Приближение Дерягина

Приближение Дерягина связало силу между двумя сферами (вверху) и энергию взаимодействия между двумя пластинами (внизу).

Приближение Дерягина (или иногда также называемое приближением близости ), названное в честь русского учёного Бориса Дерягина , выражает профиль силы , действующей между телами конечных размеров, через профиль силы между двумя плоскими полубесконечными стенками. Это приближение широко используется для оценки сил между коллоидными частицами , поскольку силы между двумя плоскими телами зачастую гораздо проще рассчитать. Приближение Дерягина выражает силу F ( h ) между двумя телами как функцию расстояния между поверхностями как

$F(h)=2\pi R_{\rm {eff}}W(h),$

где W ( h ) — энергия взаимодействия на единицу площади между двумя плоскими стенками, а R _eff — эффективный радиус. Когда два тела представляют собой две сферы радиусов R ₁ и R ₂ соответственно, эффективный радиус определяется выражением

$R_{\rm {eff}}^{-1}=R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}.$

Экспериментальные профили сил между макроскопическими телами, измеренные с помощью аппарата поверхностных сил (SFA). или метод коллоидного зонда часто сообщаются как отношение F ( h )/ R _eff .

Задействованные количества и достоверность

Сила F ( h ) между двумя телами связана со свободной энергией взаимодействия U ( h ) как

$F(h)=-{dU \over dh},$

где h — расстояние между поверхностями. И наоборот, когда профиль силы известен, можно оценить энергию взаимодействия как

$U(h)=\int _{h}^{\infty }F(h')\,dh'.$

Если рассматривать две плоские стены, соответствующие величины выражаются на единицу площади. Расклинивающее давление представляет собой силу на единицу площади и может быть выражено производной

$\Pi (h)=-{dW \over dh},$

где W ( h ) — поверхностная свободная энергия на единицу площади. И наоборот, у человека есть

$W(h)=\int _{h}^{\infty }\Pi (h')\,dh'.$

Основное ограничение приближения Дерягина состоит в том, что оно справедливо только на расстояниях, намного меньших размера рассматриваемых объектов, а именно h ≪ R ₁ и h ≪ R ₂ . Более того, это приближение континуума и, следовательно, справедливо на расстояниях, превышающих масштаб длины молекулы. Было показано, что даже когда речь идет о шероховатых поверхностях, это приближение справедливо во многих ситуациях. Диапазон его применимости ограничен расстояниями, превышающими характерный размер элементов шероховатости поверхности (например, среднеквадратичная шероховатость).

Особые случаи

Часто используемые геометрии для приближения Дерягина. Две одинаковые сферы, плоская стенка и сфера, а также два перпендикулярно пересекающихся цилиндра (слева направо).

Часто рассматриваемые геометрии включают взаимодействие двух одинаковых сфер радиуса R , где эффективный радиус становится

$R_{\rm {eff}}=R/2.$

В случае взаимодействия сферы радиуса R и плоской поверхности имеем

$R_{\rm {eff}}=R.$

Два приведенных выше соотношения могут быть получены как частные случаи выражения для R _eff , приведенного выше. Для ситуации перпендикулярно пересекающихся цилиндров, используемых в аппарате поверхностных сил, имеем

$R_{\rm {eff}}={\sqrt {R_{1}R_{2}}},$

где R ₁ и R ₂ — радиусы кривизны двух задействованных цилиндров.

Упрощенный вывод

Пояснения к выводу приближения Дерягина для двух одинаковых сфер.

рассмотрим силу F ( h ) между двумя одинаковыми сферами радиуса R. В качестве иллюстрации Считается, что поверхности двух соответствующих сфер разделены на бесконечно малые диски шириной dr и радиусом r, как показано на рисунке. Сила определяется суммой соответствующих давлений набухания между двумя дисками.

$F=\int \Pi (x)\,dA,$

где х — расстояние между дисками, а dA — площадь одного из этих дисков. Это расстояние можно выразить как x = h +2 y . Рассматривая теорему Пифагора о сером треугольнике, показанном на рисунке, получаем

$R^{2}=(R-y)^{2}+r^{2}.$

Раскрывая это выражение и понимая, что y ≪ R, можно найти, что площадь диска можно выразить как

$dA=2\pi r\,dr=2\pi R\,dy=\pi R\,dx.$

Теперь силу можно записать как

$F(h)=\pi R\int _{h}^{\infty }\Pi (x)\,dx=\pi RW(h),$

где W ( h ) — поверхностная свободная энергия на единицу площади, введенная выше. При введении приведенного выше уравнения верхний предел интегрирования был заменен бесконечностью, что приблизительно правильно, пока h ≪ R .

Общий случай

В общем случае двух выпуклых тел эффективный радиус можно выразить следующим образом:

${\frac {1}{R_{\rm {eff}}^{2}}}=\left({\frac {1}{R'_{1}}}+{\frac {1}{R'_{2}}}\right)\left({\frac {1}{R''_{1}}}+{\frac {1}{R''_{2}}}\right)+\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi ,$

где R' _i и R" _i — главные радиусы кривизны поверхностей i = 1 и 2, оцененные в точках наибольшего расстояния сближения, а φ — угол между плоскостями, охватываемыми кругами с меньшими радиусами кривизны. тела не имеют сферической формы вокруг положения наибольшего сближения, крутящий момент , который определяется выражением между двумя телами возникает

$T=\pi R_{\rm {eff}}^{3}V(h)\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin 2\varphi ,$

где

$V(h)=\int _{h}^{\infty }W(h')\,dh'.$

Приведенные выше выражения для двух сфер восстанавливаются, если положить R' _i = R" _i = R _i . Крутящий момент в этом случае обращается в нуль.

Выражение для двух перпендикулярно пересекающихся цилиндров получается из R' _i = R _i и R" _i → ∞. В этом случае крутящий момент будет стремиться ориентировать цилиндры перпендикулярно для сил отталкивания. Для сил притяжения крутящий момент будет стремиться их выровнять.

Эти общие формулы использовались для приблизительной оценки сил взаимодействия между эллипсоидами.

За пределами приближения Дерягина

Приближение Дерягина уникально благодаря своей простоте и общности. Чтобы улучшить это приближение, были предложены метод интегрирования поверхностных элементов, а также подход поверхностного интегрирования для получения более точных выражений сил между двумя телами. Эти процедуры также учитывают относительную ориентацию приближающихся поверхностей.

См. также

• Атомно-силовая микроскопия
• Электрические силы двойного слоя
• Теория ДЛВО
• Сила Ван дер Ваальса

Дальнейшее чтение

• Зипман, Франция (2006). «Точные выражения для сил и энергий взаимодействия коллоидной плоскости с частицами с применением к атомно-силовой микроскопии». J. Phys.: Condens. Иметь значение . 8 (10): 2795–2803. Бибкод : 2006JPCM...18.2795Z . дои : 10.1088/0953-8984/18/10/005 .