоит из k параметров.
Общие свойства
[ редактировать ]Вектор нормали к строго выпуклой поверхности можно использовать для однозначного определения положения поверхности. n -вектор — это направленный наружу нормальный вектор с единичной длиной , используемый в качестве представления положения. [1]
Для большинства приложений поверхность является эталонным эллипсоидом Земли, и поэтому n -вектор используется для представления горизонтального положения. Следовательно, угол между n -вектором и плоскостью экватора соответствует геодезической широте , как показано на рисунке.
Положение поверхности имеет две степени свободы , поэтому двух параметров достаточно для представления любого положения на поверхности. На эталонном эллипсоиде широта и долгота общими параметрами для этой цели являются , но, как и все двухпараметрические представления , они имеют особенности . Это похоже на ориентацию , которая имеет три степени свободы, но все трехпараметрические представления имеют особенности. [2] В обоих случаях сингулярностей можно избежать, добавляя дополнительный параметр, т.е. используя n -вектор (три параметра) для представления горизонтального положения и единичный кватернион (четыре параметра) для представления ориентации .
n- вектор представляет собой представление «один к одному» , что означает, что любая позиция на поверхности соответствует одному уникальному n- вектору, а любой n -вектор соответствует одной уникальной позиции на поверхности.
В качестве евклидова 3D-вектора стандартную 3D- векторную алгебру для вычислений положения можно использовать , и это делает n -вектор хорошо подходящим для большинства вычислений горизонтального положения.
Преобразование широты/долготы в n -вектор
[ редактировать ]Основываясь на определении системы координат ECEF , называемой e , становится ясно, что переход от широты/долготы к n -вектору достигается путем:
Верхний индекс e означает, что n -вектор разложен в системе координат e (т.е. первая компонента представляет собой скалярную проекцию вектора n- на x ось e , вторая на y ось e и т. д.). Обратите внимание, что уравнение является точным как для сферической, так и для эллипсоидной модели Земли.
Преобразование n -вектора в широту/долготу
[ редактировать ]Из трех компонентов n -вектора , , и , широту можно найти с помощью:
Крайнее правое выражение лучше всего подходит для реализации компьютерной программы. [1]
Долготу можно найти с помощью:
В этих выражениях должно быть реализовано с использованием вызова atan2 ( y , x ). Полюсная atan2 особенность долготы очевидна, поскольку ( 0,0) не определен. Отметим, что уравнения точны как для сферической, так и для эллипсоидальной модели Земли.
Пример: расстояние по большому кругу.
[ редактировать ]Нахождение расстояния по большому кругу между двумя горизонтальными положениями (при условии, что Земля имеет сферическую форму) обычно выполняется с помощью широты и долготы. три разных выражения Распространены для этого расстояния; первый основан на arccos , второй — на arcsin , а последний — на arctan . Выражения, которые последовательно усложняются, чтобы избежать числовой нестабильности , найти нелегко, и, поскольку они основаны на широте и долготе, сингулярности полюсов могут стать проблемой. Они также содержат дельты широты и долготы, которые обычно следует использовать с осторожностью вблизи меридиана ± 180 ° и полюсов.
Решение той же задачи с помощью n -вектора проще благодаря возможности использования векторной алгебры . Выражение arccos получается из скалярного произведения , а величина векторного произведения дает выражение arcsin. Объединение этих двух дает выражение арктана: [1]
где и являются n -векторами, представляющими две позиции a и b . - это угловая разность, и, таким образом, расстояние по большому кругу достигается путем умножения на радиус Земли. Это выражение также работает на полюсах и на меридиане ±180°.
Есть еще несколько примеров, когда использование векторной алгебры упрощает стандартные задачи. [1] Для общего сравнения различных представлений см. страницу представлений горизонтального положения .
См. также
[ редактировать ]- Пути секции земли
- Представление горизонтального положения
- Широта
- Долгота
- Универсальная поперечная система координат Меркатора
- Кватернион
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с д Гейд, Кеннет (2010). «Неособое представление горизонтального положения» (PDF) . Журнал навигации . 63 (3). Издательство Кембриджского университета: 395–417. Бибкод : 2010JNav...63..395G . дои : 10.1017/S0373463309990415 .
- ^ Стуэльпнагель, Джон (1964). «О параметризации группы трехмерного вращения». Обзор СИАМ . 6 (4). Общество промышленной и прикладной математики: 422–430. Бибкод : 1964SIAMR...6..422S . дои : 10.1137/1006093 . JSTOR 2027966 .