Интерполяция радиальной базисной функции

Интерполяция радиальной базисной функции (RBF) — это усовершенствованный метод теории аппроксимации для построения высокой точности интерполянтов неструктурированных данных, возможно, в многомерных пространствах. Интерполянт принимает форму взвешенной суммы радиальных базисных функций . RBF-интерполяция — это метод без сетки , что означает, что узлы (точки в области) не обязательно лежат на структурированной сетке и не требуют формирования сетки . Часто спектрально точный и стабилен для большого количества узлов даже в больших размерностях.

Многие методы интерполяции могут использоваться в качестве теоретической основы алгоритмов аппроксимации линейных операторов , и RBF-интерполяция не является исключением. RBF-интерполяция использовалась для аппроксимации дифференциальных операторов , интегральных операторов и поверхностных дифференциальных операторов .

Примеры

Позволять $f(x)=\exp(x\cos(3\pi x))$ и пусть $x_{k}={\frac {k}{14}},k=0,1,\dots ,14$ быть 15 равноотстоящими друг от друга точками на интервале $[0,1]$. Мы сформируем $s(x)=\sum \limits _{k=0}^{14}w_{k}\varphi (\|x-x_{k}\|)$ где $\varphi$ — радиальная базисная функция , и выберите $w_{k},k=0,1,\dots ,14$ такой, что $s(x_{k})=f(x_{k}),k=0,1,\dots ,14$ ( $s$ интерполирует $f$ в выбранных точках). В матричной записи это можно записать как

$${\begin{bmatrix}\varphi (\|x_{0}-x_{0}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{0}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{0}\|)\\\varphi (\|x_{0}-x_{1}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{1}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{1}\|)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi (\|x_{0}-x_{14}\|)&\varphi (\|x_{1}-x_{14}\|)&\dots &\varphi (\|x_{14}-x_{14}\|)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{0}\\w_{1}\\\vdots \\w_{14}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}f(x_{0})\\f(x_{1})\\\vdots \\f(x_{14})\end{bmatrix}}.$$

Выбор $\varphi (r)=\exp(-(\varepsilon r)^{2})$, гауссиан , с параметром формы $\varepsilon =3$, мы можем затем решить матричное уравнение для весов и построить интерполянт. Построив интерполяционную функцию ниже, мы видим, что она визуально одинакова везде, за исключением вблизи левой границы (пример феномена Рунге ), где она все еще является очень близким приближением. Точнее, максимальная ошибка примерно равна $\|f-s\|_{\infty }\approx 0.0267414$ в $x=0.0220012$.

Функция $f(x)=\exp(x\cos(3\pi x))$ отобрано в 15 однородных узлах между 0 и 1, интерполировано с использованием гауссовского RBF с параметром формы $\varepsilon =3$.

Ошибка интерполяции, $s(x)-f(x)$, для сюжета слева.

Мотивация

Теорема Майрхубера – Кертиса утверждает, что для любого открытого множества $V$ в $\mathbb {R} ^{n}$ с $n\geq 2$, и $f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}$ линейно независимые функции на $V$, существует набор $n$ точки в области такие, что матрица интерполяции

$${\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1})&f_{2}(x_{1})&\dots &f_{n}(x_{1})\\f_{1}(x_{2})&f_{2}(x_{2})&\dots &f_{n}(x_{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(x_{n})&f_{2}(x_{n})&\dots &f_{n}(x_{n})\end{bmatrix}}$$

является единичным .

Это означает, что если кто-то хочет иметь общий алгоритм интерполяции, необходимо выбрать базисные функции, которые будут зависеть от точек интерполяции. В 1971 году Роллан Харди разработал метод интерполяции разбросанных данных с использованием интерполянтов вида $s(\mathbf {x} )=\sum \limits _{k=1}^{N}{\sqrt {\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{k}\|^{2}+C}}$. Это интерполяция с использованием сдвинутых мультиквадрических функций, которые сейчас чаще записывают как $\varphi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}$, и является первым примером интерполяции радиальной базисной функции. Было показано, что результирующая матрица интерполяции всегда будет невырожденной. Это не нарушает теорему Майрхубера – Кертиса, поскольку базисные функции зависят от точек интерполяции. Выбор радиального ядра так, чтобы матрица интерполяции была неособой, является в точности определением строго положительно определенной функции . По этой причине такие функции, в том числе гауссова , обратная квадратичная и обратная мультиквадрика, часто используются в качестве радиальных базисных функций.

Настройка параметров формы

Многие радиальные базисные функции имеют параметр, который контролирует их относительную неравномерность или остроту. Этот параметр обычно обозначается символом $\varepsilon$ при этом функция становится все более плоской по мере того, как $\varepsilon \to 0$. Например, Роллан Харди использовал формулу $\varphi (r)={\sqrt {r^{2}+C}}$ для мультиквадрики , однако в настоящее время формула $\varphi (r)={\sqrt {1+(\varepsilon r)^{2}}}$ вместо этого используется. Эти формулы эквивалентны с точностью до масштабного коэффициента. Этот фактор несущественен, поскольку базисные векторы имеют одинаковый диапазон , и веса интерполяции будут компенсировать это. По соглашению базисная функция масштабируется так, что $\varphi (0)=1$ как видно на графиках функций Гаусса и функций рельефа .

• 
  Функция Гаусса для нескольких вариантов выбора $\varepsilon$
• 
  График масштабированной функции рельефа с несколькими вариантами параметров формы

RBF-интерполянт функции f(x)=e^(x*cos(3*pi*x))-1, выбранный в 15 точках с использованием гауссиан, с очень большим параметром формы e=100. « Интерполянт ногтевого ложа ».

Следствием этого выбора является то, что матрица интерполяции приближается к единичной матрице как $\varepsilon \to \infty$ что приводит к устойчивости при решении матричной системы. Полученный интерполянт, как правило, будет плохим приближением к функции, поскольку он будет близок к нулю везде, за исключением точек интерполяции, где он достигает резкого пика - так называемый «интерполянт гвоздей» (как видно на графике Направо).

График числа обусловленности по параметру формы для матрицы интерполяции радиальной базисной функции размером 15x15 с использованием гауссова

На противоположной стороне спектра число обусловленности матрицы интерполяции будет стремиться к бесконечности как $\varepsilon \to 0$ что приводит к плохому состоянию системы. На практике параметр формы выбирают так, чтобы матрица интерполяции находилась «на грани плохой обусловленности» (например, с числом обусловленности примерно $10^{12}$ для плавающей запятой двойной точности ).

Иногда при выборе параметра формы следует учитывать и другие факторы. Например, функция удара $$\varphi (r)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{1-(\varepsilon r)^{2}}}\right)&{\mbox{ for }}r<{\frac {1}{\varepsilon }}\\0&{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}$$имеет компактный носитель (он равен нулю всюду, кроме случая, когда $r<{\tfrac {1}{\varepsilon }}$), что приводит к разреженной матрице интерполяции.

Некоторые радиальные базисные функции, такие как полигармонические сплайны, не имеют параметра формы.

См. также

• Кригинг